完全平方公式講練課

【基礎(chǔ)知識精講】1．完全平方公式（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2右邊是三項(xiàng)（2）公式特征左邊：二項(xiàng)式的平方右邊：二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方與這兩項(xiàng)乘積2倍的和．注意：公式右邊2ab的符號取決于左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的符號．若這兩項(xiàng)同號，則2ab取“＋”，若這兩項(xiàng)異號，則2ab的符號為“－”．（3）公式中字母可代表的含義公式中的a和b可代表一個字母，一個數(shù)字及單項(xiàng)式．（4）幾何解釋圖1－5圖1－5中最大正方形的面積可用兩種形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于這兩個代數(shù)式表示同一塊面積，所以應(yīng)相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用幾何圖形證明了完全平方公式的正確性．2．三個數(shù)的完全平方式（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】［例1］計(jì)算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2點(diǎn)撥：運(yùn)用完全平方式的時候，要搞清楚公式中a，b在題目中分別代表什么，在展開的過程中要把它們當(dāng)作整體來做，適當(dāng)?shù)牡胤綉?yīng)打括號，如：進(jìn)行平方的時候．同時應(yīng)注意公式中2ab的符號．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2［例2］計(jì)算（1）（－m－n）2（2）（－5a－2）（5a＋2）點(diǎn)撥：（1）可直接用完全平方公式．由于－m與－n是同號，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中兩個二項(xiàng)式雖然不同，但若將第一個括號中的“－”提出，則剩下的兩個括號里的項(xiàng)完全相同，可利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．［例3］計(jì)算（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）點(diǎn)撥：（1）可分別應(yīng)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，再化簡．（2）可先利用平方差公式將m－n與m＋n相乘，再將所得結(jié)果m2－n2與中間括號里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式．［例4］計(jì)算：（x＋）2－（x－）2點(diǎn)撥：第一種方法是利用完全平方公式直接展開，第二種方法是可利用平方差公式逆運(yùn)算：a2－b2＝（a＋b）（a－b），將此題轉(zhuǎn)化為平方差公式進(jìn)行計(jì)算．［例5］計(jì)算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）點(diǎn)撥：此題“三項(xiàng)式乘三項(xiàng)式”，且這兩個括號中的三項(xiàng)只有符號不同．先找出兩個括號中完全相同的項(xiàng)放在一起，再把互為相反數(shù)的項(xiàng)放在一起，構(gòu)成（a＋b）（a－b）的形式，利用平方差公式進(jìn)行簡化運(yùn)算．關(guān)鍵：此題最重要一步就是由①到②的過程轉(zhuǎn)化，要保證代數(shù)式在形式發(fā)生變化的同時，大小不變?。劾?］利用公式計(jì)算：1962［例7］某正方形邊長acm，若把這個正方形的邊長減小3cm，則面積減少了多少？【拓展訓(xùn)練】遷移你能運(yùn)用本節(jié)課知識解答下列幾個題目嗎？1．已知：a＋b＝－5，ab＝－6，求a2＋b2．2．利用公式計(jì)算：992－1點(diǎn)撥：可分別用完全平方公式或平方差公式兩種方法得到相同的答案．1．完全平方公式的推導(dǎo)（1）兩數(shù)和的平方(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（2）兩數(shù)差的平方(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b22．完全平方公式兩數(shù)和（或差）的平方、等于它們的平方和，加上（或者減去）它們乘積的2倍。即：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1．本節(jié)的重點(diǎn)是理解并掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，正確運(yùn)用的該公式，難點(diǎn)是正確理解使用公式的條件。2．完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：①左邊是兩個相同的二項(xiàng)式相乘（即二項(xiàng)式的平方）。②右邊是三項(xiàng)，首尾兩項(xiàng)分別是二項(xiàng)式兩項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是二項(xiàng)式兩項(xiàng)積的2倍。a2±2ab+b2稱為完全平方式，完全平方公式由此而來。3．公式中a，b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。4．對于形如兩數(shù)和（差）的平方的乘法，就可以運(yùn)用上述公式寫出結(jié)果。5．在運(yùn)用公式時，經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤是(a±b)2=a2±b2，要特別注意。例1計(jì)算（1）(2y-1)2（2）(1-2y)2（3）(3x-2y)2-(3x+2y)2（4）(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b)解：例2計(jì)算(a+b)2(a-b)2例3計(jì)算（1）5012（2）99.82例4計(jì)算（1）(a+b-c)2（2）(x-y-z)2【難題巧解點(diǎn)撥】1．已知a+b=3，ab=-12，求下列各式的值。（1）a2+b2（2）a2-ab+b2（3）(a-b)2（2）∵a2+b2=33，∴a2-ab+b2=33-ab=33-(-12)=452．已知：有理數(shù)x，y，z滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y3．（1）42-9x+=(2x-)2（2）已知：x2-(m-1)x+4是一個完全平方式，求m的值。【課本難題解答】1．計(jì)算（1）(3x+2y-4)(3x+2y+4)-(3x+2y+4)(3x-2y-4)（2）3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1)22．先化簡，再求值（1）(8x3+8x2+4x+1)(8x3-8x2+4x-1)，其中（2）(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y)，其中x=0.2，y=0.01【典型熱點(diǎn)考題】例1已知：x+y=2，xy=1，求下列代數(shù)式的值（1）x2+y2（2）x4+y4例2計(jì)算（1）(a-2b+3c)(a-3c-2b)（2）(a+b-c)2例3先化簡，再求值(1-4y)(1+4y)+(1+4y)2，其中【同步達(dá)綱練習(xí)】1．計(jì)算（1）(-2a-b)2（2）(x2+y2)2(x+y)2(x-y)2（3）2052（4）2992（5）（6）(3a-2b+c)(3a+2b-c)-(a+2b-3c)(a-2b+3c)（7）(a-b+1)22．解方程或不等式（1）2x-4(x-1)