備考2024屆高考數(shù)學一輪復習講義第七章立體幾何與空間向量第3講空間直線平面的平行

第3講空間直線、平面的平行課標要求命題點五年考情命題分析預測1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理.2.能用已獲得的結論證明空間基本圖形的平行關系的簡單命題.線面平行的判定與性質(zhì)2023上海T17；2022新高考卷ⅡT20；2022北京T17；2019全國卷ⅠT18本講內(nèi)容是高考命題的熱點，主要考查直線與平面以及平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應用，題型既有選擇題，也有解答題，難度中等.預計2025年高考命題穩(wěn)定，但應注意與充分必要條件等知識的綜合命題.面面平行的判定與性質(zhì)2022全國卷乙T7；2019全國卷ⅡT7平行關系的綜合應用1.直線與直線平行（1）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行（即平行線的傳遞性）.注意平行線的傳遞性不僅僅是平行關系有傳遞性，若a∥b，則直線a的大部分性質(zhì)也可以傳遞給直線b，比如若a⊥c，則b⊥c；若a⊥α，則b⊥α，若a與平面α夾角為30°，則b與平面α夾角也為30°等.但要注意若a∥α，則不一定有b∥α，因為無法判斷直線b是否在平面α內(nèi).（2）等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角①相等或互補.2.直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面②外一條直線與此平面③內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.簡稱：線線平行，則線面平行.④a?α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面⑥相交，那么該直線與交線平行.簡稱：線面平行，則線線平行.a∥α注意（1）在證明線面平行時，一定要強調(diào)此直線不在平面內(nèi)；（2）一條直線平行于一個平面，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面.3.平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條⑧相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.簡稱：線面平行，則面面平行.a?性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條?交線平行.簡稱：面面平行，則線線平行.α//βα?γ＝規(guī)律總結平行關系中常用的6個結論1.垂直于同一條直線的兩個平面平行.2.平行于同一平面的兩個平面平行.3.垂直于同一平面的兩條直線平行.4.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.5.夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.6.經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.1.[教材改編]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則下列直線中與平面ACE平行的是（B）A.BA1 B.BD1 C.BC1 D.BB1解析如圖所示，連接BD，設AC∩BD＝O，則O是BD的中點，連接OE，∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，∴OE∥BD1.又OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.易得直線BA1，BC1，BB1均與平面ACE不平行.2.[多選/教材改編]若直線a平行于平面α，則（BC）A.平面α內(nèi)有且只有一條直線與a平行 B.平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行C.平面α內(nèi)存在無數(shù)條與a不平行的直線 D.平面α內(nèi)任意一條直線都與a平行3.已知直線a∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于直線a的直線有1條.4.[易錯題]如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，截面為四邊形EFGH，則四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.解析因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.研透高考明確方向命題點1線面平行的判定與性質(zhì)例1[2023上海高考節(jié)選]如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4.求證：A1B∥平面DCC1D1.解析解法一∵AB∥DC，AB?平面DCC1D1，CD?平面DCC1D1，∴AB∥平面DCC1D1.∵AA1∥DD1，AA1?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，∴AA1∥平面DCC1D1.又AB∩AA1＝A，∴平面ABB1A1∥平面DCC1D1.又A1B?平面ABB1A1，∴A1B∥平面DCC1D1.解法二如圖，取CD的中點E，連接BE，D1E，則DE＝2，∵AB∥DC，AB＝2，∴ABDE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴BEAD.又ADA1D1，∴BEA1D1，∴四邊形A1D1EB為平行四邊形，∴A1B∥D1E，又D1E?平面DCC1D1，A1B?平面DCC1D1，∴A1B∥平面DCC1D1.例2[北京高考節(jié)選]如圖，在正方形AMDE中，B，C分別為AM，MD的中點.在五棱錐P－ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H.求證：AB∥FG.解析在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE.又AB?平面PDE，DE?平面PDE，所以AB∥平面PDE.因為AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.方法技巧1.證明線線平行常用的方法（1）利用線面平行的性質(zhì)定理.（2）利用面面平行的性質(zhì)定理.（3）利用中位線，對應線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)等.2.證明直線與平面平行的常用方法（1）利用線面平行的判定定理.（2）利用面面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β.注意應用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理時，一定要注意定理成立的條件.訓練1[2023江西省南昌市摸底測試]如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，D1C1，C1B1的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，則下列直線中，與平面ACD1和平面BDC1的交線平行的直線是（C）A.EH B.HG C.EG D.FH解析如圖，設AC∩BD＝M，CD1∩C1D＝N，則M∈平面ACD1，M∈平面BDC1，N∈平面ACD1，N∈平面BDC1，連接MN，則平面ACD1∩平面BDC1＝MN.在△ACD1中，M，N分別為AC，CD1的中點，所以MN∥AD1.連接EG，在四邊形ABC1D1中，易知四邊形ABC1D1是平行四邊形，又E，G分別為AB，C1D1的中點，所以EG∥AD1，所以MN∥EG.故選C.訓練2[2022北京高考節(jié)選]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點.求證：MN∥平面BCC1B1.解析解法一如圖，設點P為AB的中點，連接PN，PM，因為N為AC的中點，所以PN為△ABC的中位線，所以PN∥BC.又M為A1B1的中點，所以PM∥BB1.因為BB1∩BC＝B，PM∩PN＝P，BB1，BC?平面BCC1B1，PM，PN?平面MPN，所以平面BCC1B1∥平面MPN.又MN?平面MPN，所以MN∥平面BCC1B1.解法二如圖，取BC的中點D，連接B1D，DN.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，AB＝A1B1.因為M，N，D分別為A1B1，AC，BC的中點，所以B1M∥AB，B1M＝12AB，DN∥AB，DN＝12AB，則B1M∥DN且B1M＝所以四邊形B1MND為平行四邊形，因此B1D∥MN.又MN?平面BCC1B1，B1D?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.命題點2面面平行的判定與性質(zhì)例3[全國卷Ⅱ]設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是（B）A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面解析對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，當這無數(shù)條直線互相平行時，α與β可能相交，所以A不正確；對于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對于C，平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確.綜上可知選B.例4[安徽高考節(jié)選]如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點的平面記為α，BB1與α的交點為Q.證明：Q為BB1的中點.解析因為BQ∥AA1，BC∥AD，BQ，BC?平面A1AD，AA1，AD?平面A1AD，所以BQ∥平面A1AD，BC∥平面A1AD，又BC∩BQ＝B，所以平面QBC∥平面A1AD.從而平面α與這兩個平面的交線互相平行，即QC∥A1D.故△QBC與△A1AD的對應邊互相平行，于是△QBC∽△A1AD.所以BQBB1＝BQAA1＝BCAD＝1方法技巧證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的判定定理.（2）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）.（3）利用平面平行的傳遞性（α∥β，β∥γ?α∥γ）.訓練3[2023高三名校聯(lián)考節(jié)選]如圖，四棱錐P－ABCD的底面為菱形，∠ABC＝π3，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是線段PB的中點，G，H分別是線段PC上靠近P，C的三等分點.求證：平面AEG∥平面BDH.解析如圖，連接AC，交BD于點O，連接OH，在△PBH中，E，G分別為PB，PH的中點，所以EG∥BH，又EG?平面BDH，BH?平面BDH，所以EG∥平面BDH.同理可得AG∥平面BDH，因為AG，EG?平面AEG，AG∩EG＝G，所以平面AEG∥平面BDH.命題點3平行關系的綜合應用例5[山東高考節(jié)選]在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O'的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC.解析如圖，連接CF，設CF的中點為I，連接GI，HI，在△CEF中，因為G，I分別是CE，CF的中點，所以GI∥EF.連接OB，易知EF∥OB，所以GI∥OB.因為GI?平面ABC，OB?平面ABC，所以GI∥平面ABC.在△BCF中，因為H，I分別是BF，CF的中點，所以HI∥BC.因為HI?平面ABC，BC?平面ABC，所以HI∥平面ABC，又HI∩GI＝I，HI?平面GHI，GI?平面GHI，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.方法技巧平行關系的綜合應用訓練4如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝12AD，E是PD的中點.（1）求證：CE∥平面PAB.（2）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點N，使得MN∥平面PAB？請說明理由.解析（1）如圖，取AP的中點F，連接EF，BF，因為E，F(xiàn)分別是PD，AP的中點，所以EF∥AD且EF＝12AD又BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，又BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF.又BF