2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章-推理與證明單元測(cè)試卷含答案

2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測(cè)試卷含

答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題（本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分，）

1.甲、乙、丙，丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中

有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的

成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則（）

A.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

B.乙可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.丁可以知道四人的成績(jī)

2.已知某高中的一次測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的九科平均分的雷達(dá)圖如圖所示，下列

判斷錯(cuò)誤的是（）

甲班

乙班

生物化學(xué)

A.乙班的理科綜合成績(jī)強(qiáng)于甲班

B.甲班的文科綜合成績(jī)強(qiáng)于乙班

C.兩班的英語(yǔ)平均分分差最大

D.兩班的語(yǔ)文平均分分差最小

3.如圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖中的"小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的"短線"表

示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)，圖5）中的化學(xué)鍵有（）

03?…

（1）（2）⑶

A.6n個(gè)B.(4n+2)個(gè)C.(5TI-1)個(gè)D.(5n+1)個(gè)

4.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，例如:

他們研究過(guò)圖中的1,3,6,10,…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形

數(shù)，由以上規(guī)律，則這些三角形數(shù)從小到大形成一個(gè)數(shù)列{a.},那么的值為（）

A.45B.55C.65D.66

5.歐拉公式eix=cosx+isinx（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位）是數(shù)學(xué)里令人著迷

的公式之一，根據(jù)歐拉公式可知，2屹-今=（）

A.V3—iB.1—y/3iC.V3+iD.l+V3i

6.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)表，這一發(fā)明為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)運(yùn)算"做

出了巨大貢獻(xiàn).法國(guó)著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)過(guò)："對(duì)數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽

命"，比如在下面的部分對(duì)數(shù)表中，8和1024對(duì)應(yīng)的暴指數(shù)分別為3和10,基指數(shù)和為

13,而13對(duì)應(yīng)的事8192,因此，8x1024=8192.根據(jù)此表，推算33554432x

262144的值對(duì)應(yīng)的基指數(shù)為（）

X23456.78910

y工2工2481632641282565121024

X11121314151617181920

y=2，2048409681921638432768655361310722621445242881048576

X2122232425

y-2,2097152419430483886081677721633554432

A.41B.42C.43D.44

7.用反證法證明命題"若。2+爐=0,則以b全為0”,其反設(shè)正確的是（）

A.a、b至少有一個(gè)不為0B.a、b至少有一個(gè)為0

C.a、b全不為0D.a、b中只有一個(gè)為0

8.用反證法證明命題：”已知a,bGN*,如果ab能被11整除，那么a,b中至少有一個(gè)

能被11整除"，則應(yīng)假設(shè)（）

A.a,b都不能被11整除

B.a,b中至多有一個(gè)能被11整除

C.a,b中至多有一個(gè)不能被11整除

D.a,b都能被11整除

試卷第2頁(yè)，總15頁(yè)

9.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（）

①2019不能被2整除；

②一切奇數(shù)都不能被2整除；

③2019是奇數(shù).

A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①

10.我國(guó)南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖曬提出體積的計(jì)算原理（祖晅原理）："新勢(shì)既同，則積

不容異，，."勢(shì)，，即是高，"嘉，，是面積.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾

何體的截面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.類(lèi)比祖瞄原理，如圖所示，在

平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個(gè)上底長(zhǎng)為1、下底長(zhǎng)

為2的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t?。?,3］上的任意值時(shí)，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長(zhǎng)

總相等，則圖1的面積為（）

A.4C.5D-T

11.分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明："設(shè)a>b>c,且a+b+c=0",求證

7b2—ac<Ba"最終索的因應(yīng)是()

A.a-b>0B.a-c<0C.(a—b)(a—c)>0D.(a—b)(a—c)<0

12.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方

形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)形圖形，稱(chēng)為"勾股樹(shù)".若某勾股樹(shù)含有255個(gè)正方

返

形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為2，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為（）

1V211

A.16B.32c.32D.64

二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分，）

13.在"一帶一路"知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲，乙，丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.

乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的

次序?yàn)?

14.觀察下列數(shù)表：

1

35

791113

1517192123252729

設(shè)2017是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則m+n的值為

15.用反證法證明："a>b",應(yīng)假設(shè)為.

16.數(shù)式1+二『中省略號(hào)"…"代表無(wú)限重復(fù)，因原式是一個(gè)固定值，可以用如下方法

求得：令原式=,則1+;=,則2-—1=0,取正

值得=雪，用類(lèi)似方法可得12+）2+=2.

三、解答題（本題共計(jì)6小題，每題11分，共計(jì)66分，）

17.如圖中給出了3層的六邊形，圖中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)S3為28.按其規(guī)律再畫(huà)下去，可以

得到n層六邊形，試寫(xiě)出當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.

設(shè)y>1,證明：x+y+-<-+-+xy.

18.yxyxy

19.設(shè)a,b為互不相等的正實(shí)數(shù)，求證：4(a3+b3)>(a+b)3.

+

20.在數(shù)列｛冊(cè)｝中，已知4=2,an+i=6N).

試卷第4頁(yè)，總15頁(yè)

(1)求&2，。3，。4,并由此猜想數(shù)列Sn｝的通項(xiàng)公式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

21.在已知兩邊a,b和一邊的對(duì)角4求角B時(shí).如果4為銳角，那么可能出現(xiàn)以下情

況(如圖):

如果4為鈍角，那么可能會(huì)出現(xiàn)哪幾種情況？試畫(huà)出草圖加以說(shuō)明.

22.

(1)用綜合法證明：x2+y2+z2+3>2(x+y+z)；

(2)若實(shí)數(shù)，q*構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，請(qǐng)用反證法證明：a,b,c不可能構(gòu)成等

差數(shù)列.

參考答案與試題解析

2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測(cè)試卷含

答案

一、選擇題（本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分）

1.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

【解析】

先閱讀題意，再結(jié)合簡(jiǎn)單的合情推理逐一判斷即可得解.

【解答】

因?yàn)榧?、乙、丙，丁四位同學(xué)中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，

又甲看了乙、丙的成績(jī)且甲還是不知道自己的成績(jī)，即可推出乙、丙的成績(jī)一位優(yōu)秀,

一位良好，

又乙看了丙的成績(jī)，即乙由丙的成績(jī)可知自己的成績(jī)，

又甲、丁的成績(jī)一位優(yōu)秀，一位良好，則丁由甲的成績(jī)可知自己的成績(jī)，

即乙、丁可以知道自己的成績(jī)，

2.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

【解析】

先對(duì)圖象數(shù)據(jù)的進(jìn)行處理，再逐一進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解

【解答】

由甲、乙兩個(gè)班級(jí)的九科平均分的雷達(dá)圖可得：

乙班的理科綜合成績(jī)強(qiáng)于甲班，即選項(xiàng)4正確，

甲班的文科綜合成績(jī)強(qiáng)于乙班，即選項(xiàng)B正確，

兩班的英語(yǔ)平均分分差最大，即選項(xiàng)C正確，

兩班地理平均分分差最小，即選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

3.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

根據(jù)圖可知第一張圖有6個(gè)化學(xué)鍵，從第二個(gè)起每一個(gè)比前一個(gè)多5個(gè)，可得通項(xiàng).

【解答】

第一張圖有6個(gè)化學(xué)鍵，從第二個(gè)起每一個(gè)比前一個(gè)多5個(gè)，

則第n個(gè)圖有5n+l個(gè)，

4.

【答案】

B

試卷第6頁(yè)，總15頁(yè)

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

根據(jù)已知中第1個(gè)圖中黑點(diǎn)有1個(gè)，第2個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2個(gè)，第3個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+

2+3個(gè)，第4個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2+3+4個(gè)，...歸納可得第n個(gè)圖中黑點(diǎn)有1+2+

3+…+n個(gè)，可得結(jié)論.

【解答】

解：由已知中：

第1個(gè)圖中黑點(diǎn)有1個(gè)，

第2個(gè)圖中黑點(diǎn)有3=1+2個(gè)，

第3個(gè)圖中黑點(diǎn)有6=1+2+3個(gè)，

第4個(gè)圖中黑點(diǎn)有10=1+2+3+4個(gè)，

故第10個(gè)圖中黑點(diǎn)有的0=1+2+3+...+10=歿1=55個(gè)，

故選B.

5.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

歐拉公式的應(yīng)用

【解析】

直接代入歐拉公式，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】

21■e("0"=2i[cos(--)+isin(―-)1=2i(―—^i)=1+V3i,

6622

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

類(lèi)比推理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：由表可知,33554432=225,262144=218,

33554432,262144的對(duì)應(yīng)幕指數(shù)分別為25,18,

塞指數(shù)和為43.

故選C.

7.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè).

【解答】

解：由于“a、b全為0”的否定為："a、b至少有一個(gè)不為0”,

故選4

8.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

反證法證明中，假設(shè)時(shí)只需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定即可.

【解答】

解：???反證在假設(shè)時(shí)，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，

應(yīng)假設(shè)為"a,b都不能被11整除

故選4

9.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

演繹推理

【解析】

按照演繹推理的三段論，“大前提，小前提和結(jié)論"，即可得出正確的排列順序.

【解答】

解：根據(jù)題意，按照演繹推理的三段論，應(yīng)為：

大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除，

小前提：2019是奇數(shù)，

結(jié)論：2019不能被2整除；

正確的排列順序是②③①.

故選C.

10.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

演繹推理

【解析】

本題考查類(lèi)比推理、梯形的面積.

【解答】

解：根據(jù)祖巡原理，

可得圖1的面積等于圖2梯形的面積，

其面積為生等=

故選B.

11.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)及應(yīng)用

試卷第8頁(yè)，總15頁(yè)

【解析】

由題意可得，要證辦2-ac<>/3a,經(jīng)過(guò)分析，只要證(a-c)(a-6)>0,從而得出

結(jié)論.

【解答】

解：由a>b>c,且a+b+c=0可得b=—a—c,a>0,c<0.

要證A/爐—ac<V3a,只要證(—a—c)2—ac<3a2,

即證a2—ac+a2—c2>0,即證a(a—c)+(a+c)(a-c)>0,

即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a—c)(a-b)>0.

故求證“4爐-ac<索的因應(yīng)是(a-c)(a-6)>0.

故選C.

12.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

二、填空題(本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分)

13.

【答案】

甲，乙，丙

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

合情推理的作用

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：如果只有甲預(yù)測(cè)正確，此時(shí)根據(jù)題意得，成績(jī)由高到低順序?yàn)榧?，乙，丙，滿(mǎn)足

條件；

如果只有乙預(yù)測(cè)正確，因?yàn)榧族e(cuò)誤，得順序?yàn)楸?，甲，此時(shí)丙也預(yù)測(cè)正確，不滿(mǎn)

足條件；

如果只有丙預(yù)測(cè)正確，因?yàn)榧族e(cuò)誤，得順序?yàn)楸?，乙，甲，此時(shí)乙也預(yù)測(cè)正確，不滿(mǎn)

足條件；

故答案為：甲，乙，丙.

14.

【答案】

508

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：根據(jù)數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律，1,3,5,...都是連續(xù)奇數(shù)，

第一行，有1個(gè)數(shù)；第二行，有2個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是22-1；

第三行，有4個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是23-1；

第四行，有8個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是24一1；......；

第m行，有26一1個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是26一1.

210-1=1023,211-1=2047,2017在第10行.

令2017=1023+（n-1）X2,得n=498,

2017是第10行的第498個(gè)數(shù)，

m+n=10+498=508.

故答案為：508.

15.

【答案】

a<b

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

根據(jù)反證法定義進(jìn)行求解.

【解答】

解：反證法肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾，

題設(shè)"a>b",那么假設(shè)為：aWb.

故答案為：aWb.

16.

【答案】

【考點(diǎn)】

類(lèi)比推理

【解析】

通過(guò)已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），再運(yùn)用該方

法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負(fù)的即可.

【解答】

由已知代數(shù)式的求值方法：

先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），

可得要求的式子.

令12+V2+V24—=m（m>0）,

則兩邊平方得，2加+萬(wàn)口示三=m2,

即2+血=血2,解得，m=2（―1舍去）.

三、解答題（本題共計(jì)6小題，每題11分，共計(jì)66分）

17.

【答案】

設(shè)每層上的點(diǎn)數(shù)為時(shí)，

則的=5,

。2=9=54-4x1,

%=13=54-4X2,

{an}是以5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

Sn=。1+O,2+Q3+?…+Qn+1=---------—+1=2九2+371+（1）

試卷第10頁(yè)，總15頁(yè)

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

設(shè)每層上的點(diǎn)數(shù)為a”，推導(dǎo)出｛an｝是以5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，再由%=%+

+%+…+1，能求出結(jié)果.

【解答】

設(shè)每層上的點(diǎn)數(shù)為

則的=5,

@2=9=5+4x1,

%=13=5+4x2,

「?｛an｝是以5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

*Sn=%+0,2+。3+,?,+1=、+S[(---~+1=2九2+371+(1)

18.

【答案】

證明：要證％4-y+—<-+-+xy

yxyxyJf

只需證明—---<xy—%—y,

xyxyyJ

只需證明(1-J)(l-i)<(l-x)(l-y)=(x-l)(y-l),

只需證明1一工工工一1；1—-<y—1,

xy

即證％+：Z2,y+；N2,(xZLyN1)這是均值不等式，

所以xNl,y>1,%+y+工WL+工+xy得證.

xyxy

【考點(diǎn)】

綜合法與分析法

不等式的證明

【解析】

直接利用分析法，通過(guò)移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式，即可證明不等式成立.

【解答】

證明：要證x+y+^W2+^+xy,

yxyxy/

只需證明工----<xy-x-yf

xyxyy/

只需證明(1-》(1-9W(1-x)(l-y)=(x-l)(y-1),

只需證明1一三<x-l；l--<y-l,

xy

即證式+乙22,y+->2,(%Z1,yN1)這是均值不等式，

3y

所以久之1,y>1,%+y+3工：+已+盯得證.

19.

【答案】

證明：因?yàn)镼>o,h>0,所以要證4(Q3+〃)>(□+b)3,

只要證4(。+Z?)(a2—ab+h2)>(a+6)3,

即要證4(小一池+b2)>(a+b)2,

只需證3(a-Z?)2>0,

2

而aHb,故3(Q-b)>0成立.

???4(a3+b3)>(a+6)3.

【考點(diǎn)】

不等式的證明

分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)及應(yīng)用

【解析】

利用分析法，從結(jié)論入手，尋找結(jié)論成立的條件，即可得到證明.

【解答】

證明：因?yàn)镼>o,b>0,所以要證4(Q3+/)>(a+b)3,

只要證4(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)3,

即要證4(Q2—Q/J+人2)>(q+與2,

只需證3(a-bp>0,

而aHb,故3(Q—b)2>0成立.

4(a3+h3)>(a4-h)3.

20.

【答案】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

猜想數(shù)列Sn｝的通項(xiàng)公式為a”=后手;

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=l時(shí)，由題意知的=2,

顯然滿(mǎn)足的=后￥=2；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,

則當(dāng)n=/c+l時(shí)，ak+1=

_l2k+3_，2(-+1)一1+3

知當(dāng)九=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對(duì)neN*猜想都成立，

即數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為即=套

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

歸納推理

試卷第12頁(yè)，總15頁(yè)

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

Is[7

。2=在。3=65國(guó)

猜想數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為對(duì)?=后至；

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)九=1時(shí)，由題意知的=2,

顯然滿(mǎn)足%=后上=2：

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即以

-2比丁+3

則當(dāng)n=k+l時(shí)，—+1=］竽=

2（k+l）-l+3

2（卜+1）-1

知當(dāng)九=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對(duì)n€N*猜想都成立,

即數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式為