高中人教A版數(shù)學課時素養(yǎng)檢測6-2-4向量的數(shù)量積

課時素養(yǎng)檢測五向量的數(shù)量積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為135°,則a·(b)等于()A.12B.-12C.12QUOTED.12QUOTE【解析】選C.因為a·(b)=a·b=|a|·|b|cos135°=4×6×(QUOTE)=12QUOTE.【補償訓練】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,則·=()A.20B.-20C.20QUOTED.20QUOTE【解析】選B.·=||||cos120°=5×8×QUOTE=20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,則△ABC是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.任意三角形【解析】選A.由a·b<0易知向量a與b的夾角為鈍角.2.(2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(ab)⊥b,則a與b的夾角為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設夾角為θ,因為(ab)⊥b,所以(ab)·b=a·bb2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為QUOTE.【補償訓練】若非零向量a、b滿足|a|=QUOTE|b|,且(ab)⊥(3a+2b),則a與b的夾角θ為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】選A.由條件,得(ab)·(3a+2b)=3a22b2a·b=0,即a·b=3a22b2.又|a|=QUOTE|b|,所以a·b=3·QUOTE2b2=QUOTEb2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以向量a與b的夾角為QUOTE.3.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a3b)=72,則|a|=()A.2 B.4 C.6 D.12【解析】選C.因為(a+2b)·(a3b)=72,所以a2a·b6b2=72.所以|a|2|a||b|cos60°6|b|2=72.所以|a|22|a|24=0.又因為|a|≥0,所以|a|=6.4.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka4b,c與dA.6 B.6 C.3 D.3【解析】選B.因為c·d=0,所以(2a+3b)·(ka4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b12b5.P是△ABC所在平面上一點,若·=·=·,則P是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】選D.由·=·得·()=0,即·=0,所以PB⊥CA.同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P為△ABC的垂心.6.(多選題)已知a,b,c為非零向量,下列說法不正確的是()A.若|a·b|=|a||b|,則a∥bB.若a·c=b·c,則a=bC.若|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】選BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此時a∥b;A正確;選項B中,設a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,因為a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b|·|c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不一定正確;C項中,a與c的夾角和b與c的夾角不相等時,結(jié)論不成立;D項中,a與b的夾角,b與c的夾角不一定相等,所以不一定成立.【補償訓練】對于向量a、b、c和實數(shù)λ,下列命題中真命題是()A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=bD.若a·b=a·c,則b=c【解析】選B.A中,若a·b=0,則a=0或b=0或a⊥b,故A錯;C中,若a2=b2,則|a|=|b|,C錯;D中,若a·b=a·c,則可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有選項B正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.設向量a,b滿足:|a|=1,a·b=QUOTE,|a+b|=2QUOTE,則|b|=________.

【解析】因為(2QUOTE)2=8=|a+b|2=a2+b2+2a·b,所以b2+4=8,|b|=2.答案:28.已知e1、e2是夾角為QUOTE的兩個單位向量,a=e12e2,b=ke1+e2,若k=1,則a·b=______;若a·b=0,則實數(shù)k的值為______.

【解析】當k=1時a·b=(e12e2)·(e1+e2)=QUOTEe1e22QUOTE=QUOTE.由a·b=0得(e12e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k2+(12k)cosQUOTE=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.如圖,在平行四邊形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°.求:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】(1)·=||2=9.(2)·=||2=16.(3)·=||||cos(180°60°)=4×3×QUOTE=6.【補償訓練】已知|a|=10,|b|=12,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·QUOTE;(3)(3b-2a)·(4a+【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=60.(2)(3a)·QUOTE=QUOTE(a·b)=QUOTE×(60)=36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|28|a|2=10×(60)+3×12210.已知|a|=4,|b|=3,a與b的夾角為120°,且c=a+2b,d=2a+kb當k為何值時,(1)c⊥d.(2)c∥d.【解析】c·d=(a+2b)·(2a+kb(1)當c⊥d時,8+12k=0,解得k=QUOTE.(2)當c∥d時,根據(jù)題意知,c,d都為非零向量且共線,所以存在x,使d=xc,即2a+kb=xa+2xb所以QUOTE所以k=4.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則向量a與ab的夾角為()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTEπD.QUOTEπ【解析】選A.|ab|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,設向量a與ab的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.【補償訓練】已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,且|2a+b|=QUOTE,則a與b的夾角θ為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為|2a+b|2=4+9+4a·所以a·b=QUOTE,cosθ=QUOTE=QUOTE.又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.2.在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足=2,則·(+)等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為AM=1,且=2,所以||=QUOTE.如圖,·(+)=·(2)=·==QUOTE=QUOTE.【補償訓練】在△ABC中,C=90°,CB=3,點M滿足=2,則·=________.

【解析】因為=+=+QUOTE=+QUOTE()=QUOTE+QUOTE,又C=90°,·=0,所以·=·=QUOTE=3.答案:33.在△ABC中,=a,=b,a·b<0,則三角形的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【解析】選D.如圖,a·b=||·||cos(πB),所以cosB>0,B為銳角,但三角形不一定為銳角三角形.【補償訓練】已知△ABC中,若=·+·+·,則△ABC是()A.等邊三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【解析】選C.由·=·+·,得·()=·(),即·=·,所以·+·=0,所以·(+)=0,則·=0,即⊥,所以△ABC是直角三角形.4.(多選題)已知向量a,b的夾角為120°,|a|=|b|=1,c與a+b同向,則|ac|的值可以為()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AD.因為|a|=|b|=1,c與a+b同向,所以a與c的夾角為60°.又|ac|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故|ac|min=QUOTE.由選項可知|ac|的值可以為1或QUOTE.二、填空題(每小題4分,共16分)5.(2019·全國卷Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2aQUOTEb,則cos<a,c>=________.

【解析】因為c2=(2aQUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因為a·c=a·(2aQUOTEb)=2a2QUOTEa·b=2,所以cosa,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】設向量a,b滿足|a+b|=QUOTE,|ab|=QUOTE,則a·b=________.

【解析】因為|a+b|=QUOTE,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.因為|ab|=QUOTE,所以(ab)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b與λab垂直,則λ等于________【解析】因為(3a+2b)⊥(λab),所以(λab)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ3)a·b2b又因為|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ3)×2×1×cos90°2=0,所以12λ2=0,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE7.已知|a|=|b|=|c|=1,且滿足3a+mb+7c=0,其中a與b的夾角為60°,則實數(shù)m=【解析】因為3a+mb+7c=0,所以3a+mb所以(3a+mb)2=(7c)2,化簡得9+m2+6ma·又a·b=|a||b|cos60°=QUOTE,所以m2+3m40=0,解得m=5或m=8.答案:5或88.已知向量a、b滿足:|a|=1,|b|=6,a·(ba)=2,則a與b的夾角為________;|2ab|=________【解析】由于a·(ba)=a·ba2=a·b1=2,則a·b=3.設a與b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.因為|2ab|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2ab|=2QUOTE.答案:QUOTE2QUOTE【補償訓練】已知非零向量a,b,滿足a⊥b,且a+2b與a2b的夾角為120°,則QUOTE=________.

【解析】(a+2b)·(a2b)=a24b2,因為a⊥b,所以|a+2b|=QUOTE,|a2b|=QUOTE.所以cos120°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共38分)9.(12分)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量,k為何值時,向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角?【解析】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=kQUOTE+kQUOTE+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但當k=1時,e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0°,不符合題意,舍去.綜上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)時,向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角.10.(12分)已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角為120°.(1)求證:(ab)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范圍.【解析】(1)因為|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之間的夾角均為120°,所以(ab)·c=a·cb·c=|a||c|cos120°|b||c|cos120°=0,所以(ab)⊥c.(2)因為|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c因為a·c=a·b=b