河南省商丘名校2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

2022—2023學年下期期末聯(lián)考高二數(shù)學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合B，再利用集合的并集運算求解.【詳解】解：由，即，解得，所以，所以．故選：A．2.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點處的切線方程求解步驟，可得答案.【詳解】，，，易得切線方程為，故選：C．3.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權最暗．一名天文愛好者從七顆星中隨機選三顆進行觀測，則玉衡和天權都未被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概率計算公式，即可得到結果.【詳解】玉衡和天權都沒有被選中的概率為，故選：D．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，充分性成立，，時無意義，不成立，必要性不成立，因此應充分不必要條件．故選：A．【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，解題時需判斷兩個命題的真假．5.設隨機變量，其中，則的值為（）A.0 B. C.1 D.的不確定值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，可得答案.【詳解】由題正態(tài)曲線關于直線對稱，因為，，根據(jù)對稱性可得，即，故選：C．6.現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的定義，結合全概率公式，可得答案.【詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得．故選：B．7.代數(shù)式的展開式中的系數(shù)為（）A.20 B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】利用，結合二項展開式的通項分析.【詳解】，故需要求展開式中的和的系數(shù)，則含的項應為：，所以系數(shù)為.故選：A8.已知，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，構造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，然后代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可知，，可設，則，即單調(diào)遞增，由，由，所以，于是有，又，故，所以，故選：C．二、選擇題（本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.某服裝公司對15月份服裝銷量進行了統(tǒng)計，結果如下：月份編號x12345銷量y（萬件）5096142185227若與線性相關，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.線性回歸方程必過 B.C.相關系數(shù) D.6月份的服裝銷量一定為272.9萬件【答案】AB【解析】【分析】對于A，由回歸直線過樣本中心點判斷，對于B，將樣本中心點代入回歸方程求解，對于C，由的值分析判斷，對于D，將代入回歸方程求解.【詳解】對于A，因為，所以線性回歸方程必過，所以A正確；對于B，由線性回歸直線必過，所以，解得，所以B正確；對于C，因為，所以相關系數(shù)，所以C錯誤；對于D，當時，，所以可預測6月份的服裝銷量約為272.9萬件，所以D錯誤．故選：AB．10.若在定義域上不單調(diào)，則實數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設，由題意可知，在上有兩個零點，根據(jù)二次函數(shù)的零點分布可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】由，則可知在上有變號零點，設，則函數(shù)有兩個零點，設其零點分別為、，則，又因為、至少一個為正數(shù)，從而可知、都為正數(shù)，且，因為，則只要，解得，故選：CD.11.通過隨機詢問相同數(shù)量的不同性別的大學生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明，得知有的男大學生“不看”，有的女大學生“不看”，若有的把握認為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有關，則調(diào)查的總人數(shù)可能為（）附：，其中．0.100.0100.0012.7066.63510.828A.150 B.170 C.192 D.210【答案】CD【解析】【分析】設男女大學生各有人，依題意得到列聯(lián)表，計算出卡方，即可得到不等式，解得的取值范圍，即可判斷.詳解】設男女大學生各有人，根據(jù)題意畫出列聯(lián)表，如下圖：看不看合計男女合計所以，因為有的把握認為性別與對產(chǎn)品是否滿意有關，所以，解得，結合選項，可知CD符合題意．故選：CD12.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于AB，利用基本不等式結合分析判斷即可，對于C，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對于D，先利用基本不等式求出的最小值，再利用基本不等式可求得結果.【詳解】對于A，因為，且，所以，當且僅當時等號成立，故A正確；對于B，，故，當且僅當時等號成立，故B不正確；對于C，，所以，故C正確；對于D，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號．故D正確；故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.將6本不同的書分成兩堆，每堆至少兩本，則不同的分堆方法共有_________種．【答案】25【解析】【分析】由題意可得，有兩種分組方法，然后分別計算，即可得到結果.【詳解】由題知，共有兩種分法：這種分法數(shù)為種；這種分法數(shù)為種，所以，共有25種．故答案為：14.函數(shù)的最大值為__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意，求導得到其極大值，即最大值，即可得到結果.【詳解】易知時，時，，在單增，單減，則在取得極大值，即最大值，．故答案為：15.若命題“函數(shù)無極值”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】因為，無極值，則可得恒成立，即可求解.【詳解】，因為函數(shù)無極值，所以方程恒成立，所以只需，解得，即．故答案為：16.已知函數(shù)，若且，則最小值是________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求導得到與相切并且與平行的直線方程，然后代入計算，即可得到結果.【詳解】由得，令得，得切點坐標，則可得切線方程為，即，再令，得，于是符合題意的，因此：．故答案為：.四、解答題（本題共6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得到求解；（2）將時，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對都成立求解.【小問1詳解】解：當時，得，解得或，所以此不等式的解集為．小問2詳解】當時，不等式恒成立，可得對都成立，由于，當且僅當即時等號成立，所以，即，故實數(shù)的取值范圍是．18.已知函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點．（1）求；（2）求曲線在點處的切線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，由題意，建立方程，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)在某點處的切線方程的步驟，可得答案.【小問1詳解】由題得，當時，當時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點；當時，當時，，當時，，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故只需，解得．【小問2詳解】由（1）可知，，由，所以切點為，又，故切線方程為，化簡得：.19.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和濃度（單位：），得下表：PM2.5濃度濃度3218468123710（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：PM2.5濃度濃度并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）列聯(lián)表見解析，有關【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由古典概型概率公式，代入計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，通過計算，即可判斷.【小問1詳解】根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天空氣中的PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)為，因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的概率的估計值為．【小問2詳解】根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：PM2.5濃度濃度64161010

零假設為：該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度無關．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得：．由于，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有個極值點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）求得，令，分析可知直線與的圖象有個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍，再結合極值點的定義驗證即可.【小問1詳解】解：因為，且該函數(shù)的定義域為，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值．【小問2詳解】解：函數(shù)的定義域為，，設，則，由，得，列表如下：減極小值增當時，；當時，.作出函數(shù)與的大致圖象，如圖，當時，直線與的圖象有個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為、，且，數(shù)形結合可知：當或時，，當時，，此時函數(shù)有個極值點．所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.21.某校開展“學習二十大，永遠跟黨走”網(wǎng)絡知識競賽．每人可參加多輪答題活動，每輪答題情況互不影響、每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對，方可進行第二組答題，否則本輪答題結束．已知甲同學第一組每道題答對的概率均為，第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀念章．（1）記甲同學在一輪比賽中答對的題目數(shù)為，請寫出的分布列，并求；（2）若甲同學進行了4輪答題，求甲同學恰好獲得2枚紀念章的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）先確定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求；（2）先求甲同學每一輪獲得紀念章的概率，進而可得，結合獨立重復試驗概率公式求甲同學恰好獲得2枚紀念章的概率.【小問1詳解】由題意，X可取0，1，2，3，4．，，，，，則的分布列為：01234．【小問2詳解】每一輪獲得紀念章的概率為，設4輪答題獲得紀念章的數(shù)量為，則，，即甲同學則獲得2枚紀念章的概率是．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于的方程有兩個相異實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導，然后分，兩種情況討論導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方程要化為，令，則可得關于的方程有兩個不等的實根，即有兩個不等的實根，令，利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，畫出圖象結合圖象求解即可.【小問1詳解】定義域為，由，得，①當時，恒有，得在上單調(diào)遞減；②當時，由，得，在上，有單調(diào)遞增；在上，有單調(diào)遞減．綜上可得：當時，