2024年高三數(shù)學練習題及答案（四）

一、單項選擇題：1．若復數(shù)滿足，則（）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【解析】設z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故選：A．2．一次數(shù)學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】假設甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設成立，第一名是丙。本題選C。3．已知的展開式的各項系數(shù)和為243,則展開式中x7的系數(shù)為A．5 B．40 C．20 D．10【答案】B【解析】由題意，二項式的展開式中各項的系數(shù)和為，令，則，解得，所以二項式的展開式為，令，則，即的系數(shù)為，故選B.4．已知橢圓的左右焦點分別為，，點在橢圓上，且，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓的左右焦點分別為,,點在橢圓上,且所以則而所以因為所以是以為斜邊的直角三角形則故選:B5．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由題意可得，即．∴，故選：A．6．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則當時，方程的解的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】根據(jù)題意，為奇函數(shù)，則的圖象關于原點對稱，又由，則的圖象關于直線對稱，因為當時，，故可畫函數(shù)在的圖象如下，所求方程在的解的個數(shù)，等價于函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)，由圖可知函數(shù)與函數(shù)在上有個交點，故方程在上有個解，故選：7．已知的定義域為，為的導函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】構造函數(shù)則所以在上單調(diào)遞減又因為所以所以解得或（舍）所以不等式的解集是故選B.8．在正方體中，點E是棱的中點，點F是線段上的一個動點．有以下三個命題：①異面直線與所成的角是定值；②三棱錐的體積是定值；③直線與平面所成的角是定值．其中真命題的個數(shù)是()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】以A點為坐標原點，AB,AD,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),設F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0，故異面直線與所的角是定值，故①正確；三棱錐的底面面積為定值，且∥,點F是線段上的一個動點，可得F點到底面的距離為定值，故三棱錐的體積是定值，故②正確；可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一個法向量為=（1，1，1），可得不為定值，故③錯誤;故選B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）A．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為D．設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是【答案】AC【解析】對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為,故A正確；對于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B不正確；對于C,設“從甲袋中取到白球”為事件A,則,設“從乙袋中取到白球”為事件B,則,故取到同色球的概率為,故C正確；對于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D錯誤故選：AC10．已知曲線，則曲線（）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線軸對稱【答案】ABCD【解析】，則；；成立故曲線關于軸對稱；關于軸對稱；關于原點對稱；取曲線任一點關于直線軸對稱點為成立.故選：11．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【解析】①,與題設矛盾.②符合題意.③與題設矛盾.④與題設矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.12．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是()A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由,由射影定理可得，即選項A正確，由=,由射影定理可得，即選項B正確，由,又，即選項C錯誤，由圖可知，所以，由選項A,B可得，即選項D正確，故選ABD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設集合，，______.【答案】【解析】，集合表示直線上除去的所有點組成的集合，.故答案為：14．已知函數(shù)在區(qū)間上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)在區(qū)間上的增函數(shù)則且解得故答案為15．如圖，在三棱錐中，若底面是正三角形，側棱長，、分別為棱、的中點，并且，則異面直線與所成角為______；三棱錐的外接球的體積為______．【答案】【解析】由三棱錐中，若底面是正三角形，側棱長知，三棱錐是正三棱錐，則點在底面中的投影為底面的中心，為中點如圖，因此,所以平面,平面,,又、分別為棱、的中點，則,因此，異面直線與所成角為；,平面,又，則平面,又三棱錐是正三棱錐，因此三棱錐可以看成正方體的一部分且為正方體的四個頂點，故球的直徑為，則球的體積為.故答案為：；.16．函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（）定義域為，值域為．（）圖象關于對稱．（）對任意，，且，都有．請寫出函數(shù)的一個解析式__________（只要寫出一個即可）．【答案】【解析】由二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得解析式，此時對稱軸為，開口向上，滿足（），因為對任意，，且，都有，等價于在上單調(diào)減，∴，滿足（），又，滿足（），故答案為．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，，得解得，.（2）由，，得，為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，.18．（本小題滿分12分）在中，，，分別為角，，所對的邊，且，.（Ⅰ）若，求的面積；（Ⅱ）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.由余弦定理得：，，，∴（負值舍去），∴.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，.由余弦定理得：，，，∴（負值舍去），∴.（Ⅱ）由正弦定理得：，.∵是銳角三角形，∴，，，∴.19．（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC–A1B1C1中，側面AA1C1C⊥側面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點，D為BB1的中點．（1）求證：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的體積．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）如圖，連接AC1，因為為正三角形，H為棱CC1的中點，所以AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D?平面ABB1A1，所以AH⊥A1D．①設AB=a，因為AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，．因為AB⊥AA1，所以平行四邊形ABB1A1為矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1．②由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．（2）方法一：如圖，取A1C1的中點G，連接AG，因為為正三角形，所以AG⊥A1C1，因為平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1?平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，又AG?平面AA1C1C，所以A1B1⊥AG，又A1C1∩A1B1=A1，所以AG⊥平面A1B1C1，所以AG為三棱柱ABC–A1B1C1的高，經(jīng)計算AG=，A1B1·A1C1=×2=，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=·AG=．方法二：如圖，取AA1的中點M，連接C1M，則C1M∥AH，所以C1M⊥平面ABB1A1．因為AB=，所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60°=2×，所以·C1M=×2×，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=3．20．（本小題滿分12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2011-2018年的相關數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）2345671011該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488部分計算結果：，，，，注：（Ⅰ）從該公司2011-2018年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤（百萬元）關于年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由數(shù)據(jù)可知，，，，，五個年份考核優(yōu)秀的所有可能取值為，，，，，，故的分布列為：則數(shù)學期望（2）解法一：故去掉年的數(shù)據(jù)之后：，所以，從而回歸方程為：解法二：因為，所以去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值所以而去掉年的數(shù)據(jù)之后，從而回歸方程為：21．（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.（1）設直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：聯(lián)立得：則，解得：直線的方程為：，即：（2）設，則可設直線方程為：聯(lián)立得：則，，則22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）若關于的不等式對恒成立，求的取值范圍.（2）設函數(shù)，在（1）的條件下，試判斷在區(qū)間上是否存在極值.若存在，判斷極值的正負；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，在上不存在極值；當時，在上存在極值，且極值均為正．【解析】（Ⅰ）由，得．即在上恒成立