2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷和答案

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷和答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（4分）設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6},貝!]AUB=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,

6}

2.（4分）已知a,bGR,a+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,

b=-3D.a=l,b=3

x-2>0,

3.（4分）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,2x+y-7<0,則z=3x+4y的最

x-y-240,

大值是（）

A.20B.18C.13D.6

4.（4分）設(shè)x€R,貝"sinx=l"是"cosx=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的

體積（單位：cm3）是（）

A.22itB.8TTC.爭D?囁

6.（4分）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin

人卷）圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移工個(gè)單位長度

5

B.向右平移三個(gè)單位長度

5

C.向左平移生個(gè)單位長度

15

D.向右平移工個(gè)單位長度

15

7.(4分)已知2a=5,Iog83=b,則4a-3b=()

A.25B.5C.至D.1

93

8.（4分）如圖，已知正三棱柱ABC-AiBiG,AC=AAi,E,F分

別是棱BC,AiCi上的點(diǎn).記EF與AAi所成的角為a,EF與平

面ABC所成的角為的二面角F-BC-A的平面角為丫,則（）

B

A.B.C.BWyWaD.aWyWB

9.（4分）已知a,bGR,若對任意xGR,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|20,

則（）

A.aWl,b，3B.aWl,bW3C.a^l,b》3D.a21,b<3

2

10.（4分）已知數(shù)列⑸｝滿足ai=l,an+i=an-|an（nGN*）,則（）

A.2VlOOaiooV§B.l<lOOaioo<3

22

C.3<100ai（<ZD.l<lOOaioo<4

（022

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，

共36分。

11.（4分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面

積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)

學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是S=

2a2-（口宣^:］，其中a,b,c是三角形的三邊，S是三

V42

角形的面積.設(shè)某三角形的三邊a=&,b=M，c=2,則該三角

形的面積S=.

12.（6分）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=ao+aix+a2x2+a3x3+a4x4+asx5,

貝!I32=tai+32+33+34+35=?

13.（6分）若3sina-sinp=\^io,a+0=衛(wèi)，貝!Jsina=______,cos2p

2

-X2+2,X<1,

14.（6分）已知函數(shù)f（x）=1則f（f（D）=；

xJ-1，X>1,2

x

若當(dāng)x€［a,b］時(shí)，l<f（x）W3,則b-a的最大值是.

15.（6分）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從

這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為亭

則P（己=2）=,E（0=.

16.（4分）已知雙曲線且-上=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F,過

a2b2

F且斜率為上的直線交雙曲線于點(diǎn)A（xi,yi）,交雙曲線的漸近

4a

線于點(diǎn)B（X2,y2）且xi<0<x2.若|FB|=3|FA|,則雙曲線的離

心率是.

17.（4分）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上,

則西?+咯2+...+匹2的取值范圍是-

三、答案題：本大題共5小題，共74分。答案應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

18.（14分）在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已

知4a=\而孰cosC=3.

5

（I）求sinA的值；

（II）若b=ll,求aABC的面積.

19.（15分）如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB/7DC,

DC/7EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二

面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,BC的

中點(diǎn).

（I）證明：FN±AD；

（II）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

E

20.(15分)已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai=-1,公差d>l.記⑶｝

的前n項(xiàng)和為Sn(nGN*).

(I)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;

(II)若對于每個(gè)nGN*,存在實(shí)數(shù)cn,使an+cn,an+i+4cn,an+2+15cn

成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

2

21.(15分)如圖，已知橢圓=+y2=L設(shè)A,B是橢圓上異于P(0,

12

1)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q(0,1)在線段AB上，直線PA,PB分別交

2

直線y=-k+3于C,D兩點(diǎn).

2

(I)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

2x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知a,bGR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(xi,f(xD),

(X2,f(X2)),(X3,f(x3))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)(a,b),證明：

(i)若a>e,則OVb-f(a)<1(A-1)；

2e

(ii)若OVaVe,xi<x2<x3,貝！)2+生生<J-+」__<2一紅旦.

e6x1x3a6

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

L【知識點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.

【答案】解：???A={1,2},B={2,4,6),

/.AUB={1,2,4,6},

故選：D.

2.【知識點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【答案】解：Va+3i=(b+i)i=-1+bi,a,bGR,

.*.a=-1,b=3,

故選：B.

3.【知識點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

x-2〉0,

【答案】解：實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2x打-740,

x-y-240,

則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，

由已知可得A(2,3),

由圖可知：當(dāng)直線3x+4y-z=0過點(diǎn)A時(shí)，z取最大值,

則z=3x+4y的最大值是3X2+4X3=18,

故選：B.

4.【知識點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件.

【答案】解：Vsin2x+cos2x=l,

①當(dāng)sinx=l時(shí)，則cosx=0,???充分性成立，

②當(dāng)cosx=0時(shí)，則sinx=±L??.必要性不成立，

.".sinx=l是cosx=0的充分不必要條件，

故選：A.

5.【知識點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【答案】解：由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下

部是圓臺，

所以幾何體的體積為：Ix^xi3+nXI2X

23

2+y(22xJI+I2Xn+V22XKXI2XJI)x2=學(xué)冗?

故選：C.

6.【知識點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(sx+(p)的圖象變換.

【答案】解：把y=2sin(3X+2L)圖象上所有的點(diǎn)向右平移三個(gè)

515

單位可得y=2sin[3(x--)+2L]=2sin3x的圖象.

155

故選：D.

7.【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【答案】解：由2d=5,log83=b,

可得8b=23b=3,

則4a-3b=4a=（22）2=52=25

43b（23b）2329

故選：c.

8.【知識點(diǎn)】二面角的平面角及求法.

【答案】解：???正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1,

???正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1,

如圖，過F作FG_LAC,垂足點(diǎn)為G,連接GE,則AiA〃FG,

AEF與AAi所成的角為NEFG=a,且tana=^l,

FG=GE

又GE6[0,1],/.tanae[O,1],

，EF與平面ABC所成的角為NFEG=B，且+

GEGE

8）,

tan02tana,①，

再過G點(diǎn)作GH_LBC,垂足點(diǎn)為H,連接HF,

又易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

.\BC±FG,又FGDGH=G,，BC_L平面GHF,

，二面角F-BC-A的平面角為NGHF=Y，且tanY="-L,又

GHGH

GHG[0,1],

tany￡[l,+°°）,/.tany^tana,…②，

又GE2GH,/.tanp^tany,…③，

由①②③得tanaWtanBWtany,又a,0,丫曰0，2），y=tanx在

[0,2L）單調(diào)遞增，

2

故選：A.

9.【知識點(diǎn)】絕對值不等式的解法.

【答案】解法一：當(dāng)aVLxf+8時(shí)，

a|x-b|+|x-4|-|2x-5|=a(x-b)+(x-4)-22+5=(a+1-2)

x-ab-4+5VO,與已知條件矛盾，

?'?a'l,

若b>3,則當(dāng)x=b時(shí)，

a|x-b|+|x-4|-|2x-5|=|b-4|-2b+5<0,與條件矛盾,

故ABC均錯(cuò)誤，D正確.

解法二：由a|x-b|2|2x-5|-|x-4|,作出f(x)=|2x-5|-|x-

4|的圖象，如圖，

數(shù)形結(jié)合，得a》l且bW3.

故選：D.

10.【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

【答案】解：???an…產(chǎn)-打V0,

???{an}為遞減數(shù)列,

又an+l~an-fan2<r且anWO,

an+l1\2\

17亍

又ai=l>0,則an>0,

_>aa，

??^n~~2^n>3"nn+l

-?---1-----1，

an+lan3

?,*-(n-1)=梟錚貝°a

n

anaj333n+2

???100叼00voOX5Vt=3；

由9=32得(1)得

an+lan3anan+l=an3

111/I1…1、

4-----(1+口)，

an+lan2-an.33n+1

3^2

累加可得，(y-4-+.......T?)+D

an+j3323n+1

,??^^344TX(4"tT+......+7AA)^34-^X?x6。*93)<40,

aIQQOZO1UUOZo

??lOOaloo>lOOX—

綜上，y<100a100<3?

故選：B.

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分,

共36分。

11.【知識點(diǎn)】三角形的面積公式.

【答案】解：由s=7m三品M=

邸2.(加產(chǎn)［百歿(內(nèi)2嚴(yán)等,

故答案為：巨.

4

12.【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【答案】解：*.*(x-1)*4=x4-4X3+6X2-4x+l,

，a2=-4+12=8；

令x=0,則ao=2,

令x=1,貝!Jao+a1+32+33+34+35=0,

31+32+33+34+35=-2.

故答案為：8,-2.

13.【知識點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).

【答案】解：??,3sina-sinB=T5，a+P=-L,

3sina-cosa=\fia,

cosa=3sina-VIo,

*.*sin2a+cos2a=l,

sin2a+Osina-V10)2=1,

解得sina=RHcosp=sina=

1010

COS2B=2COS2B-1=2XJ^L-1=A.

1005

故答案為：為叵；生

105

14.【知識點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值.

-X2+2,X<1

【答案】解:???函數(shù)f(x)...f(1)=-1+2=

X4-1,x>124

X

7

一9

4

Af(f(D)=f(1)嚏;

2

由圖可知，若當(dāng)x€[a,b]時(shí)，iWf(x)W3,則b-a的最大值是

2W3-(-l)=3W3.

故答案為：37.3+M.

28

15.【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【答案】解：根據(jù)題意可得：器的取值可為1,2,3,4,

又p(曰)3

5

=受￡運(yùn)處獨(dú)

P(f=2)

c3-35’

r2

P(f=3)=幺￡

「335

2

Cr

P(f=4)—-2-..19

「335

.\E(E)=1X1+2Xli+3XJ_+4XA=12,

73535357

故答案為：16.12.

357

16.【知識點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AA'_Lx軸于點(diǎn)A',過點(diǎn)B作

BB'_Lx軸于點(diǎn)B，,

由于B（X2,y）且x>0,則點(diǎn)B在漸近線y/Lx上，不妨設(shè)

22a

b

B（in,—m）,m〉（p

a

設(shè)直線AB的傾斜角為0,貝！Jtan8=也，則憚一上，即

Ian4a|FB，4a

b

一.丁上，則|FB'|=4m,

lFByI4a

|OF|=c=3m,

又［AA：1=!研!」,貝!||AA，|=^|BB/|=^=—，

|BB'IIBFI3113113a9a

則

又羋耳~)=!研！」'貝0|1FA，11|1

|FB'IIBFI333

?I_4m5m5c

|xil=3m-T=T=T，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一左，皿)，

、99a；

9,22

25c2h

8181a二，即《號號

a2b2

c376

e-

a4

故答案為：斗.

A'0t/

17.【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；二倍角的三角函數(shù).

【答案】解：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5Al所在直

線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則Ai(0,1),慶2除冬,A3(1,0),A/喙，乎)，As(0,

T)，A6(平，平)，(-1,0),人8(斗，誓),

設(shè)P(x,y),

貝U西2+麗2+...+所2=

2222222222

|PA1|+|PA2|+|PA3|+|PA4|+|PA5|+|PA6|+|PA7|+|PA8|=8(x+y)

+8,

Vcos22.5°這|OP|W1,.*.li￡O|45^<x2+y2<1,

???￥《x2+y24i，

.,.12+272^8(x2+y2)+8W16,

即西之+國2+-+區(qū)2的取值范圍是[12+2&，16],

故答案為：[12+2&,16].

三、答案題：本大題共5小題，共74分。答案應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

18.【知識點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【答案】解：(I)因?yàn)閏osC=3>0,所以CW(0,2L),且sinC

52

=Vl-cos2C="1?

由正弦定理可得：

sinAsinC

即有sinA=asinC=^sinC=2ZLxA=2￡L；

cc455

(II)因?yàn)?a=V^c=a=叵cVc,

4

所以AVC,故AW(0,2L),

2

又因?yàn)閟inA=2Zl.,所以COSA=R5,

55

所以sinB=sin[TT-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

=11V5.

25'

由正弦定理可得：」_=_J=_?_=5"而，

sinAsinCsinB

所以a=5,后sinA=5,

所以SAABC=labsinC=1X5X11X1=22.

225

19.【知識點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直；直線與平

面所成的角.

【答案】證明：(I)由于CD_LCB,CD±CF,

平面ABCDC1平面CDEF=CD,CFu平面CDEF,CBu平面

ABCD,

所以NFCB為二面角F-DC-B的平面角，

則NFCB=60°,CD_L平面CBF,則CD_LFN.

又CF=V§(CD-EF)=26，CB=V3(AB-CD)=2E，

則ABCF是等邊三角形，則CB_LFN,

因?yàn)镈C_LFC,DC±BC,FCDBC=C,FCu平面FCB,BCu平

面FCB,

所以DC_L平面FCB,因?yàn)镕Nu平面FCB,所以DC_LFN,

又因?yàn)镈CCICB=C,DCu平面ABCD,CBu平面ABCD,

所以FN_L平面ABCD,因?yàn)锳Du平面ABCD,故FN_LAD；

解：(II)由于FN_L平面ABCD,如圖建系：

于是

B(0,V3,0),A(5,g0),F(0,0,3),E(l,0,3),D(3,增,0)

，則M(3,亨,

BM=(3,-^y-,-|-),DA=(2,2A/3?0)，DE=(-2,a，3)?

設(shè)平面ADE的法向量；=(x,y,z),

則2?上=0,2x+2^|y=0,令x=M，則y=_1,Z=V3,

n-DE=0-2x+V3y+3z=0

???平面ADE的法向量[=(?,-1,正)，

設(shè)BM與平面ADE所成角為0,

I麗?n|W7

貝！Isin8

IBMIInI_14

20.【知識點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【答案】解：(I)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai=-l,公差d>L

因?yàn)镾4-2a2a3+6=0,可得"(a】-2a2a3+6=0,即2(ai+a4)

2

-2a2a3+6=0,

ai+ai+3d-(ai+d)(ai+2d)+3=0,即-1-l+3d-(-1+d)(-

l+2d)+3=0,

整理可得：d2=3d,解得d=3,

所以Sn=nai+n(n-l)d=-n+.紅2包尸.包2一團(tuán)

222

即Sn=3niz5n；

2

(II)因?yàn)閷τ诿總€(gè)I1WN*,存在實(shí)數(shù)Cn,使an+Cn,an+l+4Cn,an+2+15Cn

成等比數(shù)列，

2

貝!J(ai+nd+4cn)=[ai+(n-1)d+cn][(ai+(n+1)d+15cn],ai

222

整理可得：cn+[(14-8n)d+8]cn+d=0,則A=[(14-8n)d+8]

-4d220恒成立在nGN+,

整理可得[(2n-3)d-2][n-2)d-l]^0,

當(dāng)n=l時(shí)，可得dW-2或d》-l,而d>l,

所以d的范圍為(1,+8);

n=2時(shí)，不等式變?yōu)?d-2)(-1)20,解得d<2,而d>l,

所以此時(shí)d€(1,2],

當(dāng)n23時(shí)，d>l,貝！(2n-3)d-2][n-2)d-1]>(2n-5)(n

-3)20符合要求，

綜上所述，對于每個(gè)nGN*,d的取值范圍為(1,2],使a?+cn,

an+l+4cn,an+2+15Cn成等比數(shù)列.

21.【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的性質(zhì).

【答案】解：(I)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(x,y),則|PM|2=X2+

(y-1)2=12-12y2+y2-2y+l=-lly2-2y+13,yG[-1,1],

而函數(shù)z=-lly2-2y+13的對稱軸為了=十€[-1,1],則其最大值

為-lix(*)2+2X*+13=詈，

???根加啰，里呼1,即點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為

-1-2-^-119.

11

(II)設(shè)直線AB:y=kx+y,A(X1,yp,B(X2,了2)'

Y=kx+y

聯(lián)立直線AB與橢圓方程有12，消去y并整理可得，(12k2+l)

4口2=1

x2+12kx-9=0,

12k9

由韋達(dá)定理可得，x,+x__9X1X2-------2-

12k'+l12kJ+l

=6416k2+l,

12k2+1

，

設(shè)C(x3,y3),D(X4,y4),直線AP：y=Zklx+1,直線BP：丫=1匚*+1

X1x2

丫2豈1

y=-------x+1y=-------x+1

聯(lián)立X1以及*x2

y=9x+3丫=今+3

可得-4x]_4x2

，3(2k+1)xj-1'**(2k+l)X2-l

2

???由弦長公式可得|CD|=^l+(-^)|x3-x4

V5?4xi4x2?

2(2k+l)x?~1(2k+1)x2-1

=2V5|_______LLZ2_______

”[(2k+l)x「l][(2k+l)x2-l]

2a--------z~~*-------------1

(2k+l)x遙？-(2k+l)(x?+Xg)

=3泥6k2+1.=6V5_"16~+1?福+12

213k+l-15|3k+lI'

(4kXlxl)2

6^5,Jr=6V5r

5|3k+lI5

當(dāng)且僅當(dāng)k獸時(shí)等號成立，

16

，|CD|的最小值為如5.

5

22.【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【答案】解：(I)???函數(shù)f(x)=W+Inx(x>0),

2x

???f，晨)=號+工=咨，(x>0),

2xJx2xJ

由釬(x)用氾>0,得x>旦，??/(x)在(旦，+8)上單調(diào)遞增；

2x222

由f，(x)工"V0,得OVxV且，(x)在(0,且)上單調(diào)遞減.

2x222

(II)(i)證明：???過(a,b)有三條不同的切線，

設(shè)切點(diǎn)分別為(Xl,f(Xl)),(X2,f(X2)),(X3,f(X3)),

.*.f(xi)-b=f'(xi)(xi-a),(i=l,2,3),工方程f(x)-

b=F(x)(x-a)有3個(gè)不同的根，

,

該方程整理為(工(x-a)---inx+b=o

x2x22x

設(shè)g(x)=(^：-----5—)(x-a)--?--Inx+b,

2

x2x2x

貝!Jg'(x)=工一^+(凸小)二/7=-3(x-e)(x

n^JYnJ

AY2xXXA2xX

-a),

當(dāng)OVxVe或x>a時(shí)，gr(x)<0；當(dāng)eVxVa時(shí)，g'(x)>

0,

???g(x)在(0,e),(a,+8)上為減函數(shù)，在(e,a)上為增函

數(shù)，

*.*g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，.'g(e)V0且g(a)>0,

(―—)(e-a)--?--lne+b<0,且(—__—)(a-a)-

22

e2e2ea2a

-77-lna+b>0，

Na

整理得到b4^~+l且b>^~+lna=f(a)，

NeZa

此時(shí)，b<-^-+l?且b>*^~+lna=f(a)，

NeNa

此時(shí)，b-f(a)-(--1)(臂~+lna)-^—lna+b>0，

ZeZeZaNa

整理得且b>2+lna=f(a>

NaNa

此時(shí)，b-f(a)<^_+l-(_e_+lna)-

2e2e2a2e222a

設(shè)U(a)為(e,+8)上的減函數(shù)，.??p(a)<l__^_lne=0,

22e

,?0<b-f(a)(2-1)?

N6

(ii)當(dāng)OVaVe時(shí)，同(i)討論，得：

g(x)在(0,a),(e,+8)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)xiVx2VX3,則OVxiVaVx2〈eVx3,

Vg(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，...g(a)<0,且g(e)>0,

(e-a)--^―ine+b>0?且(上一^7)(a-a)-

e22

2e2ea2a

■^-Ina+b<0*

Na

整理得系+l<b</+lna，

2e2e

?；xiVx2VX3,.*.0<xi<a<X2<e<X3,

???O=1_a+eea,,

,gIX/1------+-----7-lnx+b?

x2x2

設(shè)1=旦，包=m￡(0,1)，則方程1-m3-lnx+b=0即為：

xe