吉林省長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二學(xué)程考試數(shù)學(xué)（理）試卷

長(zhǎng)春市十一高中20長(zhǎng)春市十一高中20202021學(xué)年度高二上學(xué)期第二學(xué)程考試數(shù)學(xué)（理科）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)命題，則為（）A． B．C． D．2．正方形ABCD的中心為點(diǎn)，AB邊所在的直線方程是，則CD邊所在的直線的方程為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線上的點(diǎn)到的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A．7 B．23 C．5或25 D．7或234．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最小值為（）A．8 B．1 C． D．135．已知:或，:，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知圓，定點(diǎn)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡的方程是（）A． B． C． D．7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)任意點(diǎn)P，平面B．三棱錐的體積為C．線段DP長(zhǎng)度的最小值為D．存在點(diǎn)P，使得DP與平面所成角的大小為8．阿波羅尼斯（約公元前262190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)不共線時(shí)，面積的最大值是（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上異于端點(diǎn)的任意點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)分別為M，N，若四邊形的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．10．已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．[,]C． D．11．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上,，，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知球是正三棱錐的外接球，底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.13．已知命題p：，，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.14．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.15．點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是___________．16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．三、解答題：本題共6小題,共70分.17．（本題滿分10分）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（1）求邊上的高線所在的直線方程；（2）求的面積．18．（本題滿分12分）已知圓與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和，與軸一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦的長(zhǎng)為，求直線的傾斜角；（3）求過原點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線的方程．19．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，平面平面，且，為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，那么橢圓的右焦點(diǎn)是否可以成為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不可以，請(qǐng)說明理由.（注：垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)）21．（本題滿分12分）如圖，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且平面平面.（1）求證：平面；（2）設(shè)，求二面角的正弦值.22．（本題滿分12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段與橢圓的交點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設(shè)過點(diǎn)且平行于直線的直線交軸于點(diǎn).（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（2）記的面積為，的面積為，求的最小值.參考答案A2.A3.D4.C5.B6.B7.D8.C9.A10.D11.D12.B13.17.【答案】（Ⅰ）x+6y﹣22=0；（Ⅱ）16.試題解析：（I）由題意可得，∴AB邊高線斜率k=，∴AB邊上的高線的點(diǎn)斜式方程為，化為一般式可得x+6y﹣22=0；（II）由（Ⅰ）知直線AB的方程為y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，∴C到直線AB的距離為d=，又∵|AB|==，∴三角形ABC的面積S=18．【答案】（1）；（2）直線的傾斜角為30°或90°；（3）．【詳解】（1）設(shè)，，，則中垂線為，中垂線為，∴圓心滿足∴，半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，：到圓心的距離為1，亦滿足題意，直線的傾斜角為90°；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由弦長(zhǎng)為4，可得圓心（1，1）到直線的距離為，即：，∴，此時(shí)直線的傾斜角為30°，綜上所述，直線的傾斜角為30°或90°．（3）當(dāng)過原點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線與直線垂直∵∴直線：．19.【詳解】（1）∵，，平面，∴平面，又平面，∴，∵平面平面，面平面，，平面，∴平面，而平面，∴，又∵，平面，∴平面．（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1），，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則．20.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解之得：，…………（3分）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………（4分）（2）假設(shè)存在直線使得點(diǎn)是的垂心，，，，是的垂心，,從而，…………（5分）設(shè)直線的方程為.由得，令，，則，，，即…………（6分），則…………（7分）又，化簡(jiǎn)可得：或…………（10分）當(dāng)時(shí)點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意；…………（11分）當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)與題意相符.當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)是的垂心.…………（12分）21．【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，平面，又平面，且，平面平面，由平面可得平面；（2）由（1）知平面，平面，且四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，且則即，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則即，取得，，設(shè)二面角的平面角為，則.22.【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓，可得：由題意：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得：代入橢圓方程，可得：所以：所以.故直線的方程為.（Ⅱ