第13章 非正弦信號

第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜§13-1非正弦周期信號§13-2非正弦周期函數(shù)分解為Fourier級數(shù)§13-3有效值、平均值和平均功率§13-4非正弦周期電流電路的計(jì)算*§13-5對稱三相電路中的高次諧波*§13-6Fourier級數(shù)的指數(shù)形式*§13-7Fourier積分簡介3/1/20241北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系§13-1非正弦周期信號1.

定義2.特點(diǎn)(1)不是正弦波；

(2)按周期規(guī)律變化

不按正弦規(guī)律變化的周期信號稱為非正弦周期信號。其中，T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=1,2,···。3/1/20242北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例1：半波整流電路的輸出信號。3.舉例3/1/20243北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例2：數(shù)字電路中的脈沖信號。3/1/20244北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系§13-2非正弦周期函數(shù)分解為Fourier級數(shù)1.Fourier級數(shù)任何滿足狄里赫利（Dirichlet）條件的函數(shù)f(t)，都可以展開成頻率為（，T是f(t)的周期）整數(shù)倍的一系列正弦量的疊加，即上式中的系數(shù)可按下列公式計(jì)算：3/1/20245北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系這種將一個(gè)周期函數(shù)展開（或分解）為一系列諧波之和（即Fourier級數(shù)）的方法稱為諧波分析。

3/1/20246北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系不難得出上述兩種形式系數(shù)之間有如下關(guān)系：還可合并成另一種形式：3/1/20247北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系

（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

（2）在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于f(x)；

當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于

Dirichlet條件：設(shè)f(x)是周期為T的周期函數(shù)，如果它滿足：則f(x)的Fourier級數(shù)收斂，并且有：

（3）在一個(gè)周期內(nèi)絕對可積，即返回3/1/20248北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系2.

利用函數(shù)的對稱性確定Fourier級數(shù)的系數(shù)（2）偶函數(shù)

－T/2tT/2f(t)（3）奇諧波函數(shù)tf(t)T/2T

－T/2tT/2f(t)（1）奇函數(shù)3/1/20249北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例：試判斷下圖所示波形展開式的特點(diǎn)。f(t)是奇函數(shù)，故展開式中只含有正弦分量。f(t)=解:又由于f(t)是奇諧波函數(shù)，所以展開式中只含有奇次諧波分量。綜上所述，f(t)的展開式應(yīng)具有以下形式：f(t)0tT3/1/202410北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系3.頻譜為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為Fourier級數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率高低順序把它們依次排列起來，可以得到如下圖形，這種圖形稱為f(t)的頻譜（圖）。由于這種頻譜只表示各諧波分量的振幅，所以稱之為幅度頻譜。由于各頻譜的角頻率是的整數(shù)倍，所以這種頻譜是離散的，有時(shí)又稱為線頻譜。3/1/202411北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例：試將如下周期性方波信號分解為Fourier級數(shù)并畫出其頻譜圖。圖示方波電流在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：4.舉例tT/2T3/1/202412北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系直流分量：諧波分量：解：k為奇數(shù)k為偶數(shù)3/1/202413北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系的展開式為：的頻譜圖為：（k為奇數(shù)）由于3/1/202414北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解示意圖：3/1/202415北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系基波直流分量直流分量+基波直流分量+基波+三次諧波三次諧波3/1/202416北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系tT/2TIS0IS0等效電源3/1/202417北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系5.說明

(1)Fourier級數(shù)是一個(gè)無窮級數(shù)，因此把一個(gè)非正弦周期函數(shù)分解為Fourier級數(shù)后，從理論上講，必須取無窮多項(xiàng)方能準(zhǔn)確地代表原有函數(shù)；但如果級數(shù)收斂很快，只取級數(shù)的前面幾項(xiàng)也就夠了，一般5次以上諧波可以略去；

(2)教材P322表13-1給出了幾個(gè)典型周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式。從式中可以看出，函數(shù)的波形越光滑和越接近于正弦波，其展開級數(shù)收斂得越快。3/1/202418北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系§13-3有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期函數(shù)的有效值若則其有效值:上式中i的展開式平方并積分后將含有下列各項(xiàng)3/1/202419北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。這樣可以求得i的有效值為3/1/202420北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系2.非正弦周期函數(shù)的平均值則其平均值為：若即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值。按上式可求得正弦電流的平均值為3/1/202421北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系上式相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，這是因?yàn)槿‰娏鞯慕^對值相當(dāng)于把負(fù)半周的值變成了對應(yīng)的正值。3/1/202422北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例：計(jì)算下圖所示矩形波信號的有效值和平均值。解：有效值為==5A平均值為=2.5AOti(A)T/4T103/1/202423北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系3.非正弦周期電流電路的平均功率利用三角函數(shù)的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率3/1/202424北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系例：已知一端口的電壓和電流，求電壓和電流的有效值和一端口的平均功率。解：電壓的有效值U=×電流的有效值3/1/202425北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系平均功率P=10×2+20×3+30×4+40×5×P=10×2+20×3cos60o+30×4cos(-41o)+40×5cos30o××3/1/202426北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系§

13-4非正弦周期電流電路的計(jì)算1.計(jì)算步驟（3）利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對各諧波信號分別應(yīng)用相量法進(jìn)行計(jì)算，并把計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式（注意：對應(yīng)于各交流諧波分量的XL、XC有所不同）；（1）利用Fourier級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成直流分量和多種頻率諧波信號的和；（4）應(yīng)用疊加原理，求出所需的電路響應(yīng)。（2）應(yīng)用直流電路的分析方法，計(jì)算在直流分量激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)；3/1/202427北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系2.舉例RLCtT/2T例1：已知iS為方波信號，，；，，，求圖中所示電壓u

。3/1/202428北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系解：（1）已知方波信號的展開式為：代入已知數(shù)據(jù)：得直流分量3/1/202429北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值電流源各頻率的諧波分量為：3/1/202430北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系（2）對直流分量和各種頻率的諧波分量單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算RIS0U0由于電容斷路，電感短路，所以有①

直流分量

IS0

作用3/1/202431北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系②基波作用RLC由于XL1>>R3/1/202432北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系③三次諧波作用3/1/202433北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系④五次諧波作用3/1/202434北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系

(3)將直流響應(yīng)和各諧波分量計(jì)算結(jié)果瞬時(shí)值進(jìn)行疊加3/1/202435北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系注意：（1）該方法僅適用于線性電路；

（2）把表示不同頻率正弦電流的相量直接相加是沒有意義的。V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdA3A2V2V1A1例2：已知求圖示電路中各表讀數(shù)（有效值）。3/1/202436北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系解：(1)U0=30V作用于電路時(shí)，L1、L2

短路，C1

、C2開路。IC10=0,I0=IL20=U0/R=30/30=1A,Uad0=Ucb0=U0=30VL1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdiiC1iL2L1C1C2L2U0+_30

abcdI0IC10IL203/1/202437北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系(2)u1=120cos1000tV作用時(shí)L1、C1

發(fā)生了并聯(lián)諧振。+_30

abcdj40

j40

j40

j10

3/1/202438北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系補(bǔ)充內(nèi)容：

RLC并聯(lián)諧振電路（教材P290）1.并聯(lián)諧振的定義G如果端口上的電壓與電流同相，則稱電路發(fā)生了諧振。由于是在GLC并聯(lián)電路中發(fā)生的，故稱為并聯(lián)諧振。3/1/202439北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系

2.并聯(lián)諧振的條件該頻率也稱為電路的固有頻率，它是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的。因?yàn)?，可解得諧振時(shí)的角頻率和頻率：3/1/202440北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系3.并聯(lián)諧振發(fā)生時(shí)電路的主要特點(diǎn)（1）諧振時(shí)輸入導(dǎo)納為最小值或者說輸入阻抗最大，。（2）諧振時(shí)有（所以并聯(lián)諧振又稱為電流諧振），但式中，Q稱為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)。3/1/202441北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系+_30

abcdj40

j40

j40

j10

3/1/202442北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系(3)u2=60cos(2000t+

/4)V作用時(shí)L2、C2

發(fā)生了并聯(lián)諧振。+_30

abcdj80

j20

j20

j20

3/1/202443北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系+_30

abcdj80

j20

j20

j20

3/1/202444北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系i=I0+i1+i2=1A所求的電壓、電流的瞬時(shí)值為：iC1=IC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90

)AiL2=IL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t

45)Auad=Uad0