中考數(shù)學一輪復習?？碱}型突破練習專題23 平行四邊形（解析版）

專題23平行四邊形【考查題型】【知識要點】知識點一平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。平行四邊形的判定定理：1)邊：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．2)角：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．3)邊與角：⑥一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；4)對角線：⑦對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的面積公式：面積=底×高平行線的性質(zhì)：1）平行線間的距離都相等；2）兩條平行線間的任何平行線段都相等；3）等底等高的平行四邊形面積相等?？疾轭}型一添加一個條件成為平行四邊形典例1．（2022·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點D，E分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊的中點，點F在SKIPIF1<0的延長線上．添加一個條件，使得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則這個條件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC且DE=SKIPIF1<0AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進行選擇．【詳解】解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=SKIPIF1<0AC，A、根據(jù)∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．B、根據(jù)DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確．C、根據(jù)AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．D、根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．變式1-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________（寫一個即可）．【答案】ABSKIPIF1<0DC(答案不唯一)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵AB=DC，再加ABSKIPIF1<0DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：ABSKIPIF1<0DC(答案不唯一)【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．變式1-2．（2020·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件____，使四邊形ABCD是平行四邊形（填一個即可）．【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法添加一個條件即可．【詳解】解：根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AD=BC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AB∥DC，本題只需添加一個即可，故答案為：AD=BC（答案不唯一）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．變式1-3．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．請你添加一個條件______________，使SKIPIF1<0．（填一種情況即可）【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)添加條件證明AB=CD.【詳解】解：添加的條件：AD=BC，理由是：∵∠ACB=∠CAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握定理內(nèi)容是解題的關鍵.變式1-4．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．【答案】（1）SKIPIF1<0（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析【分析】（1）由題意可知SKIPIF1<0，要使得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則使得SKIPIF1<0即可，從而添加適當條件即可；（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．【詳解】（1）顯然，直接添加SKIPIF1<0，可根據(jù)定義得到結(jié)果，故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一，符合題意即可）；（2）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關鍵．考查題型二平行四邊形的證明典例2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．【答案】見解析【分析】結(jié)合已知條件推知SKIPIF1<0；然后由全等三角形的判定定理SKIPIF1<0證得SKIPIF1<0，則其對應邊相等：SKIPIF1<0；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【詳解】證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．變式2-1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求證：∠ACB＝∠DFE；(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．【答案】(1)見解析(2)四邊形BFEC是平行四邊形【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．（1）證明：∵AF=CD，∴AF＋CF=CD＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0△ABC≌△DEF（SSS）SKIPIF1<0（2）如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：由（1）可知，∠ACB=∠DFE，∴BCSKIPIF1<0EF，又∶BC=EF，SKIPIF1<0四邊形BFEC是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行網(wǎng)邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關鍵．變式2-2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；(2)若SKIPIF1<0求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可證明結(jié)論；（2）先證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，證明四邊形ABCD為菱形，得出SKIPIF1<0，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形ABCD為菱形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵．變式2-3．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且SKIPIF1<0，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四邊形AFCE的面積．【答案】(1)詳見解析；(2)24．【分析】（1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（2）由平行線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得SKIPIF1<0，繼而證明SKIPIF1<0，由此證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，結(jié)合正切函數(shù)的定義解得SKIPIF1<0，最后根據(jù)三角形面積公式解答．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0四邊形ABCD是平行四邊形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四邊形AFCE是平行四邊形．（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，SKIPIF1<0平行四邊形AFCE是菱形．SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．變式2-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知SKIPIF1<0，A，D，H，G四點在同一直線上，測得SKIPIF1<0．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）(1)求證：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點G到SKIPIF1<0的距離）．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用∠A的正弦可得結(jié)論．（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，正確作輔助線構建直角三角形解決問題．變式2-5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）探究四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；（2）連接SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）16【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對邊分別平行是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)SKIPIF1<0，找到邊與邊的等量關系，再利用三角形相似，建立等式進行求解即可．【詳解】（1）四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．理由如下：∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形（2）設SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關鍵是：熟練掌握相關定理，能進行相關的證明．變式2-6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．【答案】（1）見解析；（2）24【分析】（1）根據(jù)題意可證明SKIPIF1<0，得到OD＝OE，從而根據(jù)“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證明即可；（2）根據(jù)AB=BC，AO=CO，可證明BD為AC的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據(jù)條件求出DE的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：在△AOE和△COD中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴OD＝OE．又∵AO＝CO，∴四邊形AECD是平行四邊形．（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO為AC的垂直平分線，SKIPIF1<0．∴平行四邊形AECD是菱形．∵AC＝8，SKIPIF1<0．在Rt△COD中，CD＝5，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形AECD的面積為24．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與面積計算，掌握基本的判定方法，熟練掌握菱形的面積計算公式是解題關鍵．考查題型三利用平行線的性質(zhì)求解典例3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項進行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．變式3-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0對應直尺的刻度為0，則四邊形SKIPIF1<0的面積是（

）A．96 B．SKIPIF1<0 C．192 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：依題意SKIPIF1<0為平行四邊形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB＝8，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴平行四邊形SKIPIF1<0的面積=SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選B【點睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．變式3-2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（

）A．4 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】利用平行四邊形ABCD的面積公式即可求解．【詳解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2×SKIPIF1<0×AC×BF，∴4×6=2×SKIPIF1<0×8×BF，∴BF=3，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形ABCD的面積公式求垂線段的長是解題的關鍵．變式3-3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中（如圖），連接SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行和兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，再通過等量代換即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABSKIPIF1<0CD∴∠DCA＝∠CAB，∵SKIPIF1<0∠DCA+∠ACB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<040o+80o=120o，故選：C．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟記性質(zhì)并熟練運用．變式3-4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸平行，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】過點C作CE⊥y軸于點E，延長BD交CE于點F，可證明△COE≌△ABE（AAS），則OE=BD=SKIPIF1<0；由S△BDC=SKIPIF1<0?BD?CF=SKIPIF1<0可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3SKIPIF1<0，所以點D的縱坐標為4SKIPIF1<0；設C（m，SKIPIF1<0），D（m+9，4SKIPIF1<0），則k=SKIPIF1<0m=4SKIPIF1<0（m+9），求出m的值即可求出k的值．【詳解】解：過點C作CE⊥y軸于點E，延長BD交CE于點F，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴ABSKIPIF1<0OC，AB=OC，∴∠COE=∠ABD，∵BDSKIPIF1<0y軸，∴∠ADB=90°，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=SKIPIF1<0，∵S△BDC=SKIPIF1<0?BD?CF=SKIPIF1<0，∴CF=9，∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF=3SKIPIF1<0．∴點D的縱坐標為4SKIPIF1<0，設C（m，SKIPIF1<0），D（m+9，4SKIPIF1<0），∵反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0（x＜0）的圖像經(jīng)過C、D兩點，∴k=SKIPIF1<0m=4SKIPIF1<0（m+9），∴m=-12，∴k=-12SKIPIF1<0．故選：C．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合問題，坐標與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，設出關鍵點的坐標，并根據(jù)幾何關系消去參數(shù)的值是本題解題關鍵．變式3-5．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，平行四邊形OBAD的頂點B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點D在x軸的負半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】連接OA，設AB交y軸于點C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，AB∥OD，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA，設AB交y軸于點C，∵四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5，∴SKIPIF1<0，AB∥OD，∴AB⊥y軸，∵點B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．變式3-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的點,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，那么四邊形SKIPIF1<0的周長是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明□AFDE的周長等于AB＋AC．【詳解】∵DE∥AB，DF∥AC，則四邊形AFDE是平行四邊形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，∴BF＝FD，DE＝EC，所以□AFDE的周長等于AB＋AC＝10．故答案為B【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握這些知識點是本題解題的關鍵．變式3-7．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0的頂點A，B，C的坐標分別是SKIPIF1<0，則頂點D的坐標是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點的平移性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點B的坐標為(-2，-2)，點C的坐標為(2，-2)，∴點B到點C為水平向右移動4個單位長度，∴A到D也應向右移動4個單位長度，∵點A的坐標為(0，1)，則點D的坐標為(4，1)，故選:C．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關知識點，熟知點的平移特點是解決本題的關鍵．變式3-8．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸只有一個公共點A（1，0），與SKIPIF1<0軸交于點B（0，2），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線SKIPIF1<0，則圖中兩個陰影部分的面積和為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接AB，OM，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形ABOM面積求解即可．【詳解】設平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點M，連接AB，OM．由題意可知，AM=OB，∵SKIPIF1<0∴OA=1，OB=AM=2，∵拋物線是軸對稱圖形，∴圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形ABOM為平行四邊形，∴SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．變式3-9．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】延長EG交AB于H，根據(jù)平行四邊形與三角板的性質(zhì)，SKIPIF1<0，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定義，計算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長EG交AB于H，∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵SKIPIF1<0，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四邊形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與一副特殊三角形板的性質(zhì)，關鍵在于作出輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)進行求解．變式3-10．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點C，SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】3【分析】過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，先證四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根據(jù)S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=SKIPIF1<0即可．【詳解】解：過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，∴CD∥BE，∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，OC=AB，∴四邊形CDEB為平行四邊形，∵CD⊥OA，∴四邊形CDEB為矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，SKIPIF1<0，∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），∴S△OCD=S△ABE，∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=AD，∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點C，∴S△OCD=S△CAD=SKIPIF1<0，∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=SKIPIF1<0，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為3．【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)．變式3-11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．利用尺規(guī)在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上分別截取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為圓心，大于SKIPIF1<0的長為半徑作弧，兩弧在SKIPIF1<0內(nèi)交于點SKIPIF1<0；作射線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到SKIPIF1<0，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵．變式3-12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點P為SKIPIF1<0邊上任意一點，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊作平行四邊形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0長度的最小值為_________．【答案】SKIPIF1<0##2.4【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明SKIPIF1<0利用對應線段的比得到SKIPIF1<0的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴則PQ的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關鍵是利用垂線段最短求解，學生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．變式3-13．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將平行四邊形OABC繞點O旋轉(zhuǎn)90°后，點B的對應點SKIPIF1<0坐標是______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：BM=B1M1=B2M2=3，∠AOA1=∠AOA2=90°，可得B1和B2的坐標，即是B'的坐標．【詳解】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x軸，BM=3．將平行四邊形OABC繞點O分別順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，由旋轉(zhuǎn)得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴B1和B2的坐標分別為：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是圖中的B1和B2，坐標就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案為：(-2，3)或(2，-3)．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．變式3-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．【答案】2【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點SKIPIF1<0的坐標，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點SKIPIF1<0的坐標，從而得出點SKIPIF1<0的坐標，然后運用平行四邊形面積計算公式計算即可．【詳解】解：當x＝0時，y＝2×0+4＝4，∴點B的坐標為（0，4），OB＝4．∵點D為OB的中點，∴OD＝SKIPIF1<0OB＝SKIPIF1<0×4＝2．∵四邊形OCDE為平行四邊形，點C在x軸上，∴DE∥x軸．當y＝2時，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴點E的坐標為（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點的坐標是解本題的關鍵．考查題型四利用平行線的性質(zhì)證明典例4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．(1)求證：BE＝DF；(2)求證：SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0；（2）根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF．（1）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF（SAS）．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形、全等三角形的相關知識．變式4-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，E，G，H，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】證明過程見解析【分析】先由四邊形ABCD為平行四邊形得到∠A=∠C，AB=CD，進而根據(jù)BE=DH得到AE=CH，最后再證明△AEF≌△CHG即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠C，AB=CD，又已知BE=DH，∴AB-BE=CD-DH，∴AE=CH，在△AEF和△CHG中SKIPIF1<0，∴△AEF≌△CHG(SAS)，∴EF=HG．【點睛】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，屬于基礎題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關鍵．變式4-2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的對角線，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．(1)請用尺規(guī)作SKIPIF1<0的角平分線SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認答案后，請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；(2)根據(jù)圖形猜想四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，請將下面的證明過程補充完整．證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0______（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見解析(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0即可；（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；（1）解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；（2）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.又∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關性質(zhì)并靈活應用是解題的關鍵．變式4-3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點O是SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0的延長線于點E，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；(2)若SKIPIF1<0，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形SKIPIF1<0是菱形．理由見解析【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，再證AB=BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵點O是SKIPIF1<0的中點∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（AAS）∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形（2）四邊形SKIPIF1<0是菱形.理由：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴四邊形SKIPIF1<0是菱形【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．變式4-4．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0邊的中點，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的延長線和SKIPIF1<0的延長線相交于點F．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點為G，若SKIPIF1<0的面積為2，求平行四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點，可以得到SKIPIF1<0，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，則答案可證；（2）先證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點E為DC的中點，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面積為2，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．考查題型五利用平行線的性質(zhì)與判定求解典例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構成一個四邊形SKIPIF1<0，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形SKIPIF1<0周長不變 B．SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0面積不變 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0；故D符合題意；隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，SKIPIF1<0不一定等于SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0周長、面積都會改變；故A、B、C不符合題意；故選：D【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握平行四邊形對邊相等．變式5-1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點E，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明SKIPIF1<0，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關知識并正確計算是解題關鍵．變式5-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點E，點O為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0的延長線于點D，交SKIPIF1<0于點G，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若平行四邊形SKIPIF1<0的面積為48，則SKIPIF1<0的面積為（）A．5.5 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由題意易得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后根據(jù)相似比與面積比的關系可求解．【詳解】解：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，AE=EF，SKIPIF1<0，∵平行四邊形SKIPIF1<0的面積為48，∴SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同高不同底，∴SKIPIF1<0，故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關鍵．變式5-3．（2021·江西·中考真題）如圖，將SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0翻折，點SKIPIF1<0落在點SKIPIF1<0處，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為______．【答案】4a+2b【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計算可得到∠ECD=20SKIPIF1<0，∠ACE=∠ACB=40SKIPIF1<0，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80SKIPIF1<0，再等角對等邊即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180SKIPIF1<0，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180SKIPIF1<0，∴∠ECD=20SKIPIF1<0，∠ACE=∠ACB=40SKIPIF1<0=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80SKIPIF1<0=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，則?ABCD的周長為2AD+2CD=4a+2b，故答案為：4a+2b．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．變式5-4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵SKIPIF1<0，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關鍵．變式5-5．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0