(浙江版)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講+練+測(cè))：-專(zhuān)題4.4-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(講)

PAGE1-第04節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考綱解讀】考點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性.2024浙江文3；2024浙江文11，理11；2024浙江文3，理5；2024浙江18.1.“五點(diǎn)法〞作圖；2,.三角函數(shù)的性質(zhì).3.備考重點(diǎn)：(1)掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象；(2)掌握三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及最值.【知識(shí)清單】1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)〔1〕正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值周期性奇偶性,奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形?！?〕〔五點(diǎn)法〕，先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè)的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來(lái)，即得到在一個(gè)周期的圖像，最后把這個(gè)周期的圖像以周期為單位，向左右兩邊平移，那么得到函數(shù)的圖像.對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2024課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A．f(x)的一個(gè)周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱C．f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減【答案】D【解析】2．三角函數(shù)的定義域與值域〔1〕定義域：,的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?〔2〕值域：,的值域?yàn)?的值域?yàn)?〔3〕最值：：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．：既無(wú)最大值，也無(wú)最小值對(duì)點(diǎn)練習(xí)：函數(shù)的定義域是〔〕A.B.C.D.【答案】D應(yīng)選D.3.三角函數(shù)的單調(diào)性〔1〕三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，〔2〕復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，那么在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減〞來(lái)確定，即“里外〞函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外〞函數(shù)增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，如下表增增增增減減減增減減減增對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2024浙江溫州中學(xué)10月模擬】函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，假設(shè)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，那么是減函數(shù)的區(qū)間為〔〕A.B.C.D.【答案】A4.三角函數(shù)的對(duì)稱性〔1〕對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)稱中心為.〔2〕對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱軸，可由方程解出；它還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對(duì)稱中心為．〔3〕相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為eq\f(T,2)，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為eq\f(T,2),函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2024浙江溫州中學(xué)3月模擬】函數(shù)f(x)=2cos2x+【答案】π,x=5x∈[0,π]，所以x=π12或x=115.三角函數(shù)的奇偶性〔1〕函數(shù)的奇偶性的定義；對(duì)定義域內(nèi)任意，如果有=，那么函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，那么函數(shù)是奇函數(shù)，否那么是非奇非偶函數(shù)〔2〕奇偶函數(shù)的性質(zhì)：〔1〕定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；〔2〕偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；〔3〕為偶函數(shù)．〔4〕假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含，那么．〔5〕為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù).對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2024屆江西省六校高三上學(xué)期第五次聯(lián)考】函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是〔〕A.B.C.D.【答案】C此題選擇C選項(xiàng).6.三角函數(shù)的周期性〔1〕周期函數(shù)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期．〔2〕最小正周期：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期．〔3〕,周期為,周期為.對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2024天津，文理】設(shè)函數(shù)，，其中，.假設(shè)，，且的最小正周期大于，那么〔A〕， 〔B〕， 〔C〕， 〔D〕，【答案】【考點(diǎn)深度剖析】近幾年高考在對(duì)三角恒等變換考查的同時(shí)，對(duì)三角函數(shù)〔特別是〕圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性以及圖象變換是主要考查對(duì)象，難度仍然以中低檔為主，重在對(duì)根底知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】函數(shù)的圖象如以下列圖，那么函數(shù)的圖象可能是【答案】C因此.易知選.【1-2】函數(shù)()的大致圖象是〔〕xxxxoASKIPIF1<0-SKIPIF1<0xxoBSKIPIF1<0-SKIPIF1<0xxoDSKIPIF1<0-SKIPIF1<0xxoCSKIPIF1<0-SKIPIF1<01-11-1-11-11【答案】C【領(lǐng)悟技法】用“五點(diǎn)法〞作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫(huà)出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)．【觸類(lèi)旁通】【變式一】【2024河南新鄉(xiāng)三?！考僭O(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π【答案】π【解析】根據(jù)題意可得ω×2+π3=kπ,k【變式二】設(shè)常數(shù)a使方程在閉區(qū)間[0,2]上恰有三個(gè)解，那么.【答案】【解析】原方程可變?yōu)?，如圖作出函數(shù)的圖象，再作直線，從圖象可知函數(shù)在上遞增，上遞減，在上遞增，只有當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，，，所以．考點(diǎn)2三角函數(shù)的定義域與值域【2-1】【2024新課標(biāo)2】函數(shù)fx=sin2【答案】1【2-2】函數(shù)的定義域是________．【答案】【解析】(1)由題意得，即，分別由三角函數(shù)線得，【領(lǐng)悟技法】1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解．2．三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．【觸類(lèi)旁通】【變式】當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時(shí)，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．【答案】eq\f(7,8)2考點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性【3-1】【2024遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)高中】ω>0，函數(shù)fx=sinωxA.12,54B.1【答案】A【解析】由題意得π2π4ω+【3-2】【2024安徽滁州九校】函數(shù)的最小正周期為，那么該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為()A.B.C.D.【答案】B【解析】由于函數(shù)的最小正周期為，∴，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，應(yīng)選B.【領(lǐng)悟技法】1.求形如或(其中A≠0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答，列不等式的原那么是：①把“()〞視為一個(gè)“整體〞；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與()，()的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．2.如何確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，假設(shè)為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來(lái)，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；假設(shè)求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).3.求函數(shù)(或，或)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)將化為正．(2)將看成一個(gè)整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解．4．特別提醒：解答三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，不要漏了“〞.三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“∪〞聯(lián)結(jié)．求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)假設(shè)的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．【觸類(lèi)旁通】【變式一】函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的局部圖像如以下列圖，那么f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為〔〕A.(kπ-14C.(k-14【答案】D(2k-考點(diǎn)4三角函數(shù)的對(duì)稱性【4-1】【2024高考四川，理4】以下函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是〔〕【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，應(yīng)選A.【4-2】【2024山東煙臺(tái)】函數(shù)，那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A.在定義域內(nèi)是增函數(shù)B.的對(duì)稱中心是〔〕C.是奇函數(shù)D.的對(duì)稱軸是〔〕【答案】B【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)?，在定義域上不是增函數(shù)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，所以對(duì)稱中心為，選項(xiàng)B正確；由于函數(shù)定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸方程，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.應(yīng)選B.【領(lǐng)悟技法】先化成的形式再求解．其圖象的對(duì)稱軸是直線，但凡該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心,關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的根本思想即可求三角函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．【觸類(lèi)旁通】【變式一】以下坐標(biāo)所表示的點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】的對(duì)稱中心為，所以的對(duì)稱中心可以表示為，經(jīng)檢驗(yàn)C選項(xiàng)不滿足條件，應(yīng)選C．考點(diǎn)5三角函數(shù)的奇偶性【5-1】【2024-2024山西省朔州一中8月】函數(shù)y=sinA.周期為π的奇函數(shù)B.周期為π的偶函數(shù)C.周期為π2的奇函數(shù)D.周期為π【答案】B此題選擇B選項(xiàng).【5-2】以下對(duì)于函數(shù)的判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A．函數(shù)的周期為B．對(duì)于函數(shù)都不可能為偶函數(shù)C．,使D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】C【解析】因?yàn)樵谏系闹芷跒?，但在上無(wú)周期；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，而當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；因此選C．【領(lǐng)悟技法】1.一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，那么函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，那么函數(shù)是奇函數(shù)，否那么是非奇非偶函數(shù)。2.如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見(jiàn)的結(jié)論如下：(1)假設(shè)為偶函數(shù)，那么有;假設(shè)為奇函數(shù)那么有；(2)假設(shè)為偶函數(shù)，那么有;假設(shè)為奇函數(shù)那么有；(3)假設(shè)為奇函數(shù)那么有.【觸類(lèi)旁通】以下四個(gè)函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是〔〕A.B.C.D.【答案】B考點(diǎn)6三角函數(shù)的周期性【6-1】【2024課標(biāo)II，文3】函數(shù)的最小正周期為〔〕A.B.C.D.【答案】C【6-2】以下四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)的是〔〕A．B．C．D．【答案】D【領(lǐng)悟技法】1.求三角函數(shù)的周期的方法〔1〕定義法：使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題；〔2〕公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫(huà)出函數(shù)草圖的函數(shù)；(4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定.如的周期都是,但的周期為，而，的周期不變.2.使用周期公式，必須先將解析式化為或的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是，正切函數(shù)的最小正周期公式是；注意一定要注意加絕對(duì)值?！居|類(lèi)旁通】【變式一】設(shè)函數(shù)〔是常數(shù)，〕.假設(shè)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，那么的最小正周期為.【答案】所以，，即，所以，解得.【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.易錯(cuò)分析：解答此題易直接由：，得出錯(cuò)誤結(jié)論，原因是忽略復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,再一點(diǎn)易忽略這個(gè)條件.正確解析：把函數(shù)變?yōu)?故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.溫馨提醒：(1)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn),掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),并能靈巧運(yùn)用,解答此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是將三角函數(shù)變形為處理．(2)在解答此題時(shí)，存在兩個(gè)典型錯(cuò)誤．一是忽略復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，直接由：，得出錯(cuò)誤結(jié)論；二是易忽略對(duì)字母的限止,在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意對(duì)字母的限止.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休——數(shù)形結(jié)合思想我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)