直角三角形八年級數(shù)學下學期重要考點精講精練

1.3直角三角形直角三角形角的性質定理與判定定理1.直角三角形角的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言∶在△ABC中，∵∠C=90，∴∠A+∠B=90°.2.直角三角形角的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.幾何語言∶在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC為直角三角形.題型1：直角三角形的性質與求角度1.在一個直角三角形中，一個銳角等于56°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．26° B．34° C．36° D．44°【變式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．35° D．30°【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，∠B＝52°，那么∠ACD＝．題型2：利用互余證明直角三角形2.已知：如圖，BD⊥AC，E為垂足，△ABE的中線FE的延長線交CD于點G，∠1＝∠2，求證：△CGE是直角三角形．【變式2-1】如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，∠1＝∠B，求證：△ABC為直角三角形．【變式2-2】如圖，已知D是線段BC的延長線上一點，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．題型3：利用直角三角形的性質判定垂直3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B，求證：CD⊥AB．【變式3-1】如圖所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）求證：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的長．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B，求證：CD⊥AB．勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目中的已知線段的長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.（4）勾股數(shù)：滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41……②如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.題型4：勾股定理求線段長度4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點．連接CD，若AC＝4，BC＝3，則CD的長度是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【變式4-1】如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長．【變式4-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于點D．求：（1）CD的長；（2）BD的長．題型5：勾股定理的證明5.如圖，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三點共線，各邊長如圖所示，請利用面積法證明勾股定理．【變式5-1】一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證法．如圖，火柴盒的一個側面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設AB＝a．BC＝b，AC＝c，請利用四邊形BCC′C的面積證明勾股定理．【變式5-2】如圖，已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊為a，b，c，求證：a2+b2＝c2．題型6：勾股定理的實際應用6.如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．【變式6-1】如圖，某人劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B25m，結果他在水中實際劃了65m，求該河流的寬度．【變式6-2】如圖，一架長5米的梯子AB，頂端B靠在墻上，梯子底端A到墻的距離AC＝3米．（1）求BC的長；（2）梯子滑動后停在DE的位置，當AE為多少時，AE與BD相等？勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.題型7：利用勾股定理判定直角三角形7.如圖是由邊長均為1的小正方形組成的網格，點A，B，C都在格點上，∠BAC是直角嗎？請說明理由．【變式7-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．【變式7-2】如果△ABC的三邊分別為a、b、c且滿足|a﹣3|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，判定△ABC的形狀．互逆命題與互逆定理如果兩個命題的題設與結論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.一個定理是真命題，每一個定理不一定有逆定理，如果這個定理存在著逆定理，則一定是真命題.題型8：互逆命題的改寫及判定真假8.下列命題的逆命題是假命題的是（）A．到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上 B．角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 C．如果a＝b，那么a2＝b2 D．在△ABC中，如果BC2+AC2＝AB2，那么∠C＝90°【變式8-1】下面各命題都成立，那么逆命題成立的是（）A．鄰補角互補 B．全等三角形的面積相等 C．如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等 D．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形【變式8-2】命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是；該逆命題是命題（填“真”或“假”）．"斜邊、直角邊"（"HL"）定理1.定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）.2.書寫格式如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中判定兩個直角三角形全等常用的思路方法題型9：“斜邊，直角邊（HL）”判定三角形全等9.如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是．（不添加字母和輔助線）【變式9-1】如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠1＝∠2，求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．【變式9-2】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．題型10：化整為零求線段長度10.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B．求證：CD⊥AB．【變式10-1】如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，則求CD的長．【變式10-2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的長．題型11：割補法求面積11.如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求陰影部分的面積．【變式11-1】如圖，在邊長均為1的5×5正方形網格中，A，B，C，D均在格點上．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）求四邊形ABCD的面積．【變式11-2】如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，試求四邊形ABCD的面積．題型12：折疊問題12.如圖，長方形紙片ABCD中，BC＝，DC＝1，將它沿對角線BD折疊，使點C落在點F處，則圖中陰影部分的面積是多少？【變式12-1】長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長．【變式12-2】如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積．題型13：立體圖形中的最短距離13.如圖，圓柱的高為10cm，底面半徑為4cm，在圓柱下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問：螞蟻至少要爬行多少路程才能食到食物？【變式13-1】如圖，一個長方體盒子的長、寬、高分別為9cm，7cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞cB，那么它爬行的最短路程是多少？【變式13-2】（1）如圖1，長方體的長為4cm，寬為3c