高中數(shù)學(xué) 等比數(shù)列的概念及通項公式練習(xí) 蘇教版必修

2．3.1等比數(shù)列的概念及通項公式1．從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．2．等比數(shù)列{an}的通項公式an＝a1·qn－1(q≠0)．3．如果a、G、b三個數(shù)滿足G2＝ab.則G稱為a與b的等比中項．4．等比數(shù)列的性質(zhì)．(1)若{an}為等比數(shù)列，則an＝amqn－m；(2)若{an}為等比數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；(3)若{an}為等比數(shù)列，則a2，a5，a8也成等比數(shù)列；(4)若{an}為等比數(shù)列，且公比為q，則a1a2，a2a3，a3a4也成公比等于?基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．?dāng)?shù)列a，a，a，…a，…(a∈R)必為(D)A．等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B．等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C．即是等差數(shù)，又是等比數(shù)列D．以上都不正確解析：a＝0時為等差數(shù)列，a≠0時為等比且等差數(shù)列．2．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，則a1＝(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2解析：由已知得a1q2·a1q8＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1q4))eq\s\up12(2)，即q2＝2，∵q＞0，∴q＝eq\r(2)，a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).3．(2013·江西卷)等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項等于(A)A．－24B．0C．12D．24解析：由(3x＋3)2＝x(6x＋6)?x＝－3(x＝－1舍去)．該數(shù)列為－3，－6，－12，－24，….4．{an}是等比數(shù)列，下面四個命題中真命題的個數(shù)為(B)①{aeq\o\al(2,n)}也是等比數(shù)列②{can}(c≠0)也是等比數(shù)列③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比數(shù)列④{lnan}也是等比數(shù)列A．4個B．3個C．2個D．1個解析：考查等比數(shù)列定義，其中①②③為真．5．公比為2的正項等比數(shù)列{an}，a3a11＝16，則a5＝(AA．1B．2C．4D．8解析：a3a11＝16?aeq\o\al(2,7)＝16?a7＝4，而a5q2＝a7，∴a5＝1.二、填空題6．已知等比數(shù)列{an}為遞增函數(shù)，若a1＞0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________．解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an(1＋q2)＝5anq?q＝2.答案：27．若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝eq\f(1,2)，則a1aeq\o\al(2,3)a5＝________．解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝eq\f(1,2)，a1·a5＝aeq\o\al(2,3).∴a1aeq\o\al(2,3)a5＝aeq\o\al(4,3)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，則a5＋a6＝________．解析：∵a3＋a4＝q2(a1＋a2)，∴q2＝eq\f(36,324)＝eq\f(1,9).∴a5＋a6＝q4(a1＋a2)＝eq\f(1,81)×324＝4.答案：4三、解答題9．正項遞增的等比數(shù)列{an}中，前三項的積為27，前三項的平方和為91，求通項公式．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a2·a3＝27，,aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝91，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a1q·a1q2＝27，,aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,1)q2＋aeq\o\al(2,1)q4＝91))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))∴an＝3n－1(n∈N*)．10．已知三個數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成等比數(shù)列，已知這三個數(shù)的和為6，求這三個數(shù)．解析：由已知，可設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，∵(a－d)＋a＋(a＋d)＝6，∴a＝2.這三個數(shù)可以表示為2－d，2，2＋d.(1)若2為等比中項，則22＝(2－d)(2＋d)，解得d＝0，此時，三個數(shù)為2，2，2.(2)若(2－d)為等比中項，則(2－d)2＝2(2＋d)．解得d＝6或d＝0，此時三數(shù)為－4，2，8或2，2，2.(3)若(2＋d)為等比中項，則(2＋d)2＝2(2－d)．解得d＝－6或d＝0，此時三數(shù)為8，2，－4或2，2，2.綜上可知，三個數(shù)為－4，2，8或8，2，－4或2，2，2.?能力升級一、選擇題11．已知{an}是等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋A．5B．10C．15D．20解析：a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，故得(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5.12．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10A．5B．10C．20D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.13．在正項等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，則aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝(C)A．4B．6C．8D．4eq\r(2)解析：∵a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，∴aeq\o\al(3,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8.二、填空題14．已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，且實數(shù)列1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2,b2)的值為________．解析：a1＋a2＝1＋4＝5，beq\o\al(2,2)＝1×4，故b2＝±2.但b2＝1×q2＞0，∴b2＝2，故eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)15．(2014·廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則1na1＋1na2＋…＋1na20解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡待求式，整合化簡結(jié)果求值．因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[a1a20·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11答案：50三、解答題16．已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝log3an，求{bn}的前n項和Sn.解析：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,3)＝9a2a6，,2a1＋3a2＝1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，,2a1＋3a1q＝1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,3)，,a1＝\f(1,3).))∴an＝eq\b\lc\(\rc