2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題09 倍長中線模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

專題09倍長中線模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線最重要的一點(diǎn)，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。【方法技巧】類型一：直接倍長中線△ABC中AD是BC邊中線方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE類型二：間接倍長中線作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE。延長MD到N，使DN=MD，連接CN【典例分析】【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中線AD＝c，求c的取值范圍．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF．【變式1】如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AD⊥AC，則△ABC的周長為．【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，則CD的長為．【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝2，CF＝，則EF的長為．【變式4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF＝2FC，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)G，H，求GH的長．【變式5】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF，DE．（1）如圖①，若DF平分∠ADE，求證：AD+BE＝DE；（2）如圖②，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，當(dāng)ED平分∠FDC時，求EC的長．【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對角線AC⊥BD，垂足為G，過點(diǎn)G作AD的垂線，垂足為E，延長EG交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．下而是部分證明過程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任務(wù)一：請將上述過程補(bǔ)充完整；任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DC，把邊BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EC．連接DE，取AB的中點(diǎn)M，連接MC并延長交DE于點(diǎn)N．（1）求證：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的長．專題09倍長中線模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線最重要的一點(diǎn)，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造?！痉椒记伞款愋鸵唬褐苯颖堕L中線△ABC中AD是BC邊中線方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE類型二：間接倍長中線作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE。延長MD到N，使DN=MD，連接CN【典例分析】【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中線AD＝c，求c的取值范圍．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．【解答】證明：如圖，延長AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF．【解答】證明：如圖，延長ED使得DM＝DE，連接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【變式1】如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AD⊥AC，則△ABC的周長為．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周長為AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案為：8+2．【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，則CD的長為．【解答】解：延長DE至H，使EH＝DE，連接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案為：2．【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝2，CF＝，則EF的長為．【解答】解：如圖，延長FD到G使GD＝DF，連接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案為：．【變式4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF＝2FC，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)G，H，求GH的長．【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，交ED于O，則FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，F(xiàn)C＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴OM＝，∴OF＝FM﹣OM＝8﹣＝，∵AE∥FO，∴△AGE∽△FGO，∴＝，∴AG＝＝，∴GH=10-4-=【變式5】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF，DE．（1）如圖①，若DF平分∠ADE，求證：AD+BE＝DE；（2）如圖②，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，當(dāng)ED平分∠FDC時，求EC的長．【解答】（1）證明：延長DF，CB交于G，如圖：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠ADG＝∠G，∵DF平分∠ADE，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中點(diǎn)，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延長AB，DE交于H，如圖：∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的長為2﹣2．【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對角線AC⊥BD，垂足為G，過點(diǎn)G作AD的垂線，垂足為E，延長EG交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．下而是部分證明過程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任務(wù)一：請將上述過程補(bǔ)充完整；任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DC，把邊BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EC．連接DE，取AB的中點(diǎn)M，連接MC并延長交DE于點(diǎn)N．（1）求證：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的長．【解答】解：任務(wù)一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)；任務(wù)二：（1）證明：延長CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四邊形，∴AF＝BC＝CE，AF∥B