高中數(shù)學(xué)《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》課件與導(dǎo)學(xué)案

人教2019A版選擇性必修第三冊第六章

計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理;2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.導(dǎo)語問題1.

用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題與思考因為英文字母共有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.探究與發(fā)現(xiàn)問題2.你能說說這個問題的特征嗎？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.

概念解析典例解析例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表，如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)”.因為這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.歸納總結(jié)問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第三類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計數(shù)呢？

分類加法計數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.探究與發(fā)現(xiàn)跟蹤訓(xùn)練問題4.

用前6個大寫的英文字母和1~9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A1，…A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題與思考

方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.

解：方法一：解決計數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來探究與發(fā)現(xiàn)問題5.你能說說這個問題的特征嗎？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

典例解析例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.問題6.如果完成一件事有三個步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

N＝m1×m2×m3

探究與發(fā)現(xiàn)如果完成一件事需要有n個步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢?

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計算？分步乘法計數(shù)原理一般結(jié)論：概念解析N＝m1×m2×…×mn例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?解：（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24；

典例解析（3）需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練當(dāng)堂達標(biāo)3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個不同的三位數(shù).

解析:分三個步驟:第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù);第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個不同的三位數(shù).答案:168跟蹤訓(xùn)練4.如圖所示的電路圖,從A到B共有

條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2×2=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案:85.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條?解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m1=1×2=2條;第二類:經(jīng)過AD,有m2=1×2=2條;第三類:經(jīng)過AA1,有m3=1×2=2條.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從頂點A到頂點C1經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選.可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,有6×2=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.課堂小結(jié)6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理《第一課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.通過兩個計數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘坐動車組，假如這天飛機有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．問題這個政協(xié)委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選？提示該政協(xié)委員共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．1．分類加法計數(shù)原理正確運用分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是明確分類的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重不漏完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m＋n2．分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________

種不同的方法．m×n拓展深化[微判斷]1．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

)

提示在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同．2．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． (

)3．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成． (

)×√√√[微訓(xùn)練]1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種數(shù)為(

) A．6 B．5 C．3 D．2

解析由分類加法計數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)不同的選法．

答案B2．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有__________種不同的取法．

解析由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×8＝48(種)不同的取法．

答案48[微思考]

用一個大寫的英文字母或0～9這10個阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

提示

因為英文字母共有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字0～9共有10個，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.題型一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為__________．解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；個位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個；同理，個位數(shù)字是7的有6個；……個位數(shù)字是2的有1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．答案36【遷移1】

(變條件)若本例條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個．

解當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個．

當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個．

當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個．

同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個，

當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個．

由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個).【遷移2】

(變條件，變設(shè)問)用1，2，3這3個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)__________個．

解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個；

第二類為兩位整數(shù)，有12，21，23，32，13，31，共6個；

第三類為三位整數(shù)，有123，132，231，213，321，312，共6個， ∴由分類加法計數(shù)原理知共可組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15(個)．

答案15規(guī)律方法利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程【訓(xùn)練1】滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(

) A．14 B．13 C．12 D．10解析由關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，得a＝0，b∈R或a≠0時，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；若a＝2時，b＝－1，0，有2種可能．∴由分類加法計數(shù)原理知共有(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案B題型二分步乘法計數(shù)原理【例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點P(x，y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0，1，2，3}內(nèi)取值，則可以組成多少個不同的點P?

解確定點P的坐標(biāo)必須分兩步，即分步確定點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．

第一步，確定橫坐標(biāo)，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標(biāo)，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法．

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有不同的點P的個數(shù)為4×4＝16.故可以組成16個不同的點P.規(guī)律方法應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意如下問題：(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說要經(jīng)過幾步才能完成這件事．(2)完成這件事要分若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關(guān)聯(lián)的，相互依存的，只有前步完成后步才能進行．(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整．【訓(xùn)練2】用0，1，2，3，4，5，6這七個數(shù)字共能組成多少個兩位數(shù)？解第一步，確定十位數(shù)字，1，2，3，4，5，6六個數(shù)字都可以選擇，有6種方法；第二步，確定個位數(shù)字，0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)字都可以選擇，有7種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的兩位數(shù)共有6×7＝42(個)．故可以組成42個兩位數(shù)．題型三兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例3】現(xiàn)有高一年級的四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．規(guī)律方法(1)在處理具體的應(yīng)用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，關(guān)鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏．(2)對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．【訓(xùn)練3】某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．

法一分兩類．

第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，有6種選法，則說日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．

第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．所以由分類加法計算原理知，共有18＋2＝20(種)選法．法二設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．第一類：甲入選．(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×6＝6(種)選法．故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．第二類：甲不入選．可分兩步．第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．綜上，共有8＋12＝20(種)不同選法.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．應(yīng)用兩個原理時，要仔細(xì)區(qū)分原理的不同，分類加法計數(shù)原理關(guān)鍵在于分類，不同類之間互相排斥，互相獨立；分步乘法計數(shù)原理關(guān)鍵在于分步，各步之間互相依存，互相聯(lián)系．3．通過對這兩個原理的學(xué)習(xí)，要進一步體會分類討論思想及等價轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具從A地到B地的不同走法的種數(shù)為(

) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不對

解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．

答案B2．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為(

) A．39 B．24 C．15 D．16

解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.

答案A3．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24 B．18 C．12 D．9解析由題意可知E→F共有6條最短路徑，F(xiàn)→G共有3條最短路徑，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑，故選B.答案B4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有__________個．

解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×6＝36(種)方法，即共組成36個虛數(shù)．

答案365．從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有__________個，其中不同的偶函數(shù)共有__________個．

解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個數(shù)為3×3×2＝18.其中不同的偶函數(shù)的個數(shù)為3×2＝6.

答案18

6人教2019A版選擇性必修第三冊第六章

計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2．能應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決實際問題.2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.溫故知新典例解析例4.

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成:第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，還有首字符又可以分為兩類。典例解析典例解析例6.

電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.問：（1）一個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標(biāo)碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)字”.由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理來求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可.例7.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行調(diào)試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？典例解析

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個技術(shù)原理.解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為18+45+18+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為3×2=6.

如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.歸納總結(jié)

例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機關(guān)代號，第二部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號如圖，其中，序號的編碼規(guī)則為：

（1）由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除

O,I之外的24個英文字母組成;

（2）最多只能有2個英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？

典例解析分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字母，以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個字母的序號，分為五個子類，將有2個字母的序號，分為十個子類.

解：有號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當(dāng)沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.

（2）當(dāng)有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數(shù)字中選一個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為：24×10×10×10×10=240000.

同樣，其余四個子類號牌也各有240000張。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

（3）當(dāng)有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000

同樣其余九個子類號牌也各有576000張

于是這類號牌張數(shù)一共為576000×10=5760000綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為10000十1200000+5760000=7060000.解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當(dāng)涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練.

7名學(xué)生中有3名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋,有2名學(xué)生會下圍棋但不會下象棋,另2名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?跟蹤訓(xùn)練解:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N1=3×2=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N2=3×2=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N3=2×2=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有4×7=28(種)不同的配法.答案:B當(dāng)堂達標(biāo)1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為(

)A.11 B.28

C.16384 D.2401解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D2.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20 C.10 D.63.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(

)A.50種 B.60種 C.80種 D.90種解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,此時乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有2×10=20(種)不同的選法.若甲選擇馬或猴,此時甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時有2×3×10=60(種)不同的選法.一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C.答案:C解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.當(dāng)A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4×3×2×2=48(種)方法;當(dāng)A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4×3×2×1×1=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B.答案:B4.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有(

)A.48種 B.72種

C.96種 D.108種解:由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人記為甲),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人.把從中選出會鋼琴與會小號各1人的方法分為兩類.第1類,甲入選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共8種;第2類,甲不入選,則會鋼琴的只能從6個只會鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會小號的也只能從只會小號的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類選法共有6×2=12(種).因此共有8+12=20(種)不同的選法.5.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法?課堂小結(jié)《第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù).通過進一步應(yīng)用兩個計數(shù)原理，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).新知探究青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風(fēng)很愜意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟南辦事，再于次日從濟南乘汽車到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？問題上述情境中，小新從棗莊到濟南共有多少種不同的走法？提示因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3×2＝6(種)不同的走法．兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個計數(shù)原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整拓展深化[微判斷]1．分類計數(shù)是指將完成這件事的所有方式進行分類，每一類都能獨立完成該

事件． (

)2.分步計數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當(dāng)完成所有的步驟時，這個事件才算完成． (

)3．當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分．(

)

提示當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題．×√√[微訓(xùn)練]1．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有(

) A．6種

B．5種

C．4種

D．3種

解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．

答案C2．某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有(

) A．24種

B．48種

C．64種

D．81種

解析由于每班每項限報1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項之后，后面的學(xué)生不能再報，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法．

答案A[微思考]

用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個)不同的號碼.提示編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號碼．如圖：題型一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用【例1】用0，1，2，3，4五個數(shù)字， (1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？ (2)可以排成多少個三位數(shù)？ (3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【遷移】(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．規(guī)律方法對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．【訓(xùn)練1】從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(

) A．24 B．18 C．12 D．6

解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.

答案B題型二分配問題【例2】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有(

) A．360種

B．420種 C．369種

D．396種解析法一

(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二

(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．答案

C規(guī)律方法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．【訓(xùn)練2】

(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是(

) A．11 B．10 C．9 D．8 (2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有(

) A．280種

B．240種

C．180種

D．96種解析(1)法一設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．答案(1)C

(2)B題型三涂色問題【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創(chuàng)、新、設(shè)、計四個區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂