2023中考數(shù)學(xué)分類匯編考點(diǎn)22-勾股定理

2023中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)22勾股定理

一.選擇題（共7小題）

1.（2023?濱州）在直角三角形中，假設(shè)勾為3,股為4,那么弦為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：?.?在直角三角形中，勾為3,股為4,

弦為石石7=5.

應(yīng)選：A.

2.（2023?棗莊）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,

AF平分NCAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.假設(shè)AC=3,AB=5,那么CE的

長(zhǎng)為（）

A.-B.—C.—D.-

2335

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出NCAF+NCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似

三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)F作FGJ_AB于點(diǎn)G,

VZACB=90°,CD±AB,

/.ZCDA=90o,

NCAF+NCFA=90。，ZFAD+ZAED=90°,

VAF平分NCAB,

，NCAF=NFAD,

，NCFA=NAED=NCEF,

，CE=CF,

：AF平分NCAB,ZACF=ZAGF=90°,

FC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

/.△BFG^ABAC,

?BF_FG

**AB~AC，

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

，BC=4,

...區(qū)嗎

53

VFC=FG,

...應(yīng)里

53

解得:FC=1,

即CE的長(zhǎng)為I".

應(yīng)選：A.

3.（2023?瀘州）“趙爽弦圖"巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)

古代數(shù)學(xué)的驕傲.如下圖的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小

正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊

長(zhǎng)為b.假設(shè)ab=8,大正方形的面積為25,那么小正方形的邊長(zhǎng)為（）

A.9B.6C.4D.3

【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,根據(jù)勾股定理以及題

目給出的數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng).

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,

?.?每一個(gè)直角三角形的面積為：lab=1x8=4,

.,.4X^-ab+（a-b）2=25,

（a-b）2=25-16=9,

/.a-b=3,

應(yīng)選：D.

4.（2023?溫州）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形

為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式.后

人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如下圖的矩形由兩個(gè)這樣

的圖形拼成，假設(shè)a=3,b=4,那么該矩形的面積為（）

A.20B.24C.—D.—

42

【分析】欲求矩形的面積，那么求出小正方形的邊長(zhǎng)即可，由此可設(shè)小正方

形的邊長(zhǎng)為x,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，

解方程求出x的值，進(jìn)而可求出該矩形的面積.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為X,

Va=3,b=4,

2

，AB=3+4=7,

在RtZXABC中,AC2+BC2=AB2,

即（3+x〕2+（x+4）2=72,

整理得，x2+7x-12=0,

解得x=T+產(chǎn)或（舍去），

22

...該矩形的面積=U上回+3）（士叵+4）=24,

22

應(yīng)選：B.

5.（2023?婁底）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是

169,小正方形的面積為49,那么sina-cosa=（）

A.—B.--C.—D.--

13131313

【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AC,

然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求sina和cosa的值,進(jìn)而可求出sina-cosa

的值.

【解答】解：..?小正方形面積為49,大正方形面積為169,

...小正方形的邊長(zhǎng)是7,大正方形的邊長(zhǎng)是13,

在RtZiABC中，AC2+BC2=AB2,

即AC2+（7+AC）2=132,

整理得，AC2+7AC-60=0,

解得AC=5,AC=-12（舍去），

?"-B^VAB^AC^12-

sina=>A,BC^2

cosa==

AB13AB-l3

.,sina.cosa=A.i|7

131313

應(yīng)選：D.

6.（2023?長(zhǎng)沙）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作?數(shù)書九章?里記載有這

樣一道題："問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三

里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為

5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中"里"是我國(guó)市制長(zhǎng)度單

位，1里=500米，那么該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答

案.

【解答】解：???52+122=132,

.?.三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形,

，這塊沙田面積為：5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5]平方千

米）.

應(yīng)選：A.

7.（2023?東營(yíng)）如下圖，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞

蟻想要從A處沿圓柱外表爬到對(duì)角C處捕食，那么它爬行的最短距離是

（）

A.3V1+KB.3V2C.3v4t兀2D3/2

2

【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短,

然后利用勾股定理即可求解.

【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為

線段AC的長(zhǎng).

在RtZ\ADC中,ZADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長(zhǎng),AD=1.5n,

應(yīng)選：C.

二.填空題（共8小題）

8.（2023?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4,0）,B[0,3）,以

點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,那么點(diǎn)C坐標(biāo)為

1,0）

【分析】求出OA、OB,根據(jù)勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC長(zhǎng)即

可.

【解答】解：?.?點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（4,0）,（0,3）,

OA=4,OB=3,

在RtZ^AOB中，由勾股定理得：AB=^32+42=5?

，AC=AB=5,

A0C=5-4=1,

.?.點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-1,0）,

4

故答案為：（-I,0）,

9.（2023?玉林）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,

那么AD的取值范圍是2VADV8.

【分析】如圖，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于E,作BFLAD于F.解直角三角形

求出AE、AF即可判斷；

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于E,作BFLAD于F.

在RtZkABE中,VZE=30°,AB=4,

；.AE=2AB=8,

在Rtz^ABF中，AF=；AB=2,

AAD的取值范圍為2VADV8,

故答案為2<ADV8.

10.（2023?襄陽）CD是aABC的邊AB上的高，假設(shè)CD=?,AD=1,AB=2AC,

那么BC的長(zhǎng)為2y或2沂.

【分析】分兩種情況：

①當(dāng)AABC是銳角三角形，如圖1,

②當(dāng)AABC是鈍角三角形，如圖2,

分別根據(jù)勾股定理計(jì)算AC和BC即可.

【解答】解：分兩種情況：

①當(dāng)aABC是銳角三角形，如圖1,

VCD±AB,

.,.ZCDA=90°,

VCD=>/3>AD=1,

，AC=2,

VAB=2AC,

，AB=4,

ABD=4-1=3,

BC=VCD2+BD2=732+（V3）2=2

②當(dāng)AABC是鈍角三角形，如圖2,

同理得：AC=2,AB=4,

?*-BC=7CD2+BD2=7（V3）2+52=2VT；

綜上所述，BC的長(zhǎng)為2T或2b.

故答案為：2T或2J7.

11.（2023?鹽城）如圖，在直角^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q

分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)要使△APQ是等腰三角形且ABPCi是

直角三角形，那么AQ=E^

【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ,NQPB=90。時(shí)，②

當(dāng)AQ=PQ,NPQB=90°時(shí)；

【解答】解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ,NQPB=90。時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x,

,.?PQ〃AC,

.,.△BPQ^ABCA,

?BQ_PQ

??就一而，

?10~x_x

**io=T

②當(dāng)AQ=PQ,NPQB=90°時(shí)，設(shè)AQ=PQ=y.

VABQP^ABCA,

?PQ_BQ

AC"BC，

.y_10-y

??-=?

68

.30

-V=~

綜上所述，滿足條件的AQ的值為學(xué)或等?.

47

12.（2023?黔南州）如圖，在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE

交于點(diǎn)F,且NBAC=45。，BD=6,CD=4,那么AABC的面積為60.

【分析】首先證明4AEF四△BEC,推出AF=BC=10,設(shè)DF=x.由AADCs4

BDF,推出黑=整，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；

DCDr

【解答】解：VAD±BC,BE±AC,AZAEF=ZBEC=ZBDF=90°,

VZBAC=45°,

；.AE=EB,

VZEAF+ZC=90°,ZCBE+ZC=90°,

，NEAF=NCBE,

6

.?.△AEF之△BEC,

.*.AF=BC=10,設(shè)DF=x.

VAADC^ABDF,

.ADBD

??-,

DCDF

?10+x6

■,—:-=一，

4x

整理得x2+10x-24=0,

解得x=2或-12（舍棄），

/.AD=AF+DF=12,

，

..SAABC=y*BC?AD=yX10X12=60.

故答案為60.

13.（2023?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、

CD上，假設(shè)AE=泥，ZEAF=45",那么AF的長(zhǎng)為生里.

【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,那

么NF=?x,再利用矩形的性質(zhì)和條件證明△AMEsaFNA,利用相似三角形

的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定

理即可求出AF的長(zhǎng).

【解答】解：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

???四邊形ABCD是矩形，

/.ZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,

.*.NF=V2X,AN=4-x,

VAB=2,

.\AM=BM=1,

VAE=V5，AB=2,

/.BE=1,

?*-ME=VBM2+BE2=V2?

VZEAF=45°,

/.ZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

NMEA=NNAF,

.,.△AME^AFNA,

.AM__ME

*'FN^AN，

.1一&

?,y[2x4-x，

解得：x=（，

?*,AF=VAD2+DF2=4>^-

J

故答案為：

14.（2023?湘潭）？九章算術(shù)?是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股〃

章中記載了一道“折竹抵地"問題："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

問折者高幾何？"翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如下圖，4ABC中，NACB=90。，

AC+AB=10,BC=3,求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC=x,那么可列方程為x?+32=（10

-x）2.

【分析】設(shè)AC=x,可知AB=10-x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)AC=x,

VAC+AB=10,

.*.AB=10-x.

在RtAABC中，ZACB=90°,

.,.AC2+BC2=AB2,即X2+32=（10-x）2.

故答案為：x2+32=（10-x）2.

15.（2023?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長(zhǎng)為32cm,在

杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯

上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，那么螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離

為20cm（杯壁厚度不計(jì)）.

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A\根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短可知AB的長(zhǎng)度即為所求.

【解答】解：如圖：

將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)AS

連接A，B,那么A，B即為最短距離，A,B=^/D2+BD2=V162+122=2°（cm）.

故答案為20.

三.解答題（共2小題）

16.（2023?杭州）如圖，在ZkABC中,ZACB=90°,以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為

半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC

8

于點(diǎn)E,連結(jié)CD.

(1)假設(shè)NA=28。，求NACD的度數(shù).

(2)設(shè)BC=a,AC=b.

①線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根嗎？說明理由.

②假設(shè)AD=EC,求號(hào)的值.

b

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出

NBCD,計(jì)算即可；

(2)①根據(jù)勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比擬即可；

②根據(jù)勾股定理列出算式，計(jì)算即可.

【解答】解：(1)VZACB=90°,ZA=28°,

：.ZB=62°,

VBD=BC,

AZBCD=ZBDC=59°,

AZACD=90°-ZBCD=31"；

(2)①由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=^2^2,

.,.AD=7a2+b2-a?

2222

解方程x+2ax-b=0得，x=-2a±V4a+4b=±4可-a,

線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根；

②?.?AD=AE,

，AE=EC=?,

2

由勾股定理得，a2