“平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

二、“平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì)林佳佳.平方差公式的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2009,(1):3-7.略有改動(dòng).林佳佳.平方差公式的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2009,(1):3-7.略有改動(dòng).“平方差公式”是人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)第151頁(yè)至153頁(yè)的內(nèi)容，以下教學(xué)設(shè)計(jì)靈活融入了講練結(jié)合、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和討論交流等，充分體現(xiàn)了對(duì)教學(xué)樣式的創(chuàng)新探索。本節(jié)課的授課教師是華南師范大學(xué)的林佳佳同學(xué)，本案在由中國(guó)教育部國(guó)際交流司與師范司以及東芝公司共同舉辦的首屆“東芝杯·中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”中獲得第一名。具體設(shè)計(jì)如下：（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能目標(biāo)：(1)理解平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性；(2)達(dá)到正用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式：“(□﹢△)(□－△)”→“□2－△2”2．過(guò)程與方法目標(biāo)：(1)經(jīng)歷公式的獨(dú)立建構(gòu)過(guò)程，構(gòu)建以數(shù)的眼光看式子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；(2)發(fā)展抽象概括的能力；(3)提升問(wèn)題解決能力，進(jìn)行運(yùn)用平方差公式來(lái)研究等周問(wèn)題的探究。3．情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：糾正片面觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒(méi)有什么實(shí)際意義！學(xué)了數(shù)學(xué)沒(méi)有用！”體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際、高于實(shí)際、運(yùn)用于實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值。（二）教學(xué)重點(diǎn)1.平方差公式的本質(zhì)的理解與運(yùn)用；2.數(shù)學(xué)是什么。（三）教學(xué)難點(diǎn)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。（四）教學(xué)手段計(jì)算機(jī)、PPT、flash。（五）教學(xué)時(shí)間一課時(shí)。（六）教學(xué)流程圖教學(xué)流程設(shè)計(jì)意圖速算王的絕招速算王的絕招動(dòng)手操作抽象概括根據(jù)著名心理學(xué)家桑代克的試誤學(xué)習(xí)理論中的“準(zhǔn)備律”，運(yùn)用該情境，能夠讓學(xué)生在動(dòng)機(jī)上做好準(zhǔn)備，對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)前處于對(duì)知識(shí)的“饑餓狀態(tài)”，產(chǎn)生一個(gè)心理“缺口”，從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生彌合心理缺口的學(xué)習(xí)動(dòng)力。新課程改革的理念之一就是學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變?，F(xiàn)代學(xué)習(xí)方式的一個(gè)基本特征是“體驗(yàn)性”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生親身去經(jīng)歷、去感悟。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生從聽(tīng)老師講推導(dǎo)轉(zhuǎn)向自己動(dòng)手進(jìn)行推導(dǎo)演算、數(shù)學(xué)表述，體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)（domathematics）”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理念。根據(jù)變式理論，設(shè)計(jì)了不同形式類型的典型例題，突出平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。公式運(yùn)用根據(jù)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是組織者、引導(dǎo)者與合作者的新理念，通過(guò)三個(gè)不同的刺激模式，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出平方差公式的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)是什么畫龍點(diǎn)睛意猶未盡第1題是為了鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，使學(xué)生達(dá)到正用公式的水平；第2題是為學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間，是把課內(nèi)知識(shí)延伸到課外，用所學(xué)的平方差公式解決“等周問(wèn)題”，以培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)探究能力。牛刀小試根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計(jì)該練習(xí)，以鞏固所學(xué)。讓學(xué)生接觸不同形式的問(wèn)題，建立起以數(shù)的眼光看式子的整體觀念，進(jìn)一步強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)中包括情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)。設(shè)計(jì)幾何解釋與問(wèn)題解決，目的是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實(shí)際問(wèn)題中的客觀關(guān)系，糾正偏見(jiàn)——“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒(méi)有什么實(shí)際意義?！边M(jìn)而，使學(xué)生感受到學(xué)了數(shù)學(xué)公式，可以解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，促使學(xué)生構(gòu)建起正確的數(shù)學(xué)觀。強(qiáng)調(diào)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性；指出學(xué)習(xí)此公式的用途；通過(guò)問(wèn)題(a﹢b﹢c)(a﹢b－c)＝？進(jìn)一步化解“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性”這一難點(diǎn)，并為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆。速算王的秘密（解惑傳道）呼應(yīng)“速算王的絕招”這一部分，解答學(xué)生心中的疑惑，彌合學(xué)生心中的“缺口”，讓他們體會(huì)到平方差公式的威力。（七）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1．速算王的絕招（約1分鐘）在一次智力搶答賽中，主持人提供了兩道題。第1題：21×19﹦？第2題：103×97﹦?主持人話音剛落，就立刻有一個(gè)學(xué)生刷地站起來(lái)?yè)尨鹫f(shuō)：“第1題等于399，第2題等于9991?！逼渌俣戎?，簡(jiǎn)直就是脫口而出。同學(xué)們，你知道他是如何計(jì)算的嗎？你想不想掌握他的簡(jiǎn)便、快速的運(yùn)算招數(shù)呢？教師講故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。學(xué)生聽(tīng)故事，思考。通過(guò)“速算王的絕招”這一故事的情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，順利引入新課。2．動(dòng)手操作（約4分鐘）（1）現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)，不知其大小，請(qǐng)你隨意用兩個(gè)字母來(lái)表示這兩個(gè)數(shù)；（2）請(qǐng)把這兩個(gè)數(shù)的和與差分別表示出來(lái)。這兩個(gè)式子是多項(xiàng)式還是單項(xiàng)式？（3）請(qǐng)將所得的和與差相乘并化簡(jiǎn)；（4）請(qǐng)思考：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于什么？（讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)）教師發(fā)出指令引導(dǎo)學(xué)生操作。學(xué)生動(dòng)手操作演算，思考表達(dá)。讓學(xué)生運(yùn)用前面已掌握的三個(gè)乘法法則，自己動(dòng)手演算，積極思考，嘗試數(shù)學(xué)表述，為后面的抽象概括做好準(zhǔn)備。3．抽象概括（約3分鐘）教師同時(shí)請(qǐng)三名學(xué)生板演不同的操作演算形式：(x﹢y)(x﹣y)﹦x2﹣y2(m﹢n)(m﹣n)﹦m2﹣n2(c﹢d)(c﹣d)﹦c2﹣d2三位同學(xué)所用的字母，所得的結(jié)果完全不同！請(qǐng)問(wèn)：他們的結(jié)果真的沒(méi)有一點(diǎn)共同之處嗎？引導(dǎo)學(xué)生橫向比較三個(gè)結(jié)果，抽象概括出它們的共同結(jié)構(gòu)：“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的平方之差?！彼褪钦匠朔ǖ囊粋€(gè)乘法公式——平方差公式（formulaforthedifferenceofsquares）：(a﹢b)(a﹣b)﹦a2﹣b2教師引導(dǎo)學(xué)生比較分析三種形式的異同。學(xué)生比較分析三種形式的異同，歸納總結(jié)其共性。通過(guò)三個(gè)不同刺激模式，由特殊到一般，師生共同抽象概括出平方差公式，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。4．公式運(yùn)用（約10分鐘）例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(p﹢q)(p﹣q)（2）(3x﹢2)(3x﹣2)（3）(﹣x﹢y)(﹣x﹣y)（4）(b﹢ac)(ac﹣b)分析：引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別出它們都是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積的形式。下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(x﹢2)(x﹣2)﹦x2﹣2（2）(﹣3a﹣2)(﹣3a﹣2)﹦(﹣3a)2﹣22﹦9a2﹣4教師引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)的眼光去看式子，并進(jìn)行分析講解。學(xué)生思考問(wèn)題。1.根據(jù)變式理論，設(shè)計(jì)了不同形式類型的典型例題，強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。2.這組練習(xí)主要是要考查學(xué)生有沒(méi)有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)。5．速算王的秘密（解惑傳道）（約1分鐘）103×97﹦?解：103×97﹦(100﹢3)(100﹣3)﹦1002﹣32﹦9991教師引導(dǎo)講解。學(xué)生聽(tīng)講思考。呼應(yīng)“速算王的絕招”這一部分，解答學(xué)生心中的疑惑，彌合學(xué)生心中的“缺口”，讓他們體會(huì)到平方差公式的威力。6．意猶未盡（約8分鐘）課堂練習(xí)：P153練習(xí)第2題運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(a﹢3b)(a﹣3b)（2）(3﹢2a)(﹣3﹢2a)（3）51×49（4）(3x﹢4)(3x﹣4)﹣(2x﹢3)(3x﹣2)教師巡視觀察，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。學(xué)生自己思考做題。根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計(jì)該練習(xí)，以鞏固所學(xué)?？梢宰寣W(xué)生接觸不同形式的問(wèn)題，建立起以數(shù)的眼光看式子的整體觀念，進(jìn)一步強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。7．?dāng)?shù)學(xué)是什么（約8分鐘）有人說(shuō)，數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒(méi)有什么實(shí)際意義！請(qǐng)問(wèn)數(shù)學(xué)真的沒(méi)有什么實(shí)際意義嗎？請(qǐng)看下面的問(wèn)題：1．幾何解釋：（1）請(qǐng)表示圖(1)中陰影部分的面積。（2）將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，見(jiàn)圖(2)，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？（3）比較前兩問(wèn)的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？S陰﹦a2﹣b2，S陰﹦(a﹢b)(a﹣b)。∴(a﹢b)(a﹣b)﹦a2﹣b2。還有人說(shuō)，學(xué)了數(shù)學(xué)沒(méi)有用？果真如此嗎？請(qǐng)看：2．問(wèn)題解決：宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)為a米的正方形，后因道路的原因，設(shè)計(jì)修改為：北邊往南平移2.5米，而東邊往東平移2.5米。試問(wèn)修改后的花園面積和原先設(shè)計(jì)的花園面積相差多少？解：如圖(1)，原花園的面積S﹦a2。修改后的花園面積如圖(2)所示，其面積S后﹦(a﹢2.5)(a﹣2.5)﹦a2﹣2.52。所以，S﹣S后﹦a2﹣(a2﹣2.52)﹦2.52﹦6.25(m2)。答：修改后的花園面積比修改前少了6.25平方米。教師引導(dǎo)分析，講解演示。教師引導(dǎo)分析，講解演示。學(xué)生觀察思考領(lǐng)悟。學(xué)生聽(tīng)講思考觀察。新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)中包括情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)。設(shè)計(jì)幾何解釋，目的是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實(shí)際問(wèn)題中的客觀關(guān)系，糾正“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒(méi)有什么實(shí)際意義”這樣的偏見(jiàn)。設(shè)計(jì)問(wèn)題解決的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力；二是使學(xué)生知道，學(xué)了數(shù)學(xué)公式，可以用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并構(gòu)建起正確的數(shù)學(xué)觀。8．畫龍點(diǎn)睛（約4分鐘）1．平方差公式的本質(zhì)：(a﹢b)(a﹣b)﹦a2﹣b2。（1）結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定不變的，即只要是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積，就一定等于這兩個(gè)數(shù)的平方之差。（2）公式中的字母a和b卻可以變臉！可以是其他字母；可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。2．我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)平方差公式，學(xué)了它我們能做什么呢？在進(jìn)行某些乘法運(yùn)算時(shí)，利用平方差公式，可以進(jìn)行簡(jiǎn)便、快速運(yùn)算。計(jì)算：(a﹢b﹢c)(a﹢b﹣c)﹦？解：(a﹢b﹢c)(a﹢b﹣c)﹦[(a﹢b)﹢c][(a﹢b)﹣c]﹦(a﹢b)2﹣c2。那么如何計(jì)算(a﹢b)2﹦？也就是說(shuō)，如何計(jì)算兩數(shù)和的完全平方呢？讓我們共同期待下一次數(shù)學(xué)課的到來(lái)！教師引導(dǎo)總結(jié)。教師啟發(fā)學(xué)生以數(shù)的眼光看字母式子。學(xué)生思考體會(huì)。學(xué)生識(shí)別出這是兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘積的結(jié)構(gòu)。讓學(xué)生看到公式的本質(zhì)所在，能突破公式字面意義的局限性，建立起較高層次的有意義條件反射，而不是機(jī)械的記憶公式。點(diǎn)明學(xué)習(xí)平方差公式的必要性。進(jìn)一步化解“結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，字母的可變性”這一難點(diǎn)，并為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆。9．牛刀小試（布置家庭作業(yè)）（約1分鐘）家庭作業(yè)：P1561．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（x﹣y）(x﹢y)（2）(xy﹢1)(xy﹣1)（3）(2a﹣3b)(3b﹢2a)（4）(﹣2b﹣5)(2b﹣5)（5）2001×1999（6）998×10022．?dāng)?shù)學(xué)探究——等周問(wèn)題宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)為a米的正方形，后因道路的原因，設(shè)計(jì)修改為：北邊往南平移x(x≤a)米，而西邊往西平移x米。試問(wèn)：（1）修改后