高中數(shù)學《7.5 正態(tài)分布》課件與同步練習

第七章

隨機變量及其分布

7.5正態(tài)分布1.頻率分布直方圖月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5小長方形的面積=縱坐標為:每組所對應的頻率復習回顧頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,得到頻率分布折線圖復習回顧總體密度曲線頻率組距月均用水量/tab（圖中藍色陰影部分的面積，表示某個區(qū)間(a,b)的頻率）。復習回顧連續(xù)型隨機變量x的總體分布情況x概率密度曲線ab概率密度函數(shù)新課講授xy0正態(tài)曲線一個隨機變量x，受到了眾多互不相干的、不分主次的偶然因素的影響.則x服從或近似服從正態(tài)的分布則稱X

的分布為正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)m、s唯一確定,m、s分別表示總體的平均數(shù)與標準差.正態(tài)分布記作N（m，s2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.1.正態(tài)分布定義xy0

ab如果對于任何實數(shù)

a<b,隨機變量X滿足:如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記作：X~N(m,s2)xy0正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)非負性：曲線在軸的上方,與x軸不相交(即x軸是曲線的漸近線).(2)定值性:曲線與x軸圍成的面積為1．(3)對稱性：正態(tài)曲線關(guān)于直線

x=μ對稱，曲線成“鐘形”．(4)單調(diào)性：在直線

x=μ的左邊,

曲線是上升的;在直線

x=μ的右邊,

曲線是下降的.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)(6)幾何性:參數(shù)μ和σ的統(tǒng)計意義:E(x)=μ,曲線的位置由μ決定;D(x)=σ2,曲線的形狀由σ決定.(5)最值性:當

x=μ時,取得最大值σ越大，就越小,于是曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;反之σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中．

區(qū)間取值概率3.3個特殊結(jié)論若,則例1.若X～N(5,1),求P(6<X<7)典例剖析第七章

隨機變量及其分布

《7.5正態(tài)分布》同步練習知識點撥一、正態(tài)曲線函數(shù)f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方,可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線(如圖所示).知識點撥微練習下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)答案:B知識點撥二、正態(tài)分布若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記為X~(μ,σ2).特別地,當μ=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.知識點撥微思考參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么?提示:參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計.知識點撥三、正態(tài)曲線的特點1.曲線位于x軸上方,與x軸不相交.2.曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.3.曲線在x=μ處達到峰值4.當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.5.曲線與x軸之間的面積為1.知識點撥6.當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①.7.當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,當σ較小時,峰值高,曲線“瘦高”,表示隨機變量X的分布比較集中;當σ較大時,峰值低,曲線“矮胖”,表示隨機變量X的分布比較分散,如圖②.知識點撥微練習(多選)已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=

(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.σ1=σ2 B.μ1>μ3C.μ1=μ2 D.σ2<σ3知識點撥解析:根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且μ越大,圖象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故BC錯誤;因為σ越小,數(shù)據(jù)越集中,圖象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故AD正確.故選AD.答案:AD知識點撥微練習設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).知識點撥解:∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測正態(tài)曲線的應用例1一個正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式,求出隨機變量的均值和方差.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此特點結(jié)合圖象可求出μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值

,由此特點結(jié)合圖象可求出σ.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為,則該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測正態(tài)分布下的概率計算例2設(shè)X~N(5,1),求P(6<X<7).解:依題意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,∴P(6<X<7)=[P(3≤X≤7)-P(4≤X≤6)]≈0.135

9.反思感悟

在正態(tài)分布下解決求某區(qū)間的概率問題,可利用正態(tài)曲線的對稱性,將所求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率,或利用3σ原則轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間的概率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2若在一次數(shù)學考試中,某班學生的分數(shù)為X,且X~N(110,202),滿分為150分,這個班的學生共有54人,求這個班在這次數(shù)學考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上(不包括130分)的人數(shù).解:∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)≈×(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人數(shù)為54×0.841

35≈45,130分以上的人數(shù)為54×0.158

65≈9.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測正態(tài)分布的應用例3某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查一件,測得它的外徑為5.7cm.試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?解:由于圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25),則X在區(qū)間[4-3×0.5,4+3×0.5],即[2.5,5.5]之外取值的概率約為0.002

7.而5.7?[2.5,5.5],這說明在一次試驗中,出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的事件,根據(jù)統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想,認為該廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品是不合格的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

在解決與正態(tài)分布有關(guān)的實際問題時,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之間的值.若服從正態(tài)分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍,則說明出現(xiàn)了意外情況.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想在正態(tài)分布中的應用典例在某項測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為

.

解析:由題意知,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,如圖,而區(qū)間(0,1)與(1,2)關(guān)于直線x=1對稱,由正態(tài)曲線性質(zhì)得X在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)取值的概率相等.∴P(1<X<2)=P(0<X<1)=0.4.∴P(0<X<2)=P(0<X<1)+P(1<X<2)=0.4+0.4=0.8.答案:0.8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛

利用正態(tài)曲線的對稱性,結(jié)合圖象,將變量在所求區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率,進而求出所求概率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測跟蹤訓練已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)=(

)A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977解析:畫出正態(tài)曲線如圖所示,結(jié)合圖象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.某班有48名學生,一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布,平均分為110,標準差為10,則估計成績在110分到120分的人數(shù)是(

)A.8 B.16 C.20 D.32答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.在某項測量中,測量結(jié)果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)內(nèi)取值