2022屆高考數(shù)學考前押題及答案

2022年高考數(shù)學考前押題

1.如圖，ABCQE尸是由兩個全等的菱形A8EF和CDFE組成的空間圖形，AB=2,ABAF

=/EC￡)=60°.

(1)求證：BD±DC：

(2)如果二面角B-EF-。的平面角為60°,點P為棱。尸上的動點，求直線BP與平

面BCE所成最大角的正弦值.

【分析】(1)取EF中點G,連接BG,DG,先由線面垂直的判定證明出EF垂直平面

BDG,即可求證CC垂直B。；

(2)由題易知NBG￡>=60°,可先由等體積法求出。到平面8CE的距離，再根據(jù)三角

函數(shù)表示出直線BP與平面BCE所成角，即可進行求解.

【解答】解：(1)如圖，取EF中點G,連接BG、DG,

在菱形A8EF中，因為/B4F=60°,...△BEF是正三角形，

：.EF1.BG,同理在菱形CDEf中，可證EFJ_OG,

，《尸，平面BOG,：.EFLBD,又?：CD"EF,:.CDLBD.

(2)由(1)知，NBGQ是二面角8-EF-￡>的平面角，即/BG￡>=60°,

又BG=GD=yfi,.,.△8OG是正三角形，即有BD=g,

如圖，取。G的中點O,連接BO,貝i」BO_LOG,

B

又由（1）知EF_L8O,；DGCEF=G,CDEF,KB0=

又BD^CD,則在RtABDC中，BC=y/BD2+DC2=夜，

，SABCE=|xV7x14一;=苧，設。到平面BCE的距離為h,

11?、氣

=XX-X=,

則/_OCE=可X8。xS^DCE324~^~2"

^D-BCE=[x九xS^BCE=I'x九x=孚，解得九=2^^,

又P為棱OF上的動點，且。F〃面BCE,則點尸到平面BCE的距離為“廣，

設直線8P與平面8CE所成角為。，則sine=白，其中。40°,90°],

要求直線BP與平面BCE所成最大角的正弦值，只需求BP的最小值即可，

易知I,當時，8尸最小，作垂足為P,由等面積法知，

11/Dn2

△BO尸的面積S=*x0尸xBP=^xBDxJOE2-（號）,

BnDD739.._h翠8V91

即8尸=.’..5山8=而=R=F,

1~

O./Q-1

故直線BP與平面BCE所成最大角的正弦值為二」.

91

【點評】本題考查了空間中線與面垂直的性質(zhì)，考查了空間中動點問題與二面角的綜合

應用.

2.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面A8CQ為矩形，底面ABCDPA=AB=V2,點

E,尸分別是棱P8,PC的中點.

（1）求證：PBVAF-,

（2）若AD=1,求二面角4-EC-。的平面角的余弦值.

【分析】(1)先證明EF_LP8,AE±PB,進而證明尸8_L平面AEF,再證明PB_LAF；

(2)建系，求出平面ACE與OCE的法向量，根據(jù)向量法可以求出二面角A-EC-。的

平面角的余弦值.

【解答】解：(1)證明：：出，底面ABCD,BCu平面ABCD,：.PA±BC.

BC±AB,PAC\AB=A,

.?.8C，平面PAB,又PBu平面PAB,

：.BCLPB.

連接???點E,尸分別是棱PB,PC的中點，

：.EF為△PBC的中位線，J.EF//BC,

J.EF1.PB.

又△啊B為等腰三角形，E為斜邊P8的中點，

：.AE±PB.

而￡7七平面AEF,AEu平面AEF,EFQAE=E,

AWAEF,又AFu平面4E/，

J.PBLAF.

(2)如圖，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標系.

則￡)(0,1,0),C(V2,1,0),B(V2,0,0),P(0,0,V2),

E(-^，0,,

：.AC=(V2,1,0),族=(孝,0,孝)，

設平面ACE的法向量為m=z)

m?AC=A/2%1+3/1=0

--7272'取Xl=-1，

(m?AE=區(qū)％1+三21=0

則m=(―1,&，1),

設平面DCE的法向量為n=(%2,丫2,Z2),

而DC=(V2,0,0),而=(孝，-1,孝)，

(n-DC=y[2x2=0

則一而a"

Z

(幾?DE=-^x2—y2+~2~2=0

取”=1,則n=(0,1,V2),

—>—>,—

?、mmV6

..cos<m,n>=———=

|m|-|n|J

V6

二面角A-EC-D的平面角的余弦值為y.

【點評】本題考查線線垂直的證明，二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.

3.如圖，四棱錐P-ABCZ)的側(cè)面是正三角形，底面A8CZ)是直角梯形，NBAD=

/4。C=90°,AB=AD^2DC,M是BC邊的中點.

(1)求證：PM1.AD；

(2)若PB=yflAB,求直線PM與平面方5所成角的正弦值.

p

A

【分析】(1)取AO中點N,通過證明AD_L平面PMN得出

(2)建立空間坐標系，求出平面朋B的法向量就計算法向量1與P%的夾角即可得出結(jié)

論.

【解答】(1)證明：取AO的中點N,連接PN,MN,

?.?△外。是正三角形，J.PNLAD,

?.?底面ABC￡>是直角梯形，/BAQ=NA￡>C=90°,M是BC邊的中點,川是A。的中點，

J.MNLAD,

又PNCMN=N,

平面PMN,又尸Mu平面PMN,

:.ADLMN.

(2)解："：PB=y[2AB,AB=AD=PA,

：.PB2=PA1+AB2,.,.PAA.AB,

y.ABA.AD,PA^AD=A,

，AB_L平面PAD,又ABu平面ABCD,

平面ABCO_L平面PAD,

;平面ABC。Cl平面物￡>=AZ),PN±AD,PM=平面BAD,

，PN_L平面ABC。，

已N為原點，己NA,NM,NP為坐標軸建立空間坐標系如圖所示：

L3

不妨設。。=1,則P(0,0,遮)，A(1,0,0),(1,2,0),M(0,一，0),

2

—>—>—>3

：.PA=(1,0,-V3),AB=(0,2,0),PM=(0,-，-V3),

2

設平面RW的法向量為％=G,y,z),貝|4；廿=°,

即｛1一」?