6.2.3向量的數(shù)乘運算11種?？碱}型歸類（原卷版）

6.2.3向量的數(shù)乘運算11種常考題型歸類題型1對向量數(shù)乘運算的理解題型2向量的線性運算題型3向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用題型4用已知向量表示其他向量題型5根據(jù)線性運算求參數(shù)題型6向量共線的判定題型7三點共線問題題型8已知向量共線（平行）求參數(shù)題型9平面向量共線定理證明線平行問題題型10平面向量共線定理的推論題型11三角形的“四心”問題1、向量線性運算的基本方法（1）類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．（2）方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\用運算律，簡化運算．2、用已知向量表示其他向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．3、向量共線定理的注意問題：①定理的運用過程中要特別注意．特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．②定理的實質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個方面理解，借助于實數(shù)溝通了兩個向量與的關(guān)系．③定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數(shù)使向量相等即可．4、利用向量共線定理證明三點共線若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點共線．注：(1)使用向量共線基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量；(2)證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點．5、利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．題型1對向量數(shù)乘運算的理解1．（2023·高一課時練習(xí)）實數(shù)與向量的乘積還是向量．()2．（2023上·遼寧錦州·高一校聯(lián)考期末）“實數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．4．（2023·高一課時練習(xí)）已知m、n是實數(shù)，、是向量，對于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·高一課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若(λ為實數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實數(shù)，若，則與共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平面內(nèi)的兩個非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反7．【多選】（2023下·廣西欽州·高一浦北中學(xué)?？计谥校┤鐖D，設(shè)兩點把線段三等分，則下列向量表達式正確的是（

）A． B．C． D．8．（2023上·北京朝陽·高三校考階段練習(xí)）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的條件(從“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”選一不填空)題型2向量的線性運算9．（2023·高一課時練習(xí)）下列計算正確的個數(shù)是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．（2023下·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．11．（2023下·重慶綦江·高一?？计谥校┗啚椋?/p>

）A． B．C． D．12．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.(1)；(2)；(3).題型3向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用13．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校校考期中）如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于（

）A． B． C． D．14．（2023下·山東濰坊·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，若，，則等于（

）．A． B． C． D．15．（2023上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．316．（2023下·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若，則，．17．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）設(shè)是內(nèi)部一點，且，則．題型4用已知向量表示其他向量18．（2023上·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，點為邊的中點．記，，則（

）A． B． C． D．19．（2023上·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在中，為的中點，若，則（

）A． B． C． D．20．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．21．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是一個梯形，且，M，N分別是DC，AB的中點，已知，，試用表示下列向量．(1)；(2).22．（2023下·河南周口·高一太康縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.23．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．(1)試用，表示．(2)試用，，表示．24．【多選】（2023上·黑龍江·高三統(tǒng)考期中）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．25．【多選】（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預(yù)測）數(shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，很多生活中的模型多源于數(shù)學(xué)的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．題型5根據(jù)線性運算求參數(shù)26．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若點滿足，，則.27．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥?，D為AC上一點且滿足若P為BD的中點，且滿足則的值是（

）A． B． C． D．28．（2023上·湖南邵陽·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則．題型6向量共線的判定29．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件30．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；(3)，.31．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．(1)，；(2)，；(3)，．題型7三點共線問題32．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線33．（2023下·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．34．（2023上·陜西銅川·高三?？计谀┰谥?，若，則點（

）A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．為的外心35．（2023下·貴州遵義·高一?？茧A段練習(xí)）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D36．（2023上·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，三點共線，則（）A．4 B．1 C．0 D．37．（2024上·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知與為非零向量，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．338．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．39．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.求證：M，N，C三點共線.40．（2023上·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．題型8已知向量共線（平行）求參數(shù)41．（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（

）A．－2 B． C．2 D．42．（2023上·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是兩個不共線的向量，若向量與的方向相同，則.43．（2024上·遼寧大連·高一期末）設(shè)，是兩個不共線的向量，向量，共線，則.44．（2023下·山西運城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或題型9平面向量共線定理證明線平行問題45．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求證：與共線.46．（2023下·高一課時練習(xí)）已知是不共線的兩個向量，在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的形狀是（）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對47．（2023下·廣東汕頭·高一?？计谥校┰谒倪呅沃?，，，，則四邊形的形狀是（）A．梯形 B．菱形C．平行四邊形 D．矩形48．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O點，E為BC中點，用向量方法證明且．49．（2023下·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點滿足，是線段上一點，，點為的中點，且三點共線．(1)求的最小值．(2)若點滿足，證明：．題型10平面向量共線定理的推論50．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．51．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點是的重心，過點的直線與邊分別交于兩點，為邊的中點．若，則（

）A． B． C．2 D．52．（2023上·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中校考階段練習(xí)）如圖，在中，，E為線段AD上的動點，且，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．32 D．1653．（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．54．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設(shè)，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此時，的值．題型11三角形的“四心”問題55．【多選】（2023上·重慶江北·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)點M是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點M是BC的中點B．若，則點M是的重心C．若，則點M，B，C三點共線D．若，則56．（2023下·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┤羲谄矫鎯?nèi)一點P滿足，則P是的（

）．A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D