備考2024屆高考數學一輪復習講義第一章集合常用邏輯用語與不等式第1講集合

第1講集合課標要求命題點五年考情命題分析預測1.（1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系.（2）能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.（3）了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.（3）能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.集合的概念2022全國卷乙T1；2020全國卷ⅢT1本講是高考必考內容.命題熱點有集合的交、并、補運算，集合的含義及集合間的基本關系，常與不等式、函數等相結合命題，考查學生的數學運算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時常借助數軸和Venn圖.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對集合中創(chuàng)新問題的重視.集合間的基本關系2023新高考卷ⅡT2；2021全國卷乙T2集合的基本運算2023新高考卷ⅠT1；2023全國卷乙T2；2023全國卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國卷乙T1；2022全國卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國卷甲T1；2021全國卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國卷ⅠT2；2020全國卷ⅡT1；2020全國卷ⅢT1；2019全國卷ⅠT1；2019全國卷ⅡT1；2019全國卷ⅢT1集合中的計數問題2019全國卷ⅢT3集合的新定義問題1.集合的概念集合中元素的特征①確定性、②互異性、無序性集合的表示方法③列舉法、④描述法、圖示法常見數集的記法自然數集（非負整數集），記作⑤N；正整數集，記作⑥N*或⑦N＋；整數集，記作⑧Z；有理數集，記作⑨Q；實數集，記作⑩R元素與集合之間的關系“屬于”或“不屬于”，分別記為“?∈”或“??”2.集合間的基本關系關系定義符號語言子集一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中?任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B（或B?A）真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且?x?A，就稱集合A是集合B的真子集?A?B（或B?A）相等若A?B，且?B?A，則A＝BA＝B空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)律總結（1）A?B（子集）A（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即??A，??B（B≠?）.（3）任何一個集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個子集，即它本身.（4）含有n個元素的集合的子集個數是2n，非空子集的個數是2n－1，真子集的個數是2n－1，非空真子集的個數是2n－2.（5）對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.3.集合的基本運算運算集合語言圖形語言符號語言并集{x｜x∈A，或x∈B}?A∪B交集{x｜x∈A，且x∈B}?A∩B補集{x｜x∈U，且x?A}??UA常用結論集合的運算性質（1）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.（2）?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB），?U（A∪B）＝（?UA）∩（?UB）.1.下列說法正確的是（D）A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}B.方程x－2024＋（y＋2025）2＝0的解集為{2024，－C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1D.對任意兩個集合A，B，（A∩B）?（A∪B）恒成立2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，則（D）A.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P3.集合{a，b}的真子集的個數為3.解析解法一集合{a，b}的真子集為?，{a}，，有3個.解法二集合{a，b}有2個元素，則集合{a，b}的真子集的個數為22－1＝3.4.設a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，則a－b＝1.解析∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩（?UB）＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{6}.解析∵?UA＝{1，3，6，7}，?UB＝{2，4，6}，∴A∩（?UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（?UA）∩（?UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.研透高考明確方向命題點1集合的概念例1（1）[2022全國卷乙]設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（A）A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M解析由題意知M＝{2，4，5}，故選A.（2）[全國卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為（C）A.2 B.3C.4 D.6解析由題意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的個數為4，故選C.方法技巧1.解決集合含義問題的三個關鍵點：一是確定構成集合的元素；二是分析元素的限制條件；三是根據元素的特征（滿足的條件）構造關系式解決相應問題.2.常見集合的含義集合{x｜f（x）＝0}{x｜f（x）＞0}{x｜y＝f（x）}{y｜y＝f（x）}{（x，y）｜y＝f（x）}代表元素方程f（x）＝0的根不等式f（x）＞0的解函數y＝f（x）的自變量的取值函數y＝f（x）的函數值函數y＝f（x）圖象上的點訓練1（1）[多選/2024黑龍江模擬]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一個元素，則實數a的可能取值為（ABD）A.0 B.1 C.2 D.4解析當a＝0時，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合題意；當a≠0時，由題意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.（2）[多選/2023江蘇省鎮(zhèn)江中學模擬]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列關系正確的是（AB）A.（1，3）∈B B.（0，0）?BC.0∈A D.A＝B解析∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由拋物線y＝x2＋2上的點組成的集合，∴AB正確，CD錯誤，故選AB.（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，則實數m的值為1或4.解析因為A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.當m＝2時，m2－5m＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以m＝2不符合題意.當m2－5m＋6＝2時，m＝1或m＝4，若m＝1，A＝{0，1，2}符合題意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合題意.所以實數m的值為1或4.命題點2集合間的基本關系例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝（B）A.2 B.1 C.23 D.－解析依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.（2）[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2}?A?{1，2，3，4，5}的集合A的個數是（C）A.5 B.6 C.7 D.8解析解法一因為集合{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個.故選C.解法二問題等價于求集合{3，4，5}的真子集的個數，則共有23－1＝7個.故選C.方法技巧1.求集合的子集個數，常借助列舉法和公式法求解.2.根據兩集合間的關系求參數，常根據集合間的關系轉化為方程（組）或不等式（組）求解，求解時注意集合中元素的互異性和端點值能否取到.注意在涉及集合之間的關系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已知集合A、非空集合B滿足A?B或A?B，則有A＝?和A≠?兩種情況.訓練2（1）設集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是（D）A.M＝P B.P∈MC.M?P D.P?M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P?M.故選D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數m的取值范圍為（－∞，3].解析因為B?A，所以分以下兩種情況：①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時m＜2；②若B≠?，則2m－1≥m+1由①②可得，符合題意的實數m的取值范圍為（－∞，3].命題點3集合的基本運算角度1集合的交、并、補運算例3（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}解析解法一 因為N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.解法二因為1?N，所以1?M∩N，排除A，B；因為2?N，所以2?M∩N，排除D.故選C.（2）[2023全國卷甲]設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.?解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好能被3整除的整數集，故選A.角度2已知集合運算結果求參數例4（1）[全國卷Ⅰ]設集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，則a＝（B）A.－4 B.－2 C.2 D.4解析易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因為A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（?RA）∪B＝R，則實數a的取值范圍為（B）A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析由題可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，?RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（?RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.方法技巧1.處理集合的交、并、補運算時，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化簡集合，得出元素滿足的最簡條件.2.對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；如果集合中的元素是連續(xù)的，可借助數軸求解，此時要注意端點的情況.訓練3（1）[2023全國卷乙]設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（A）A.?U（M∪N） B.N∪?UMC.?U（M∩N） D.M∪?UN解析由題意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以?U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故選A.（2）[2023江西省聯考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，則實數k的取值范圍是（A）A.（－∞，34） B.（34，C.（34，＋∞） D.（－∞，3解析因為A∩B＝A，所以A?B，則圓（x－1）2＋y2＝1在直線y＝kx－2的上方，則k×1－2<0，命題點4集合中的計數問題例5[全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為（C）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析解法一由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為90－80＋60＝70，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為70÷100＝0.7.故選C.解法二用Venn圖表示調查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數之間的關系，如圖，易知調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為70100＝0.7.故選方法技巧集合中元素的個數問題的求解策略關于集合中元素的個數問題，常借助Venn圖或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的個數）求解.訓練4向50名學生調查對A，B兩種觀點的態(tài)度，結果如下：贊成觀點A的學生人數是全體人數的35，其余的不贊成；贊成觀點B的學生人數比贊成觀點A的多3人，其余的不贊成；另外，對觀點A，B都不贊成的學生人數比對觀點A，B都贊成的學生人數的13多1人，則對觀點A，B都贊成的學生有21解析贊成觀點A的學生人數為50×35＝30，贊成觀點B的學生人數為30＋3＝33.如圖，記50名學生組成的集合為U，贊成觀點A的學生全體為集合A，贊成觀點B的學生全體為集合B.設對觀點A，B都贊成的學生人數為x，則對觀點A，B都不贊成的學生人數為x3＋1，贊成觀點A或贊成觀點B的學生人數為30＋33－x.依題意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故對觀點A，B都贊成的學生有21命題點5集合的新定義問題例6（1）[2024上海市晉元高級中學模擬]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A?M，定義M（A）為A中元素的最小值，當A取遍M的所有非空子集時，對應的M（A）的和記為S，則S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1個，其中最小值為1的有25個，最小值為2的有24個，最小值為3的有23個，最小值為4的有22個，最小值為5的有21個，最小值為6的有20個，故S＝25×1＋24