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專題28一次函數(shù)與等腰直角三角形結(jié)合1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點,點,點是直線上一點,且,則點的坐標(biāo)為______.【答案】【分析】將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得到,取的中點,直線與直線的交點即為點求出直線的解析式,利用方程組確定交點坐標(biāo)即可.【詳解】解:將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點B作y軸的垂線與分別過點A,作x軸的垂線,交于點M和點N,交x軸于點E,MN與y軸交于點C,如下圖.∴,∴,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,∴,∴,∴(AAS),
∴,,∴,,∴,取的中點,直線與直線的交點即為點,設(shè)直線的解析式為,把B、K坐標(biāo)代入得,解得,∴直線的解析式為,將直線與直線聯(lián)立組成方程組,解得,點坐標(biāo)為.故答案為:.【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點的特征,等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造特殊三角形解決問題.2.如圖,已知點在直線:上,和:的圖像交于點,且點的橫坐標(biāo)為.
(1)直接寫出、的值;(2)若點是直線上一點,且,求出點的坐標(biāo).【答案】(1),(2)點的坐標(biāo)為【分析】(1)根據(jù)題意,把點代入,點的橫坐標(biāo)為代入,即可求解;(2)過作交于,過作軸,過作于,過作于,可證是等腰直角三角形,從而證明,設(shè),可得點坐標(biāo),由此即可求解.【詳解】(1)解:將點的坐標(biāo)代入中,得,∴,∴直線的解析式為,將代入中,解得:,∴點的坐標(biāo)為,將點的坐標(biāo)代入中,則,解得:,綜上所述:,.(2)解:過作交于,過作軸,過作于,過作于,
∵,∴,,∴,∵,,∴是等腰直角三角形,∴,在和中,,∴,∴,,設(shè),∵,∴,,,,∴點坐標(biāo),把代入中,得,解得:,∴點的坐標(biāo)為.【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖形的性質(zhì),掌握一次函數(shù)的圖形在平面直角坐標(biāo)系中的特點是解題的關(guān)鍵.3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:過點和,與互相垂直,且相交于點,D為x軸上一動點.
(1)求直線與直線的函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖2,當(dāng)D在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,若的面積為8,求D點的坐標(biāo);(3)如圖3,直線上有一動點P.若,請直接寫出P點坐標(biāo).【答案】(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為:;直線的函數(shù)表達(dá)式為:(2)(3)或【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)點在上,求出點的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式即可;(2)設(shè),根據(jù),即可求出答案;(3)設(shè)出點的坐標(biāo),根據(jù)條件可知為等腰直角三角形,根據(jù),列出方程解出即可.【詳解】(1)解:直線與過點和,,解得,直線的函數(shù)表達(dá)式為:,與互相垂直,且相交于點,,,
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為,,解得,直線的函數(shù)表達(dá)式為:;(2)解:設(shè),、,,,,點的坐標(biāo)為;(3)解:設(shè)點的坐標(biāo)為,,等腰直角三角形,,即,,,,,,,解得或,或.【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形面積,等腰三角形的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過,,D三點,點D在x軸上方,點C在x軸正半軸上,且,連接,已知.
(1)求直線的表達(dá)式;(2)求點D的坐標(biāo);(3)在線段上分別取點M,N,使得軸,在x軸上取一點P,連接是否存在點M,使得為等腰直角三角形?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)線段的表達(dá)式(2)點D的坐標(biāo)為(3)存在,點M的坐標(biāo)為或【分析】(1)利用待定系數(shù)法求直線的解析式;(2)根據(jù)三角形面積公式得到D到的距離等于B點到的距離的2倍,即D點的縱坐標(biāo)為4,然后利用直線的解析式計算函數(shù)值為4所對應(yīng)的自變量的值,從而得到D點坐標(biāo).(3)先求出直線的表達(dá)式,再求出點N的坐標(biāo)為,分情況討論即可.【詳解】(1)解:將點代入,得解得線段的表達(dá)式(2)已知,且點C在x軸正半軸上,∴點,設(shè)點D的坐標(biāo)為,如解圖①,過點D作x軸的垂線交x軸于點H,則
即,解得,∴點D的坐標(biāo)為(3)存在,點M的坐標(biāo)為或,設(shè)直線的表達(dá)式為將點代入,得,解得直線的表達(dá)式.已知點M在線段上,設(shè)點M的坐標(biāo)為,則,軸,且點N在上∴將代入,得,,解得.點N的坐標(biāo)為分三種情況討論:①如解圖②,當(dāng)M為直角頂點時,點P的坐標(biāo)為,解得:,
點M的坐標(biāo)為②如解圖③,當(dāng)N為直角頂點時,點M的坐標(biāo)與①中情況相同;③如解圖④,當(dāng)P為直角頂點時,,過點P作軸,交MN于點Q,易得點Q為MN的中點,且,點Q的坐標(biāo)為,,,解得,∴點M的坐標(biāo)為綜上所述,點M的坐標(biāo)為或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式:求一次函數(shù),則需要兩組x,y的值.也考查了一次函數(shù)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論.5.【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1,等腰直角三角形中,,,直線經(jīng)過點,過作于點.過作于點,則,我們稱這種全等模型為“型全等”.(不需要證明)【遷移應(yīng)用】已知:直線的圖象與軸、軸分別交于、兩點.(1)如圖2,當(dāng)時,在第一象限構(gòu)造等腰直角,;
①直接寫出______,______;②點的坐標(biāo)______;(2)如圖3,當(dāng)?shù)娜≈底兓c隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,在軸左側(cè)過點作,并且,連接,問的面積是否發(fā)生變化?(填“變”或“不變”),若不變,其值為______;若變,請說明理由;(3)【拓展應(yīng)用】如圖4,當(dāng)時,直線與軸交于點,點、分別是直線和直線上的動點,點在軸上的坐標(biāo)為,當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時,點的坐標(biāo)是______.【答案】(1)①,;②(2)不變,的面積為定值,理由見解析(3)點的坐標(biāo)為或
【分析】(1))①若,則直線與軸,軸分別交于,,,兩點,即可求解;②作于,則.由全等三角形的性質(zhì)得,,即可求解;(2)由點隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,可知,過點作于,則.由全等三角形的性質(zhì)得,根據(jù)三角形的面積公式即可求解;(3)過點作軸于,過點作于,證明.分兩種情況,由全等三角形的性質(zhì)得,,可得點的坐標(biāo),將點的坐標(biāo)代入求得的值,即可求解.【詳解】(1)解:①若,則直線為直線,當(dāng)時,,,,當(dāng)時,,,,,,故答案為:,;②作于,,,又是以為直角頂點的等腰直角三角形,,,,,,,,
,點的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)變化時,的面積是定值,,理由如下:當(dāng)變化時,點隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,,過點作于,,,,,,,又,.,,變化時,的面積是定值,;(3)當(dāng)時,過點作軸于,過點作于,
,,,,,又,.,,,點的坐標(biāo)為,,,直線,將點的坐標(biāo)代入得,,解得:,點的坐標(biāo)為;當(dāng)時,過點作軸于,過點作于,
,,,,,又,.,,,點的坐標(biāo)為,,直線,將點的坐標(biāo)代入得,,解得:,點的坐標(biāo)為.綜上,點的坐標(biāo)為或.【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖像及性質(zhì),構(gòu)造全等三角形解題是關(guān)鍵.
二、解答題(共0分)6.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線交y軸于點,交x軸于點B.直線交AB于點D,交x軸于點E,P是直線上一動點,且在點D的上方,設(shè).(1)求直線的解析式;(2)當(dāng)時,在第一象限內(nèi)找一點C,使為等腰直角三角形,求點C的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或或【分析】(1)把A的坐標(biāo)代入直線的解析式,即可;(2)過點A作,垂足為M,求得的長,再由和可求出點P的坐標(biāo),然后分三種情況討論:若,過點C作于點N;若,過點C作軸于點F;若,即可求解.【詳解】(1)解:∵經(jīng)過,∴,∴直線的解析式是;(2)解:當(dāng)時,,解得,∴點.∴,過點A作,垂足為M,則有,
∵時,,P在點D的上方,∴,∴;∵,∴,解得,∴點.根據(jù)題意得:,,∴,∴.若,過點C作于點N,如圖,∵,∴.又∵,∴,∴,∴,∴;若,如圖,過點C作軸于點F.
∵,∴.又∵,∴.∴,∴,∴;若,如圖,∴,∵∴,∴,∴;∴點C的坐標(biāo)是或或.【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線交x軸于點,與y軸交于點,且a,p滿足.
(1)求直線的解析式;(2)如圖1,直線與x軸交于點N,點M在x軸上方且在直線上,若的面積等于6,請求出點M的坐標(biāo);(3)如圖2,已知點,若點B為射線上一動點,連接,在坐標(biāo)軸上是否存在點Q,使是以為底邊,點Q為直角頂點的等腰直角三角形,若存在,請直接寫出點Q坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)直線AP的解析式為(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或,理由見解析【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出,得到,由待定系數(shù)法求出直線的解析式即可;(2)過作交x軸于D,連接,由三角形面積關(guān)系得到,進(jìn)而得到,待定系數(shù)法求出直線的解析式,即可得到點M的坐標(biāo);(3)設(shè),分三種情況分別求解點Q的坐標(biāo)即可.【詳解】(1)解:∵,解得,∴,設(shè)直線的解析式為,
∴,解得,∴直線AP的解析式為;(2)過作交x軸于D,連接,∵,的面積等于6,∴的面積等于6,∴,即,∴,∴,設(shè)直線的解析式為,則,∴,∴直線的解析式為,令,得,∴;(3)Q的坐標(biāo)為或或.理由如下:設(shè),①當(dāng)點Q在x軸負(fù)半軸時,過B作軸于E,如圖,
∴,∵是以為底邊的等腰直角三角形,∴,,∴,又∵,∴,∴,∴,即,∴,∴,∴;②當(dāng)Q在y軸正半軸上時,過C作軸于F,過B作軸于G,如圖,∴,,∵是以為底邊的等腰直角三角形,∴,
∴,又∵,∴,∴,∴即,∴,∴,∴;③當(dāng)Q在y軸正半軸上時,過點C作軸于F,過B作軸于T,如圖,∴,,同②可證,∴,,∴,即,∴,∴,∴;綜上,Q的坐標(biāo)為或或.【點睛】此題是一次函數(shù)和幾何綜合題,考查了待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.8.如圖,直線過點.
(1)求直線的解析式;(2)如圖2,點M,點N分別為x軸,y軸上一動點,求的最小值及此時點M的坐標(biāo);(3)如圖3,在(2)問的條件下,過點B作垂直于y軸,點P為直線AB上一動點,點Q為直線上一動點,若是以為腰的等腰直角三角形,直接寫出所有滿足條件的點Q坐標(biāo).【答案】(1)(2),(3),,【分析】(1)利用待定系數(shù)法將代入求解即可;(2)作A點關(guān)于x軸的對稱點,作B關(guān)于y軸的對稱點,連接,根據(jù)兩點之間線段最短得到當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時取最小值,然后根據(jù)勾股定理求解即可;(3)根據(jù)就,分情況討論,分別令,,然后利用三角形全等,和點P在直線上,求出點P的坐標(biāo),從而求出點Q的坐標(biāo).【詳解】(1)將代入直線AB解析式得:解得:,∴;(2)作A點關(guān)于x軸的對稱點,作B關(guān)于y軸的對稱點,連接∴當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時取最小值,
最小值,∵∴直線解析式為,令,解得∴,∴的最小值為,此時M點坐標(biāo)為;(3)①當(dāng)時,點P在x軸上方時,過點P坐軸于點C,作軸于點D,如圖所示,在和中,∴∴點P的橫坐標(biāo)為,代入直線的解析式,∴點,∴點;
②當(dāng)時,點在x軸下方時,過點作軸于點,作軸于點,如圖所示,同理可證,∴,∴點P的橫坐標(biāo)為5,代入直線的解析式,∴,∴點;③當(dāng)時,過點作于點E,過點作于點F,如圖所示,同理可證,∴,設(shè)點的坐標(biāo)為,則點的橫坐標(biāo)為,點的縱坐標(biāo)為,將點的橫坐標(biāo)代入直線的解析式.,解得,
∴點.綜上所述,點Q坐標(biāo)為,,.【點睛】此題考查了一次函數(shù)和三角形結(jié)合綜合題,動點問題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線為與x,y軸分別交于A,B兩點,點C在y軸的負(fù)半軸上,若將沿直線折疊,點B恰好落在x軸正半軸上的點D處.(1)點A坐標(biāo)是,點B的坐標(biāo)是.的長是.(2)求點C的坐標(biāo).(3)若點M是y軸上一動點,若,直接寫出點M坐標(biāo).(4)在第一象限內(nèi)是否存在一點P,使為等腰直角三角形,若存在,直接寫出點P坐標(biāo),若不存在,說明理由.【答案】(1),5(2)(3)或(4)存在,點P的坐標(biāo)為或或【分析】(1)利用一次函數(shù)解析式直接求出其圖象與x軸和y軸的交點坐標(biāo),即為A,B的坐標(biāo),再根據(jù)兩點的距離公式即可求出的長;(2)由折疊知,從而可求出.設(shè),則.在中,利用勾股定理可列出關(guān)于x的等式,解出x,即可求出C點坐標(biāo);(3)由三角形面積公式可求出.設(shè),則,從而得出關(guān)于t
的方程,解出t即可得出M點坐標(biāo);(4)分類討論:①當(dāng),時,過點P作軸于點G.易證,得出,,從而得出;②當(dāng),時,過點P作軸于點H.由①同理可求出;③當(dāng),時,過點P作軸于點M,軸于點N.易證,得出,.即可設(shè),得出,解出a,即得出P點坐標(biāo).【詳解】(1)對于,令,則,解得:,∴.令,則,∴,∴.故答案為:,5;(2)由折疊知:,∴.設(shè),則.∵在中,,∴,解得:,∴,∴;(3)∵,,∴.設(shè),∴,∴,∴,
解得:或20,∴或;(4)分類討論:①當(dāng),時,如圖,過點P作軸于點G.∴,,∴.即在和中,,∴,∴,∴,∴;②當(dāng),時,如圖,過點P作軸于點H.由①同理可證,∴,
∴,∴;③當(dāng),時,如圖,過點P作軸于點M,軸于點N.∵,∴.∵,∴.又∵,,∴,∴,.∴可設(shè),∴,,∴,解得:.∴;綜上可知,存在一點P,使為等腰直角三角形,點P的坐標(biāo)為或或.【點睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點,坐標(biāo)與圖形,折疊的性質(zhì),勾股定理,三角形全等的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,綜合性強(qiáng),較難.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵.10.如圖,直線與x軸交于點,與y軸交于點,P是x軸上的動點.
(1)求k的值.(2)連結(jié)PB,當(dāng)時,求OP的長.(3)過點P作AB的平行線,交y軸于點M,點Q在直線上.是否存在點Q,使得是等腰直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2)OP=1;(3)存在,點坐標(biāo)為:或或.【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法得出解析式解答即可;(2)設(shè)P(m,0),根據(jù)勾股定理得出方程解答即可;(3)設(shè)Q(2,t),分下列情況:①當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形,∠MPQ=90°時,如圖1;②當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形,∠PMQ=90°時,如圖2;③當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形,∠PQM=90°時,如圖3;④當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形,∠PQM=90°時,如圖4;分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)列出方程即可得到結(jié)論.【詳解】(1)將,代入得:,解得:,的值是;(2)設(shè),,,,,,,,即,
解得,;;(3)存在,點坐標(biāo)為:或或.過點Q作平行于軸的直線,點在直線上,設(shè)直線交軸于點,設(shè),,,直線的解析式為:,設(shè)點的坐標(biāo)為,過點作的平行線,交軸于點,直線的解析式為:,,,,①當(dāng)是等腰直角三角形,時,如圖1,則,,,,,,,,,,
,聯(lián)立方程組得,解得:,;②當(dāng)是等腰直角三角形,時,如圖2,則,①,過點作直線,垂足為,則,,,,,,,,
,,,,,,,
;③當(dāng)是等腰直角三角形,時,如圖3,則,過點作軸于點,則,軸,,,,,,
,;④當(dāng)是等腰直角三角形,時,如圖4,則,過點作軸于點,則,
,,,,,,,
,;綜上所述,點坐標(biāo)為:或或.【點睛】此題是一次函數(shù)綜合題,考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,兩點間距離公式,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握方程的思想方法及分類討論思想是解本題的關(guān)鍵.11.如圖,直線l1:y=2x﹣4與x軸交于點A,與y軸交于點B,直線l2與x軸交于點D,與y軸交于點C,BC=6,OD=3OC.(1)求直線CD的解析式;(2)點Q為直線AB上一動點,若有S△QCD=2S△OCD,請求出Q點坐標(biāo);(3)點M為直線AB上一動點,點N為直線x軸上一動點,是否存在以點M,N,C為頂點且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形,若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo),并寫出其中一個點M求解過程,若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)或(3)M(2,0)或(4,4)或(,),過程見詳解【分析】(1)根據(jù)直線的解析式分別求出C、D坐標(biāo)即可求CD的表達(dá)式;
(2)過點Q作交CD于點F,設(shè)Q(m,2m-4),則F(m,),E(m,0);得,由S△QCD=2S△OCD,即可求解;(3)假設(shè)以點M,N,C為頂點且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形,設(shè)M(a,2a-4),N(t,0),①若∠MNC=90°,過點N作平行于y軸的直線與點C與x軸的平行線交于點I,與點M與x軸的平行線交于點H,證,由,即可求點M;②若∠CMN=90°,過點M作平行于x軸的直線分別交y軸于點J,與過點N平行于y軸的直線交于點K,證,解,即可;【詳解】(1)解:將x=0代入y=2x-4中得,y=-4,∴B(0,-4),∵BC=6,∴OC=2∴C(0,2)∵OD=3OC,∴OD=6,∴D(6,0),設(shè)CD的解析式為,將C、D代入得,,解得:,∴CD的解析式為:.(2)如圖,過點Q作交CD于點F,由題意可設(shè)Q(m,2m-4),則F(m,),E(m,0);
∴∴∵S△QCD=2S△OCD,∴,∴,∴或,∴Q點的坐標(biāo)為或.(3)假設(shè)以點M,N,C為頂點且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形,設(shè)M(a,2a-4),N(t,0),①當(dāng)點M與點A重合,點N與點O重合,∠CNM=90°,CN=MN=2時,此時M(2,0);②若∠CMN=90°,過點M作平行于x軸的直線分別交y軸于點J,與過點N平行于y軸的直線交于點K,∵∠CMN=90°,∴∠CMJ+∠NMK=90°,∵∠CMJ+∠MCJ=90°,∴∠NMK=∠MCJ,∵∠NMK+∠MNK=90°,∴∠MNK=∠CMJ,∵CM=MN,∴,∴CJ=MK,JM=NK,∴,解得:a=或4,∴M(4,4)或(,).
【點睛】本題主要考查一次函數(shù),三角形的全等證明,等腰直角三角形的性質(zhì),掌握相關(guān)知識并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.12.模型建立:如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過A作于D,過B作于E.(1)求證:;(2)模型應(yīng)用:①已知直線:y=﹣x﹣4與y軸交于A點,將直線繞著A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°至,如圖2,求的函數(shù)解析式;②如圖3,矩形ABCO,O為坐標(biāo)原點,B的坐標(biāo)為(8,﹣6),A,C分別在坐標(biāo)軸上,P是線段BC上動點,設(shè)PC=m,已知點D在第四象限,且是直線y=上的一點,若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形,請求出點D的坐標(biāo).【答案】(1)見解析(2)①y=﹣x﹣4;②(4,﹣2)或(,﹣)或(,﹣)【分析】(1)先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA,再由AAS定理可知△ACD≌△CBE;(2)①過點B作BC⊥AB于點B,交于點C,過C作CD⊥x軸于D,根據(jù)∠BAC=45°可知△ABC為等腰直角三角形,由(1)可知△CBD≌△BAO,由全等三角形的性質(zhì)得出C
點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式即可;②分三種情況考慮:如圖3所示,當(dāng)∠ADP=90°時,AD=PD,設(shè)D點坐標(biāo)為(x,2x+6),利用三角形全等得到,得D點坐標(biāo);如圖4所示,當(dāng)∠APD=90°時,AP=PD,設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,m),表示出D點坐標(biāo)為(14m,m8),列出關(guān)于m的方程,求出m的值,即可確定出D點坐標(biāo);如圖5所示,當(dāng)∠ADP=90°時,AD=PD時,同理求出D的坐標(biāo).【詳解】(1)證明:∵△ABC為等腰直角三角形,∴CB=CA,又∵AD⊥CD,BE⊥EC,∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°,又∵∠EBC+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,在△ACD與△CBE中,,∴△ACD≌△EBC(AAS);(2)解:①過點B作BC⊥AB于點B,交于點C,過C作CD⊥x軸于D,如圖2,∵∠BAC=45°,∴△ABC為等腰直角三角形,由(1)可知:△CBD≌△BAO,∴BD=AO,CD=OB,∵直線:y=x4,∴A(0,4),B(3,0),∴BD=AO=4.CD=OB=3,
∴OD=4+3=7,∴C(7,3)設(shè)的解析式為y=kx+b(k≠0),∴∴,∴的解析式:;②如圖3,當(dāng)∠ADP=90°時,AD=PD,∵,∴,∴∵點D在第四象限,且是直線y=上的一點,∴設(shè)D點坐標(biāo)為(x,2x6),∵B的坐標(biāo)為(8,﹣6),∴∴,即解得,∴D點坐標(biāo)(4,2);如圖4,當(dāng)∠APD=90°時,AP=PD,同理可得,
過D作x軸的平行線EF,交直線OA于E,交直線BC于F,設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,m),則D點坐標(biāo)為(14m,m8),由m8=2(14m)+6,得m=,∴D點坐標(biāo)(,);如圖5,當(dāng)∠ADP=90°時,AD=PD時,同理可求得D點坐標(biāo)(,),綜上可知滿足條件的點D的坐標(biāo)分別為(4,2)或(,)或(,),【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題,主要考查了點的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形,運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算,需要考慮的多種情況,解題時注意分類思想的運(yùn)用.13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線yx與x軸交于點A,且經(jīng)過點B(2,a),在y軸上有一動點P,直線BC上有一動點M,已知C(3,0).
(1)a=_____;(2)若△APM是以線段AM為斜邊的等腰直角三角形,則點M的坐標(biāo)是_____.【答案】
3
,或,或,或,【分析】(1)令x=2即可求得a的值;(2)先求得直線BC的解析式為y=-3x+9,點A的坐標(biāo)為(-2,0),過點M作MH⊥y軸于點H,證明△MPH≌△PAO,然后設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,y),點M的坐標(biāo)為(x,-3x+9),然后求得AO、PO、PH、MH的長,進(jìn)而由全等三角形的性質(zhì)列出方程求得x的值,即可得到點M的坐標(biāo).
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