金融計量學：分位數(shù)回歸與金融計量

分位數(shù)回歸與金融計量

學習目標

熟悉分位數(shù)回歸的基本原理，明晰均值回歸與分位數(shù)回歸的差異，掌握分位數(shù)回歸結果的經濟解釋；掌握分位數(shù)回歸的建模過程及其在金融計量中的應用，學會使用分位數(shù)回歸模型計算金融風險。均值回歸模型描述的是自變量與“平均”因變量??(??│??)之間的關系。然而，人們往往更加關注極端分位特征。例如，在風險研究時，更加關注破壞性較強的極端尾部風險。本章將詳細介紹分位數(shù)回歸模型，闡述分位數(shù)回歸模型在金融風險領域的應用，并結合實際例子，計算我國金融機構的系統(tǒng)性風險水平，旨在使學生了解相關金融安全知識，樹立金融安全意識。7.1分位數(shù)回歸模型概述7.2分位數(shù)回歸模型7.3分位數(shù)回歸模型的估計方法7.4分位數(shù)回歸估計值的解釋7.5分位數(shù)回歸模型的拓展7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風險專題7基于分位數(shù)回歸的金融機構系統(tǒng)性風險測度研究目錄CONTENTS分位數(shù)回歸模型概述7.17.1分位數(shù)回歸模型概述傳統(tǒng)回歸分析主要關注均值，即采用因變量條件均值的函數(shù)來描述自變量每一特定數(shù)值下的因變量均值，從而揭示自變量與因變量的關系。金融風險研究通常關注極端風險，這一領域要求深入分析因變量的分布特征。對分布特征的描述包括中心位置、數(shù)值范圍、偏態(tài)和其他高階特征，而不僅是中心位置。Koenker和Bassett在1978年提出了分位數(shù)回歸模型（QuantileRegression），該模型是線性回歸模型的自然拓展。隨著自變量變化，線性回歸模型描述因變量的條件均值變化，而分位數(shù)回歸模型強調條件分位數(shù)變化。分位數(shù)回歸模型7.27.2.1總體分位數(shù)

7.2.2樣本分位數(shù)

分位數(shù)回歸模型的估計方法7.37.3分位數(shù)回歸模型的估計方法

由于分位數(shù)回歸的目標函數(shù)帶有絕對值，因此通常采用線性規(guī)劃求解估計值。

7.3分位數(shù)回歸模型的估計方法

在實際應用中，我們可以很容易地使用R語言的quantreg包進行分位數(shù)回歸估計。分位數(shù)回歸估計值的解釋7.47.4.1參照與比較對于線性回歸模型而言，擬合系數(shù)可解釋為估計效應，即因變量分布變化的均值情況，而均值變化來源于一個連續(xù)型自變量的單位增量，或者虛擬變量從0到1的變化。每一種變化都可理解為參照組和比較組在均值上的估計差異。對分位數(shù)回歸的解釋與上述類似，即參照組和比較組在特定分位數(shù)上的估計差異，當控制變量保持不變時，這一估計差異來源于自變量的單位增量，或者來源于虛擬變量從0到1的變化。7.4.1條件均值與條件中位數(shù)中位數(shù)回歸是分位數(shù)回歸的一種，它用于表達在特定自變量下因變量的條件中位數(shù)，并且中位數(shù)回歸可作為擬合條件均值的一種替代方法，兩種模型可進行對比。表7.1展示了滬深300指數(shù)收益率對中國銀行股票收益率的估計系數(shù)，括號內為t統(tǒng)計值。為便于比較，我們也展示了線性回歸OLS估計結果。表7.1分位數(shù)回歸系數(shù)估計值

OLS5%10%15%20%HS3000.5340.6440.5230.4880.469

(34.60)(19.39)(37.79)(42.71)(35.74)

50%80%85%90%95%HS3000.4470.4540.4650.4900.555

(41.80)(44.22)(85.77)(32.05)(13.74)7.4.1條件均值與條件中位數(shù)圖7.1展示了不同分位點上滬深300指數(shù)收益率對中國銀行股票收益率的估計系數(shù)（黑色實線），其中x軸為分位點，y軸為估計系數(shù)，中間黑色虛線為OLS估計結果。圖7.1估計系數(shù)的分位數(shù)變化R代碼>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=Data$中國銀行>x=Data$HS300>tau=c(0.05,0.1,0.15,0.2,0.5,0.8,0.85,0.9,0.95)>Res=rq(y~x,tau=tau)>plot(summary(Res))分位數(shù)回歸模型的拓展7.57.5.1極值分位數(shù)回歸模型傳統(tǒng)分位數(shù)回歸模型假設收益率滿足正態(tài)分布，未考慮金融時間序列數(shù)據的“厚尾”特征，而極值分位數(shù)回歸（ExtremalQuantileRegression，簡稱EQR）假設因變量的尾部分布具有帕累托（Pareto-type）行為，可更好擬合金融時間序列數(shù)據。假設存在如下條件分位數(shù)函數(shù)：

極值分位數(shù)回歸的估計和推理方法較為復雜，在這里我們不做過多闡述，感興趣的讀者可以參考《HandbookofQuantileRegression》這本書。7.5.1極值分位數(shù)回歸模型例7.1

沿用表7.1數(shù)據，圖7.2展示了QR估計的置信區(qū)間和EQR估計的置信區(qū)間。中間部分兩者無顯著差異，但在兩側尾部QR置信區(qū)間要窄于EQR置信區(qū)間，這種差異表明QR估計低估了數(shù)據的尾部變化，可能對極端風險的刻畫存在不足。圖7.2QR置信區(qū)間和EQR置信區(qū)間比較R代碼>rm(list=ls())>library(quantreg)>library(foreign)>library("openxlsx")>source("R-progs.R")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Y=Data$中國銀行>X=Data$HS300>s=c("Intercept","HS300")>p=length(s)>alpha=.10>subsample.size=floor(50+sqrt(length(Y)))>subsample.fraction=subsample.size/length(Y)>taus=(1:199)/200R代碼>fit.central=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>fit.extreme=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>for(iin1:length(taus)){fit=rq(Y~X,tau=taus[i])central=summary.rq(fit,se="ker")fit.central[i,1]=central$coefficients[2,1]fit.central[i,2]=central$coefficients[2,1]+qnorm(alpha/2)*central$coefficients[2,2]fit.central[i,3]=central$coefficients[2,1]+qnorm(1-alpha/2)*central$coefficients[2,2]extreme =summary.rq.extreme(fit,subsample.fraction=subsample.fraction,R=500,method="br",alpha=alpha,spacing=5+p)fit.extreme[i,1]=extreme$coefficients[2,5]fit.extreme[i,2]=extreme$coefficients[2,3]fit.extreme[i,3]=extreme$coefficients[2,4]}R代碼#Plotextremeregions>plot(c(0,1),xlim=c(0,1),type="n",xlab=expression(tau),ylab="Coefficient")lines(taus,smooth(fit.extreme$V2),col=4,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.extreme$V3),col=4,lwd=1.5,lty=1)abline(h=0)#Plotestimatesandcentralregionslines(taus,fit.central$V1,col=1,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.central$V2),col=2,lwd=1.5,lty=2)lines(taus,smooth(fit.central$V3),col=2,lwd=1.5,lty=2)7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型分位數(shù)向量自回歸模型（QuantileVAR，簡稱QVAR）將分位數(shù)回歸技術和VAR模型結合，可探討解釋變量對因變量不同分位數(shù)的影響效應。對下尾和上尾的影響效應在金融風險管理中極其重要。分位數(shù)向量自回歸模型可用來研究經濟變量和金融變量間的非線性和非對稱關系，可解決傳統(tǒng)VAR模型不能解釋的問題。7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型一般地，n維p階分位數(shù)向量自回歸模型具體框架如下：

分位數(shù)向量自回歸模型強調如下事實：每個方程中的參數(shù)估計都從屬于方程左邊因變量條件分布的不同分位數(shù)水平，即該模型可同時考慮在不同分位數(shù)下，各方程中因變量間的相互關系。在宏觀經濟分析中，通過設置不同的分位數(shù)水平，可研究經濟市場中宏觀變量的不同情形。7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型例7.2假定滬深300指數(shù)日對數(shù)收益率和中國銀行日對數(shù)收益率構成的二元序列服從VAR(1)模型，利用quantreg包估計5%分位點下的QVAR模型，估計結果見表7.2，括號內為標準誤，L1.中國銀行代表中國銀行日對數(shù)收益率滯后1期。僅做展示作用，具體的滯后期選擇、序列平穩(wěn)性和變量選擇等，根據實際問題考慮。表7.2QVAR（1）估計結果常數(shù)項L1.中國銀行L1.HS300VAR（1）中國銀行-0.0021-0.0052-0.0027

（-0.08）（-0.22）（-0.12）HS3000.01610.00320.0231

（0.56）（0.13）（0.99）QVAR（1）中國銀行-1.70530.08570.0992

（-20.11）（-1.37）（1.60）HS300-2.1204-0.00820.1463

（-21.13）（-0.09）（1.73）R代碼>library("openxlsx")>library("quantreg")>library("vars")>y=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=as.matrix(y)>nlag=1>Res_VAR=VAR(y,p=nlag)>summary(Res_VAR)>k=ncol(y)>x=embed(y,nlag+1)>tau=0.05>for(iin1:k){Res_QVAR=summary(rq(y[-c(1:nlag),i]~x[,-c(1:k)],tau=tau))print(Res_QVAR$coefficients)}分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風險7.67.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風險

7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風險在給定分位數(shù)的情形下，我們可得到金融機構i的在險價值VaR和條件在險價值CoVaR：

進一步可計算金融機構i的條件在險價值差ΔCoVaR：

7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風險

圖7.3中國銀行ΔCoVaRR代碼>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex4_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Ins_y=Data$中國銀行>Market_y=Data$HS300>State=Data[,4:8]>State=as.matrix(State)>Res_Ins_50=rq(Ins_y~State,tau=0.5)>Res_Ins_5=rq(Ins_y~State,tau=0.05)>Res_Market_5=rq(Market_y~Ins_y+State,tau=0.05)>dcovar=Res_Market_5$coefficients[2]*(Res_Ins_5$fitted.values-Res_Ins_50$fitted.values)>plot(abs(dcovar),type="l")基于分位數(shù)回歸的金融機構系統(tǒng)性風險測度研究專題專題1.數(shù)據描述和變量選取我們選取31家上市金融機構的股票數(shù)據，其中包括16家銀行機構，3家保險機構，12家證券機構，時間區(qū)間為2011年1月4日到2021年12月31日，具體金融機構見表7.3。機構機構機構機構機構平安銀行興業(yè)銀行中國銀行國金證券中國平安寧波銀行北京銀行中信銀行海通證券中國太保浦發(fā)銀行農業(yè)銀行東北證券招商證券中國人壽華夏銀行交通銀行國元證券太平洋證券民生銀行工商銀行廣發(fā)證券興業(yè)證券招商銀行光大銀行長江證券華泰證券南京銀行建設銀行中信證券光大證券表7.3樣本機構專題1.數(shù)據描述和變量選取

圖7.4金融系統(tǒng)對數(shù)收益率序列專題1.數(shù)據描述和變量選取

專題1.數(shù)據描述和變量選取

專題1.數(shù)據描述和變量選取

專題2.實證分析表7.4為31家金融機構的算術平均ΔCoVaR及其標準差，ΔCoVaR絕對值越大，表明該機構風險程度較高。表7.4金融機構ΔCoVaR均值及其標準差機構ΔCoVaR均值ΔCoVaR標準差機構ΔCoVaR均值ΔCoVaR標準差機構ΔCoVaR均值ΔCoVaR標準差中國平安0.4000.140北京銀行0.4440.201廣發(fā)證券0.4840.162中國太保0.4890.117農業(yè)銀行0.4740.218長江證券0.4850.214中國人壽0.3870.102交通銀行0.5340.312中信證券0.5300.236平安銀行0.4120.122工商銀行0.5520.259國金證券0.3500.124寧波銀行0.4900.101光大證券0.4350.189海通證券0.5740.251浦發(fā)銀行0.4620.209光大銀行0.4600.192招商證券0.5210.185華夏銀行0.5730.253建設銀行0.4910.242太平洋證券0.3710.145民生銀行0.4420.238中國銀行0.4550.251興業(yè)證券0.4650.171招商銀行0.4270.147中信銀行0.3760.150南京銀行0.5040.177東北證券0.4800.206興業(yè)銀行0.4890.170國元證券0.4190.181專題2.實證分析圖7.5