新教材2023版高中數(shù)學(xué)第4章計(jì)數(shù)原理4.1兩個計(jì)數(shù)原理課件湘教版選擇性必修第一冊

4．1.1分類加法計(jì)數(shù)原理4．1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理新知初探?課前預(yù)習(xí)題型探究?課堂解透最新課程標(biāo)準(zhǔn)通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義．新知初探?課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理?如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能獨(dú)立完成這件事，那么完成這件事共有N＝______________種不同的方法．(也稱“加法原理”)要點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理?如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有N＝_____________種不同的方法．(也稱“乘法原理”)m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn批注?確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類辦法，不同類辦法的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.批注?根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏．基

礎(chǔ)

自

測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(

)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)×√√√2．從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機(jī)和乘輪船，其中飛機(jī)每天有3班，輪船有4班．若李先生從甲地去乙地，則不同的交通方式共有(

)

A．3種B．4種C．7種D．12種答案：C解析：由分類加法計(jì)數(shù)原理，從甲地去乙地共3＋4＝7(種)不同的交通方式．3．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有(

)A．3種B．6種C．7種D．9種答案：C解析：分3類，買1本書，買2本書，買3本書，各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7(種)．4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，則x·y可表示不同的值的個數(shù)為(

)A．10個B．6個C．8個

D．9個答案：D解析：因?yàn)閤從集合{2，3，7}中任取一個值共有3個不同的值，y從集合{－3，－4，8}中任取一個值共有3個不同的值，故x·y可表示3×3＝9個不同的值．5．某商場共有4個門，購物者若從任意一個門進(jìn)，從任意一個門出，則不同走法的種數(shù)是_____.16解析：不同的走法可以看作是兩步完成的，第一步是進(jìn)門共有4種；第二步是出門，共有4種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×4＝16(種)．題型探究?課堂解透題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1

(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？解析：分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法．共有不同選法N＝4＋5＋6＋7＝22種．(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．方法二按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．方法歸納

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般步驟鞏固訓(xùn)練1

(1)一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成，有3人會用第1種方法完成，有5人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同的選法種數(shù)是(

)A．8B．15C．16D．30解析：第1類，從會第1種方法的3人中選1人，有3種不同的選法；第2類，從會第2種方法的5人中選1人，有5種不同的選法，共有5＋3＝8(種)不同的選法．答案：A(2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個．若從三個袋子中任取1個小球，有____種不同的取法．15解析：有三類不同方案：第一類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；第二類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；第三類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法．其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨(dú)立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15種．題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2用0，1，2，3，4這五個數(shù)字(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？解析：直接法：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1，2，3，4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．間接法：將5個數(shù)字不重復(fù)排在4個位置上有5×4×3×2＝120種排法，其中不合要求的有4×3×2＝24種排法．所以排成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為120－24＝96個．(2)可以組成多少個四位密碼？解析:完成“組成四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有5種選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×5×5×5＝625個．方法歸納(1)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可．(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘，做到不重不漏．鞏固訓(xùn)練2

(1)[2022·湖南測試]某儲蓄卡密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個，則可設(shè)置的銀行卡密碼共有_____種；106解析：每位上的數(shù)字有10個數(shù)字可選，由乘法原理總共有106種．(2)如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有多少種？解析：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，第一步，m1＝3種，第二步，m2＝2種，第三步，m3＝1種，第四步，m4＝1種，所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N＝3×2×1×1＝6種．題型3兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例3現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？

(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

解析：(1)分四類：第1類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第2類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第3類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第4類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第1、2、3、4步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)分六類，每類又分兩步．從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．方法歸納使用兩個原理的原則

使用兩個原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手．“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.鞏固訓(xùn)練3

現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？解析：分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法；(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？解析：分為三步：第一步從國畫中選，有5種不同的選法；第二步從油畫中選，有2種不同的選法；第三步從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解析：

分為三類：第一類是一幅選自國畫，有5種不同的選法；一幅選自油畫，有2種不同的選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，有5種不同的選法；一幅選自水彩畫，有7種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，有2種不同的選法；一幅選自水彩畫，有7種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有2×7＝14(種)不同的選法，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．易錯辨析分類標(biāo)準(zhǔn)不清致誤例4

甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，問有多少種不同的冠軍獲得情況？解析：可先舉例說出其中的1種情況，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍分別是甲、甲