《第四章數(shù)列》復(fù)習(xí)小結(jié)與題型訓(xùn)練

《第四章

數(shù)

列》復(fù)習(xí)與小結(jié)

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義通項(xiàng)公式中項(xiàng)公式

前n項(xiàng)和公式

an+1-an=d(常數(shù)),n∈N*

an+1/an=q(常數(shù)),n∈N*

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1(a1,q≠0)

若a，A，b成等差數(shù)列，則A=(a+b)/2.

1.等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念和公式

若a，G，b成等比數(shù)列，則G2=ab（a,b≠0）溫故知新一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(2)假設(shè)n=k(k≥n0

，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法（mathematicalinduction）（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立。（歸納奠基）(歸納遞推)2.數(shù)學(xué)歸納法溫故知新

專題一

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法數(shù)列的通項(xiàng)公式是給出數(shù)列的主要方式,其本質(zhì)就是函數(shù)的解析式圍繞數(shù)列的通項(xiàng)公式,不僅可以判斷數(shù)列的類型,研究數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢與規(guī)律,而且有利于求數(shù)列的前n項(xiàng)和.求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心問題之一.下面介紹幾種常用的求法.典例解析例1

寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

典例解析解:(1)數(shù)列可記為21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n+1.2.根據(jù)an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式法(1)若已知Sn的表達(dá)式,則可直接利用

求得an,注意對n=1與n≥2的討論.(2)若已知Sn與an的關(guān)系式,則可根據(jù)an=Sn-Sn-1消去Sn(或an),得到an與an-1(或Sn與Sn-1)的關(guān)系式,然后用其他方法求解.典例解析

專題二

數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容,也是高考的重要考點(diǎn)之一.對于數(shù)列求和問題,一般是先觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律,如果通項(xiàng)公式能夠求出,那么可先求出通項(xiàng)公式再?zèng)Q定使用哪種求和方法.下面介紹幾種常用的求和方法.典例解析1.公式法公式法是數(shù)列求和的最常用方法之一,可直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式,也可利用常見的求前n項(xiàng)和的公式,如:典例解析解:∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1,∴{an}為等比數(shù)列.∵a1=S1=21-1=1,a2=S2-S1=3-1=2,∴數(shù)列{an}的公比q=2.2.裂項(xiàng)相消法

對于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列,在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”,對于分式的求和多利用此法.解題時(shí)可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng),相消時(shí)應(yīng)注意消去的項(xiàng)的規(guī)律,即消去哪些項(xiàng),保留哪些項(xiàng).典例解析例4.

等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)求an與bn;解:(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數(shù),an=3+(n-1)d,bn=qn-1.3.錯(cuò)位相減法

若在數(shù)列{an·bn}中,{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,則可采用錯(cuò)位相減法求和.典例解析例5.

已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N+)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

解:(1)因?yàn)閍nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N+),

所以數(shù)列{cn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相減得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.4.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法對于形如{(-1)nan}(其中{an}為等差數(shù)列)的數(shù)列,通常將數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)合并,再進(jìn)行求解,注意對項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論.例6.已知Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1),求Sn.解:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)典例解析5.分組求和法

分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn=an+bn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中{an}與{bn}均是等差數(shù)列或等比數(shù)列等一些可以直接求和的數(shù)列.典例解析例7.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解:(1)由題意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.1.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=(

)A.100 B.99

C.98

D.97答案:C當(dāng)堂達(dá)標(biāo)解析:(方法一)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,2.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

(

)(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年答案:B解析:設(shè)從2015年后第n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元,由已知得130×(1+12%)n>200,解析:由題意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因?yàn)閍2=3a1,所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.答案:1

1213.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,則a1=

,S5=

.

4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明:{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解:設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時(shí),由①得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時(shí),由①得d=-1,則S3=-6.6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式;(2)若T3=21,求S3.7.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+.(1)求通項(xiàng)公式an;(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.(1)證明:由題設(shè),anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,兩式相減,得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)解:由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.10.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明．解:(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，將a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4.將a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ