高二數(shù)學函數(shù)的最值與導數(shù)2

3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)

一般地，設函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。一、函數(shù)極值的定義：復習:

如果x0是f’(x)=0的一個根，并且在x0的左側(cè)附近f’(x)<0，在x0右側(cè)附近f’(x)>0，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

如果x0是f’(x)=0的一個根，并且在x0的左側(cè)附近f’(x)>0，在x0右側(cè)附近f’(x)<0，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值；

(1)

求導函數(shù)f`(x)；

(2)

求解方程f`(x)=0；

(3)

列表:檢查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符號，并根據(jù)符號確定極大值與極小值.口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。

二、用導數(shù)法求解函數(shù)極值的步驟：一.最值的概念(最大值與最小值)新課講授如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的x∈I,總有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值.最值是相對函數(shù)定義域整體而言的.1.在定義域內(nèi),最值唯一;極值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.觀察下面函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象,答復:(1)

在哪一點處函數(shù)y=

f(x)有極大值和極小值?(2)

函數(shù)y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,

最大值和最小值分別是什么?x1x2x3x4x5極大:x=x1x=x2x=x3x=x5極小:x=x4觀察下面函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象,答復:(1)

在哪一點處函數(shù)y=

f(x)有極大值和極小值?(2)

函數(shù)y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,

最大值和最小值分別是什么?極大:x=x1x=x2x=x3極小:abxyx1Ox2x3正確區(qū)分極值和最值(1)函數(shù)的最值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值可以在極值點、不可導點、區(qū)間的端點取得，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，最值具有絕對性，極值具有相對性．(2)函數(shù)的最值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大的值，最小值是所有函數(shù)值中的最小的值；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得；但最值可以在端點處取得；極值有可能成為最值．(3)假設連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)值只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．正確理解“在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)必有最值．”此性質(zhì)包括兩個條件：二.如何求函數(shù)的最值?(1)利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用函數(shù)的圖象;(3)利用函數(shù)的導數(shù);如:求y=2x+1在區(qū)間[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在區(qū)間[1,3]上的最值.

求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值點與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.

例1、求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值和最小值。解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50-+3112

故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值為11，最小值為2

例2求函數(shù)在[0,3]上的最大值與最小值.解:

令解得x=2.所以當x=2時,函數(shù)f(x)有極小值又由于所以,函數(shù)在[0,3]上的最大值是4,最小值是當0≤x<2時，f’(x)<0;當2<x≤3時，f’(x)>01、函數(shù)，在［－1，1］上的最小值為()A.0B.－2C.－1 D.13/12A練習2、0，π3、函數(shù)〔〕A.有最大值2，無最小值B.無最大值，有最小值-2C.最大值為2，最小值-2D.無最值4、函數(shù)A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)C.有最大值D.有最小值CA例3、f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x＝±1時函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.例4、三次函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b.問是否存在實數(shù)a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,假設存在，求出a,b的值；假設不存在，請說明理由。三次函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b.問是否存在實數(shù)a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,假設存在，求出a,b的值；假設不存在，請說明理由。練習：1、函數(shù)f(x)=x2-2(m-1)x+4在區(qū)間[1,5]內(nèi)的最小值為2，求m的值a=2,b=0小結(jié)1、用導數(shù)求函數(shù)最值的方法步驟。2、正確區(qū)分極值最值。3、會用所學導數(shù)知識解決有關(guān)函數(shù)極值最值的綜合問題。；開獎結(jié)果vbg48wev家莊，有一位姓張的老鄉(xiāng)也在漢口鎮(zhèn)上與人合伙做日雜店的生意，并且該老鄉(xiāng)準備很快就回老家看望家小了。耿老爹喜出望外，趕快修的書信一封。當日晚飯后，就帶上耿正兄妹三人一起出門兒了。父子四人先在鎮(zhèn)上最大的食品鋪子里稱了二斤上好的點心，然后專程上張老鄉(xiāng)的住所拜訪去了。雙方互道姓名認了老鄉(xiāng)并問了年庚之后，方知這位張氏老鄉(xiāng)還大耿老爹一歲呢。兩人當下就以兄弟相稱，甚是投緣兒。耿老爹又將耿正兄妹仨挨個兒介紹給這位張老鄉(xiāng)。三人都向張伯伯問了好，道了謝。原來，這位張老鄉(xiāng)的老家也在相鄰縣界的邊兒上，所以，“三六九鎮(zhèn)”與張家莊之間相距只有二十五里遠的路程。俗話說“人不親土親”，兩人都有一種相見恨晚的感覺，越談越快樂。敘了一會兒話后，耿老爹從懷里拿出書信，對張老鄉(xiāng)說：“聽說張兄近日準備回歸故里看望高堂和妻兒。請回家后一定抽時間辛苦一趟，幫我把這封書信送到我婆姨郭氏的手里。我家的住址和我的名字，我已經(jīng)詳細地寫在信封上了。唉，我們走的時候，我的小女兒耿蘭才只有四歲，還不大記事兒呢。等到我們十年八載的回去了，只怕早就不認得我這個爹了哇！”人常說“老鄉(xiāng)見老鄉(xiāng)，兩眼淚汪汪”，這話實在不假。這位張老鄉(xiāng)對于耿老爹思念妻兒的心情恰是感同身受，而耿老爹家中的妻子對于出門人的掛念他又何嘗不能理解呢！于是，他很爽快地容許了耿老爹的請求，說：“唉，出門在外的不容易?。〖抑械苊靡惨欢ㄔ谌找範繏熘銈兏缸铀膫€呢。莫說是來回只有五十里路，就是再遠一些，我也一定幫你送到，只管放心就是了。送到以后，我讓弟妹也修一封家書，待我返回來的時候再給你們帶回來！”耿老爹感謝地說：“那感情好?。∥议_的‘耿記糧油零售店’就在鎮(zhèn)西人口居住最集中的地方，是一個帶有小后院兒的臨街兩層小樓，上面兩間我們父子四個人住，下面兩間是店鋪?！睆埨相l(xiāng)說：“哦，那一片兒我很熟悉的。待十一月里我返回來以后，就給你送去家書，順便到你們的店鋪里看看！”對于這位張老鄉(xiāng)的豪爽與好意，耿老爹實在是千恩萬謝難以表達。他挨個兒看過耿正兄妹三個對張老鄉(xiāng)說：“我這三個娃娃張大哥你也看到了，都好著呢。你見了他們的娘