甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）（本試題滿分150分）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】由題意得：，解得：，故選：D．2.在中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵在中，，，對(duì)邊分別為，，，若，則為直角三角形，，，，故選：B．3.下列各式運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的乘法運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．利用二次根式的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選D．4.如圖，在中，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．若的面積為6，則的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的面積等于底高解答．設(shè)與之間的距離為，由，根據(jù)的面積為6，可推導(dǎo)出，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：設(shè)與之間的距離為，，，，故選：C．5.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示的數(shù)分別為-1，1，CB⊥AB，BC=1，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），則點(diǎn)D所表示的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)，從而可以求得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可以得到點(diǎn)D表示的數(shù)．【詳解】解：由題意可得，

AB=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AC=，∴AD=，∴點(diǎn)D表示數(shù)為：-1，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸和勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6.如圖，在矩形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理，由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出，得出，由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，故選：B．7.已知，則的值為（）A. B. C.12 D.18【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)性求出的值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得，，，，故選B．8.如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由“”可證，可得，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：，，四邊形是正方形，，，又，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，圓柱形容器的底面周長(zhǎng)是，高是，在外側(cè)地面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口內(nèi)側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一蒼蠅，急于捕捉蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長(zhǎng)度是（）．A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此類問題畫側(cè)面展開圖的時(shí)候需要注意物體在容器內(nèi)側(cè)與外側(cè)的區(qū)別．畫出圓柱側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，結(jié)合勾股定理計(jì)算出最短路線即可．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)D為圓柱形容器上口上一點(diǎn)，作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，根據(jù)軸對(duì)稱可知，，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)S、E、在同一直線上時(shí)，蜘蛛所走的路程最小，即為蜘蛛所走最短路徑，由題意得：，，，∴，∴．故選：B．10.如圖，在菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，證明四邊形是矩形，則，當(dāng)時(shí)，的值最小，再由面積法求出的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，，∴，∴的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、三角形面積等知識(shí)．熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形為矩形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共32分）11.已知最簡(jiǎn)二次根式與能合并，則__________．【答案】【解析】【分析】考查的是同類二次根式的定義，根據(jù)題意可知二次根式與是同類二次根式，可得到，從而可求得的值．【詳解】最簡(jiǎn)二次根式與能合并，，．故答案．12.已知P是直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則它到原點(diǎn)的距離是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，算術(shù)平方根的性質(zhì)．掌握在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴它到原點(diǎn)的距離是．故答案為：．13.若，且，則的值是_________．【答案】1或5【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的定義得到，再由得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的值是1或5，故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，正確求出是解題的關(guān)鍵．14.如圖，點(diǎn)A、B、C分別在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格圖頂點(diǎn)，則______．【答案】45°【解析】【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可得出∠ABC=45°．【詳解】解：連接AC，根據(jù)題意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．15.已知，，三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示．若地位于，兩地的中點(diǎn)處，則，兩地之間的距離是______．【答案】【解析】【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，首先根據(jù)勾股定理逆定理證明出，然后利用直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，，∴，∴∴∵地位于，兩地的中點(diǎn)處∴．故答案為：．16.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．若，，則的度數(shù)為________．【答案】35【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴是是中位線，∴，∴．故答案為：35．17.如圖，直線經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，分別過該正方形的頂點(diǎn)、作于，于．若，，則的長(zhǎng)為________．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，證明是解題關(guān)鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，然后由即可獲得答案．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．故答案為：9．18.如圖，矩形中，，，是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度均為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若分別是的中點(diǎn)，且，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，的值為_____．【答案】或【解析】【分析】如圖所示，連接，當(dāng)為頂點(diǎn)四邊形為矩形時(shí)，則四邊形的對(duì)角線相等，結(jié)合分類討論即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵矩形中，，，分別是的中點(diǎn)，∴，∵是上的動(dòng)點(diǎn)，速度均為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，則，∴①，解得，；②，解得，；綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題一（共38分）19.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再合并即可；（2）先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再計(jì)算加減運(yùn)算即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】原式．20.如圖，E，F(xiàn)是四邊形的對(duì)角線上兩點(diǎn)，，，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】本師考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．先由得，再證明，得，，繼而得，即可由平行四邊形判定定理得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∴，∴四邊形平行四邊形．21.如圖，在中，頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，為格點(diǎn)三角形，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；（2）判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）（2）是直角三角形，理由見解析【解析】【分析】本題考查的是建立平面直角坐標(biāo)系，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟記勾股定理與勾股定理的逆定理的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）先建立坐標(biāo)系，從而可得C的坐標(biāo)；（2）求出三角形各邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可．【小問1詳解】解：如圖，建立坐標(biāo)系如下：∴；【小問2詳解】由勾股定理得，，∴∴是直角三角形，且．22.已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及乘法公式，熟練掌握二次根式的運(yùn)算及乘法公式是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后問題可求解；（2）由（1）及可進(jìn)行求解．【小問1詳解】解：∵，，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，，∴．23.如圖，在中，的平分線交邊于點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，連接．判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】四邊形是菱形，證明見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線定義可得，等量代換得出，等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證．【詳解】解：四邊形是菱形．證明如下：平分，．四邊形是平行四邊形，．，．．又，．在四邊形中，，，四邊形是平行四邊形．又，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定定理，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．四、解答題二（共50分）24.“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)等線的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）風(fēng)箏的高度為米（2）他應(yīng)該往回收線8米【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度；（2）由題意得，米，則米，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【小問1詳解】解：在中，由勾股定理得，，∴米或米（負(fù)值舍去），∴（米），答：風(fēng)箏的高度為米；【小問2詳解】解：由題意得，米，∴米，∴（米），∴（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．25.如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若，矩形的周長(zhǎng)為16，且，求矩形的面積．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明得到，設(shè)，則，根據(jù)矩形周長(zhǎng)計(jì)算公式得到，解方程得到，則．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，∵矩形的周長(zhǎng)為16，∴，∴，∴，∴，∴．26.【觀察思考】觀察下列各式：；；．…請(qǐng)你根據(jù)上述等式提供的信息，解答下列問題：（1）______________；（2）根據(jù)你的觀察、猜想，寫出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_______________；（3）用上述規(guī)律計(jì)算：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的運(yùn)算；（1）根據(jù)所給算式可直接得出答案；（2）根據(jù)所給算式得出一般性規(guī)律即可；（3）將被開方數(shù)變形，然后利用（2）中規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．【小問1詳解】解：由所給算式可得，故答案為：；【小問2詳解】由所給算式可得，故答案為：；【小問3詳解】．27.綜合與實(shí)踐：【問題背景】：（1）三角形中位線定理：如圖①，在中，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出中位線和第三條邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖②，在四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，求的度數(shù)；【解決問題】（3）如圖③，在四邊形中，點(diǎn)M，N分別為邊，的中點(diǎn)，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，連接，分別交，于點(diǎn)F，G，．求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）、根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；（2）、連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，計(jì)算即可；（3）、取的中點(diǎn)，連接、，則、分別是、的中