高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十一）數(shù)列求和 理（含解析）蘇教版-蘇教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十一）數(shù)列求和一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2019·鎮(zhèn)江調(diào)研)已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a3＋a7＝8，則S9＝_______.解析：在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，由a3＋a7＝8，得a1＋a9＝8，所以S9＝eq\f(a1＋a9×9,2)＝eq\f(8×9,2)＝36.答案：362．?dāng)?shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為________．解析：由題意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1.答案：n＋2n－13．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為________．解析：根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.答案：1004．(2018·泰州期末)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝n·2n－1，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝________.解析：∵an＝n·2n－1，∴Sn＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，兩式相減可得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq\f(1－2n,1－2)－n·2n，化簡(jiǎn)可得Sn＝(n－1)2n＋1.答案：(n－1)2n＋15．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比q＞1，且a5－a1＝30，a4－a2＝12，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1an＋1－1)))的前n項(xiàng)和為________．解析：因?yàn)閍5－a1＝30，a4－a2＝12，所以a1(q4－1)＝30，a1(q3－q)＝12，兩式相除，化簡(jiǎn)得2q2－5q＋2＝0，解得q＝eq\f(1,2)或2，因?yàn)閝＞1，所以q＝2，a1＝2.所以an＝2·2n－1＝2n.所以eq\f(an,an－1an＋1－1)＝eq\f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)，所以Tn＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)＝1－eq\f(1,2n＋1－1).答案：1－eq\f(1,2n＋1－1)6．若數(shù)列{an}滿足an－(－1)nan－1＝n(n≥2)，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S40＝________.解析：當(dāng)n＝2k時(shí)，即a2k－a2k－1＝2k，①當(dāng)n＝2k－1時(shí)，即a2k－1＋a2k－2＝2k－1，②當(dāng)n＝2k＋1時(shí)，即a2k＋1＋a2k＝2k＋1，③①＋②得a2k＋a2k－2＝4k－1，③－①得a2k＋1＋a2k－1＝1，S40＝(a1＋a3＋a5＋…＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋eq\f(107＋79,2)＝440.答案：440二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：依題意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n2＋n.答案：n2＋n2．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，所以bn＝(－3)×(－4)n－1，所以|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1.答案：4n－13．已知數(shù)列5,6,1，－5，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16＝________.解析：根據(jù)題意這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)分別為5,6,1，－5，－6，－1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項(xiàng)起，數(shù)列重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項(xiàng)和為5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因?yàn)?6＝2×6＋4，所以這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16＝2×0＋7＝7.答案：74．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：因?yàn)閍n＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－25．(2019·宿遷調(diào)研)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝1，a2＝3，若an＋2＋2an＋1＋an＝0對(duì)任意n∈N*都成立，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：∵a1＝1，a2＝3，an＋2＋2an＋1＋an＝0，∴an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，a2＋a1＝4.則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1＋an))是首項(xiàng)為4，公比為－1的等比數(shù)列，∴an＋1＋an＝4×(－1)n－1.當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k＋a2k－1＝4×(－1)2k－2＝4.∴Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝4k＝2n.當(dāng)n＝2k時(shí)，a2k＋1＋a2k＝－4.Sn＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2k－2＋a2k－1)＝1－4×(k－1)＝5－4k＝5－4×eq\f(n＋1,2)＝3－2n.∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2n，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù).))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2n，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù)))6．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝2，若某學(xué)生對(duì)其中連續(xù)10項(xiàng)進(jìn)行求和，在漏掉一項(xiàng)的前提下，求得余下9項(xiàng)的和為185，則此連續(xù)10項(xiàng)的和為________．解析：由已知條件可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋1，設(shè)連續(xù)10項(xiàng)為ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，設(shè)漏掉的一項(xiàng)為ai＋k,1≤k≤10，由eq\f(ai＋1＋ai＋10×10,2)－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋33≤43,3＜eq\f(34,9)≤i≤eq\f(43,9)＜5，所以i＝4，此時(shí)，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故此連續(xù)10項(xiàng)的和為200.答案：2007．(2019·邵陽模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．在這個(gè)問題中，E分得________錢．解析：由題意，設(shè)A所得為a－4d，B所得為a－3d，C所得為a－2d，D所得為a－d，E所得為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a－10d＝5，,2a－7d＝3a－3d，))解得a＝eq\f(2,3)，故E分得eq\f(2,3)錢．答案：eq\f(2,3)8．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，則{an}的前100項(xiàng)和為________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，所以a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276，因?yàn)閍100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，所以a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12899．(2018·蘇北四市期末)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于?n∈N*，都有Sn≤n(3n＋1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故a2＝5.當(dāng)n≥2時(shí)，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)，即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)．又an＞0，所以an＋1－an－1＝6，所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋a－3，n為奇數(shù)，,3n－1，n為偶數(shù).))(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝eq\f(1,2)(3n＋a－2)(n＋1)－n，由Sn≤n(3n＋1)，得a≤eq\f(3n2＋3n＋2,n＋1)恒成立，令f(n)＝eq\f(3n2＋3n＋2,n＋1)，則f(n＋1)－f(n)＝eq\f(3n2＋9n＋4,n＋2n＋1)＞0，所以a≤f(1)＝4.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝eq\f(1,2)n(3n＋a＋1)－n，由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)恒成立，所以a≤9.又a1＝a＞0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,4]．10．(2019·宿遷中學(xué)調(diào)研)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．(1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若λ＝eq\f(1,2)，求Sn.解：(1)令n＝1，得a2＝eq\f(2,1＋λ).令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，所以a3＝eq\f(2λ＋4,λ＋12λ＋1).由aeq\o\al(2,2)＝a1a3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)))2＝eq\f(2λ＋4,λ＋12λ＋1)，因?yàn)棣恕?，所以λ＝1.(2)當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝eq\f(1,2)anan＋1，所以eq\f(Sn＋1,an＋1)－eq\f(Sn,an)＋eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\f(Sn＋1＋1,an＋1)－eq\f(Sn＋1,an)＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋1,an)))是以2為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(Sn＋1,an)＝2＋(n－1)·eq\f(1,2)，即Sn＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(3,2)))an，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))an－1，②①－②得，an＝eq\f(n＋3,2)an－eq\f(n＋2,2)an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以eq\f(an,n＋2)＝eq\f(an－1,n＋1)(n≥2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋2)))是常數(shù)列，且為eq\f(1,3)，所以an＝eq\f(1,3)(n＋2).代入①得Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(3,2)))an－1＝eq\f(n2＋5n,6).三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·啟東檢測(cè))《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則Sn＝________尺．解析：依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為eq\f(1×1－2n,1－2)＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距離共為eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,2n－1)，所以Sn＝2n－1＋2－eq\f(1,2n－1)＝2n－eq\f(1,2n－1)＋1.答案：2n－eq\f(1,2n－1)＋12．(2018·蘇州高三暑假測(cè)試)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n∈N*)，若對(duì)任意n∈N*，總有Sn≤Sk，則k的值為________．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an－Sn＝a1＋(n－1)d－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(na1＋\f(nn－1,2)d))＝－eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)d－a1))n＋a1－d＝n2－16n＋15，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(d,2)＝1，,\f(3,2)d－a1＝－16，,a1－d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,d＝－2，))所以Sn＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以(Sn)max＝S7，所以Sn≤S7對(duì)任意n∈N*恒成立，所以k的值為7.答案：73．(2019·南京一模)平