《7.5 正態(tài)分布》教案與分層同步練習(xí)

《7．5正態(tài)分布》教案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.通過了解正態(tài)分布的特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【課前預(yù)習(xí)】新知探究高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國(guó)的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．問題正態(tài)分布有哪些應(yīng)用？提示正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布．1．正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．顯然對(duì)于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．3．正態(tài)分布的期望與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．4．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.拓展深化[微判斷]1．函數(shù)(x∈R)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(×)提示函數(shù)中σ的意義為標(biāo)準(zhǔn)差．2．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(×)提示正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.3．正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱．(√)[微訓(xùn)練]1．若X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Y＝6X，則E(Y)等于()A．1 B.eq\f(3,2)C．6 D．36解析由X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.答案C2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),則c等于()A．0 B．σC．－μ D．μ解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c為對(duì)稱軸，又由X～N(μ，σ2)知對(duì)稱軸為x＝μ，故c＝μ.答案D[微思考]函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R的圖象如圖所示．試確定函數(shù)f(x)的解析式．提示由圖可知，該曲線關(guān)于直線x＝72對(duì)稱，最大值為eq\f(1,10\r(2π))，由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝μ，∴μ＝72，且eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,10\r(2π))，∴σ＝10.∴f(x)＝eq\f(1,10\r(2π))e－eq\f(（x－72）2,200)(x∈R).【課堂互動(dòng)】題型一正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用【例1】如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫出正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差．解從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\f(－（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.規(guī)律方法利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱軸為x＝μ，二是最大值為eq\f(1,σ\r(2π)).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式．【訓(xùn)練1】若一個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π))，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式．解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0，而正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的最大值是eq\f(1,4\r(2π))，所以eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,4\r(2π))，解得σ＝4.故函數(shù)的解析式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．題型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率【例2】設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，∴P(3≤X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.【遷移1】(變換所求)例2條件不變，求P(X≥5)．解P(X≥5)＝P(X≤－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.【遷移2】(變換條件)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對(duì)稱軸是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故選C.答案C規(guī)律方法利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．【訓(xùn)練2】設(shè)X～N(1，1)，試求：(1)P(0<X≤2)；(2)P(2<X≤3)；(3)P(X≥3)．解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.(1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，∴P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)[P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)]＝eq\f(1,2)[P(1－2<X≤1＋2)－P(1－1<X≤1＋1)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，∴P(X≥3)＝eq\f(1,2)[1－P(1－2<X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？解由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的．規(guī)律方法解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格．【訓(xùn)練3】在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人，該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人？解∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成績(jī)?cè)赱75，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.27%，成績(jī)?cè)赱80，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績(jī)?cè)赱70，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.45%，成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的僅有1人.【素養(yǎng)達(dá)成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．在正態(tài)分布N(μ，σ2)中，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的均值，它可以用樣本的均值去估計(jì)，其取值是任意的實(shí)數(shù)．參數(shù)σ是反映隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)，其取值范圍是正數(shù)，即σ>0.3．正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．正態(tài)分布N(0，1)在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分別為P1，P2，則二者的大小關(guān)系為()A．P1＝P2 B．P1＜P2C．P1＞P2 D．不確定解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．答案A2．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間[3，6]內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析P(3≤ξ≤6)＝eq\f(1,2)[P(－6≤ξ≤6)－P(－3≤ξ≤3)]≈eq\f(1,2)×(95.45%－68.27%)＝13.59%.故選B.答案B3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于__________．解析∵X～N(2，9)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，∴eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.答案24．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為__________．解析如圖，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.85．在某省組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60，100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有135人．(1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？(2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前2275名的學(xué)生，問受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？解(1)設(shè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄分，共有n人參加競(jìng)賽，因?yàn)閄～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，P(X＞90)＝eq\f(1,2)[1－P(30≤X≤90)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9973)＝0.00135.又P(X＞90)＝eq\f(135,n)，所以eq\f(135,n)＝0.00135，所以n＝100000.故共有100000人參加競(jìng)賽．(2)設(shè)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x0，則P(X≥x0)＝eq\f(2275,100000)＝0.02275.因?yàn)?.02275<0.5，所以x0>60.所以P(120－x0<X<x0)＝1－2P(X≥x0)＝95.45%，所以x0＝60＋20＝80.故受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是80分.【課后作業(yè)】基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，則P(0≤X≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15解析P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.答案C2．某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10，0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得其外徑分別為9.9cm，9.3cm，則可認(rèn)為()A．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上午、下午生產(chǎn)情況均正常D．上午、下午生產(chǎn)情況均異常解析因測(cè)量值X為隨機(jī)變量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，則9.9∈I，9.3?I.故選A.答案A3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．3 B．4C．5 D．6解析因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性(對(duì)稱軸是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.答案B4．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A．2386 B．2718C．3414 D．4772解析由P(－1≤X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，則陰影部分的面積為0.34135，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10000×0.34135≈3414.答案C5．設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲20000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：(隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)．A．12076 B．13173C．14056 D．7539解析由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)≈0.02275，∴P(－1<X<3)≈1－0.02275×2＝0.9545，∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0<X<1)＝eq\f(1,2)P(0<X<2)≈0.34135，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為20000×(1－0.34135)＝13173.答案B二、填空題6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(X<2)＝__________．解析由題意知曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱，因此P(X<2)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．設(shè)隨機(jī)變量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，則P(2<X<4)＝__________．解析由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3<X<4)＝eq\f(1,2)－p，即P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p.答案1－2p8．某市有48000名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，從理論上講，在80分到90分之間有__________人．解析設(shè)X表示該市學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，則X～N(80，102)，則P(80－10<X≤80＋10)≈0.6827.所以在80分到90分之間的人數(shù)為48000×eq\f(1,2)×0.6827≈16385(人)．答案16385三、解答題9．設(shè)X～N(3，42)，試求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．解∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)[P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)]＝eq\f(1,2)[P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)[1－P(－5≤X≤11)]＝eq\f(1,2)[1－P(3－8≤X≤3＋8)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.10．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5，1)；第二條路線較長(zhǎng)不擁擠，X服從N(6，0.16)．若有一天他出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？解還有7分鐘時(shí)：若選第一條路線，即X～N(5，1)，能及時(shí)到達(dá)的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若選第二條路線，即X～N(6，0.16)，能及時(shí)到達(dá)的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因?yàn)镻1<P2，所以應(yīng)選第二條路線．同理，還有6.5分鐘時(shí)，應(yīng)選第一條路線．能力提升11．(多空題)已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)，x∈(－∞，＋∞)，則函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為__________，X落在區(qū)間(2，3]內(nèi)的概率為__________．解析由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)知μ＝1，σ＝1，所以總體分布密度曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且在x＝1處取得最大值．根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)可知x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)．由X～N(1，1)知P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)[P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)]＝eq\f(1,2)[P(1－2×1<X≤1＋2×1)－P(1－1<X≤1＋1)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.答案x＝10.135912．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[187.8，212.2]的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，從而P[187.8≤Z≤212.2]＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.6827.②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[187.8，212.2]的概率為0.6827，依題意知X～B(100，0.6827)，所以E(X)＝100×0.6827＝68.27.創(chuàng)新猜想13．(多選題)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)>P(Y≥t)解析由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正確；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正確，D錯(cuò)．答案BC14．(多選題)某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是()A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同解析由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙．故選AD.答案AD《7.5正態(tài)分布》分層同步練習(xí)【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練】1.關(guān)于正態(tài)分布N(μ,σ2),下列說法正確的是()A.隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件B.隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件C.隨機(jī)變量落在[-3σ,3σ]之外是一個(gè)小概率事件D.隨機(jī)變量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一個(gè)小概率事件答案D2.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6解析由題意可知正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,根據(jù)對(duì)稱性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.答案C3.已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率為()A.0.9545B.0.0455C.0.9773D.0.02275解析由題知對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-1答案D4.若隨機(jī)變量X~N(1,22),則D12A.4 B.2C.12解析因?yàn)閄~N(1,22),所以D(X)=4,所以D12答案D5.若隨機(jī)變量X~N(1,22),則Y=3X-1服從的總體分布可記為.解析∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,D(Y)=9D(X)=62.∴Y~N(2,62).答案Y~N(2,62)6.某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為.解析由題意知,P(ξ>110)=1-答案107.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比.解設(shè)此地農(nóng)民工年均收入X~N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式為f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000<X≤8500)=12故此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.135%.8.設(shè)X~N(4,1),證明P(2<X<6)=2P(2<X≤4).證明因?yàn)棣?4,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=4對(duì)稱,所以P(2<x≤4)=P(4<X<6).又因?yàn)镻(2<X<6)=P(2<X≤4)+P(4<X<6),所以P(2<X<6)=2P(2<X≤4).【能力提升練】1.若隨機(jī)變量X的正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=12πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1,pA.p1>p2 B.p1<p2C.p1=p2 D.不確定解析由題意知μ=0,σ=1,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱,所以p1=p2.答案C2.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=()A.12B.1-pC.1-2pD.12解析由已知得P(-1<ξ<0)=12=12[1-2P(ξ>1)]=