江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研試題數(shù)學(xué)

常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2023.12本試卷共22題滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知一個(gè)面積為的扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A B. C. D.6.若，則（

）A. B. C. D.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8.若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.當(dāng)時(shí)，解集為D.當(dāng)時(shí)，二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.10.下列正確的是（）A.為銳角，B.為銳角，C.若，則D若，且，則11.下列說法正確的是（

）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（）A.B.C.若，則D.若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是______.14.已知函數(shù)，則的值為______.15.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，若經(jīng)過3分鐘后物體的溫度為，則經(jīng)過6分鐘后物體的溫度為_________.16.若函數(shù)，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值．18.（1）已知，，求的值；（2）若銳角滿足，求的值.19.設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，記．（1）求A；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．20.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．22.定義在D上函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）判斷函數(shù)是否是上的有界函數(shù)并說明理由；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若，函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界，若存在，求出的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由．常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2023.12本試卷共22題滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】解對(duì)數(shù)不等式得到，從而求出交集.【詳解】，故.故選：B2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求出答案.【詳解】，其中，故的終邊在第三象限.故選：C3.“”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可。【詳解】可得或所以“”是“”的必要而不充分條件。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題。4.已知一個(gè)面積為的扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積和弧長(zhǎng)公式求得正確答案.【詳解】設(shè)扇形半徑為，圓心角為，則，解得.故選：B5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象只有選項(xiàng)C符合.故選：C.6.若，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】依題，令，則，，所以.故選：A7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，求出或0，根據(jù)單調(diào)性得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，，故，從而根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到答案.【詳解】令，解得或0，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不合要求，故，定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，，，，，其中，由于，故，即.故選：C8.若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.當(dāng)時(shí)，的解集為D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)的周期，即可得出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，從而結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷.【詳解】由是定義在上的奇函數(shù)得，由是偶函數(shù)得，即關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合是奇函數(shù)可得關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴函數(shù)的周期為8.當(dāng)時(shí)，，則在（1個(gè)周期）的圖象如圖所示.對(duì)A，由圖易得，在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)；對(duì)B，由函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性可得，B錯(cuò)；對(duì)C，由圖以及函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知，滿足，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，D對(duì).故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B選項(xiàng)，使用基本不等式求出最大值為；C選項(xiàng)，平方后結(jié)合B選項(xiàng)求出答案；D選項(xiàng)，代入，從而得到.【詳解】A選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；B選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即最大值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，由B選項(xiàng)得，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，有最大值，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，其中，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，D正確.故選：ACD10.下列正確的是（）A.為銳角，B.為銳角，C.若，則D.若，且，則【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合角的象限可判斷AB，應(yīng)用指對(duì)冪的運(yùn)算公式可判斷CD.【詳解】對(duì)A，為銳角，則在第一象限，則，A正確；對(duì)B，若，則在第一象限，則，B正確；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，則，同理，則，解得，D正確故選：ABD11.下列說法正確的是（

）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，解指數(shù)不等式得到定義域；B選項(xiàng)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案；C選項(xiàng)，先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為能夠取到所有正數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式組，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，的取值范圍是，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，解得，由于在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間即為所求，其中對(duì)稱軸為，開口向下，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t能夠取到所有正數(shù)，當(dāng)時(shí)，能夠取到所有正數(shù)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)角的定義和坐標(biāo)關(guān)系分別求值.【詳解】A項(xiàng)，角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，因?yàn)?，由三角函?shù)定義可知，，所以，由解得，，所以，所以C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由解得，，所以，所以，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，化簡(jiǎn)得，，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系分析即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是______.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解.【詳解】命題“，”的否定是：，.故答案為：，14.已知函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】計(jì)算得出，結(jié)合函數(shù)解析式可得出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以?故答案為：.15.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，若經(jīng)過3分鐘后物體的溫度為，則經(jīng)過6分鐘后物體的溫度為_________.【答案】【解析】【分析】由題知，首先求出k的值，再將代入，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，3分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，所以，將代入可得，故答案為：.16.若函數(shù)，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】.【解析】【分析】結(jié)合奇偶性與單調(diào)性，應(yīng)用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題求解.【詳解】的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又因?yàn)?，所以是上的偶函?shù)；因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又其為偶函數(shù)，得在單調(diào)遞減，則對(duì)恒成立，即，即，即，即,令，則不等式組化為，即與都要在上恒成立，則，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)不等式問題一般情況要結(jié)合奇偶性與單調(diào)性求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后轉(zhuǎn)化為用表示，代入的值計(jì)算即可.【小問1詳解】點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，又，，；【小問2詳解】.18.（1）已知，，求的值；（2）若銳角滿足，求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則得到，兩邊平方得，再求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出，進(jìn)而變形為齊次式，化弦為切，代入求值.詳解】（1）∵，，，∴，解得，，，，，，；（2），，，故.19.設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，記．（1）求A；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由題意可解得，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由換元法，令，，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.【小問1詳解】由函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)可得，解得，故，且定義域?yàn)閧x|x>0}，由可得，所以，即，由，解得，故．【小問2詳解】，，令，，函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為，對(duì)稱軸為．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故．又，，所以．20.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)求出，然后根據(jù)條件列出方程組，進(jìn)而求出的值，求出解析式.（2）由（1）中，通過換元，將不等式對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)恒成立，然后利用基本不等式求出結(jié)果即可.【小問1詳解】設(shè)二次函數(shù)，由得，由得，不等式得，由題意，是方程的兩根，則，解得，所以，綜上，，.【小問2詳解】由（1），因?yàn)椋?，則對(duì)恒成立，故對(duì)時(shí)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出，且，進(jìn)而求出時(shí)的函數(shù)解析式；（2）先得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，則，由時(shí)，函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；【小問2詳解】不等式，由函數(shù)為奇函數(shù)，化為：，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，且，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，又∵，∴在上單調(diào)遞增，故有，解得，綜上所述：不等式的解集為.22.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）判斷函數(shù)是否是上的有界函數(shù)并說明理由；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以