新教材2023版高中數(shù)學第五章計數(shù)原理2排列問題2.1排列與排列數(shù)課件北師大版選擇性必修第一冊

2.1排列與排列數(shù)新知初探·課前預(yù)習題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習[教材要點]要點一排列的概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n且m，n∈N＋)個元素，并按照___________排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．一定的順序狀元隨筆(1)排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．(2)一個排列就是完成一件事的一種方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．(3)從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的順序不同的排列，都不是同一個排列．(4)在定義中“一定的順序”就是說與位置有關(guān)，在實際問題中，究竟何時有關(guān)，何時無關(guān)，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別．要點二排列數(shù)的概念把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的所有________________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作________．狀元隨筆“排列數(shù)”與“排列”的區(qū)別“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個正整數(shù)；“排列”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列”，它是指具體的排法．不同排列的個數(shù)

×√××2．[多選題]下列問題中是排列問題的是(

)A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學和物理學習小組B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動C．從a，b，c，d四個字母中取出2個字母D．從1，2，3，4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)解析：A是排列問題，因為兩名同學參加的學習小組與順序有關(guān)；

B不是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序無關(guān)；C不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關(guān)；D是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列．故選AD.答案：AD

答案：A4．從1，2，3中任取兩個數(shù)字組成不同的兩位數(shù)有________個．

解析：12，13，21，23，31，32共6個．答案：6題型探究·課堂解透題型一排列的概念例1

判斷下列問題是不是排列問題：(1)某班共有50名學生，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)從2，3，5，7，9五個數(shù)字中任取兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共有多少個不同的對數(shù)值？(3)有12個車站，共需準備多少種車票？(4)某會場有50個座位，從中任選出3個座位，共有多少種不同的選法？解析：(1)是．選出的2人，擔任正、副班長人選，與順序有關(guān)，所以是排列問題．(2)是．對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值有關(guān)系，與順序有關(guān)．(3)是．起點站或終點站不同，則車票不同，與順序有關(guān)．(4)不是．只是選出3個座位，與順序無關(guān)．方法歸納判斷一個具體問題是不是排列問題，就是從n個不同元素中取出m個元素，判斷在安排這m個元素的時候是否有序，有序就是排列，無序就不是排列，而檢驗是否有序的依據(jù)就是交換元素的“位置”，看結(jié)果是否有變化，有變化就是有序，無變化就是無序．跟蹤訓練1

(1)在各國舉行的足球聯(lián)賽中，一般采取“主客場制”(即每兩個球隊之間分為主隊和客隊各賽一場).若共有12支球隊參賽，則需進行多少場比賽．(2)在“世界杯”足球賽中，由于有東道主國家承辦，故無法實行“主客場制”，而采用“分組循環(huán)淘汰制”．若共有32支球隊參加，分為八組，每組4支球隊進行小組循環(huán)賽，則在小組循環(huán)賽中需進行多少場比賽．(3)在乒乓球單打比賽中，由于參賽選手較多，故常采取“抽簽組對淘汰制”決出冠軍，若共有100名選手參賽，待冠軍產(chǎn)生時，共需舉行多少場比賽．在上述三個問題中，是排列問題的是________．答案：(1)解析：對于(1)，同樣是甲、乙兩隊比賽，甲作為主隊和乙作為主隊是兩場不同的比賽，故與順序有關(guān)，是排列問題；對于(2)，由于是組內(nèi)循環(huán)，故甲、乙兩隊之間只需要進行一場比賽，與順序無關(guān)，不是排列問題；對于(3)，由于兩名選手一旦比賽后就淘汰其中一位，故也與順序無關(guān)，不是排列問題．題型二簡單的排列問題例2

(1)某班上午要上語文、數(shù)學、體育和外語4門課，又體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是(

)A．24

B．22

C．20

D．12解析：分兩步排課：體育可以排第二節(jié)或第三節(jié)兩種排法；其他科目有語文、數(shù)學、外語語文、外語、數(shù)學數(shù)學、語文、外語數(shù)學、外語、語文外語、語文、數(shù)學外語、數(shù)學、語文共6種排法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知共有2×6＝12(種)排課方案．故選D.答案：D

(2)寫出下列問題的所有排列：①從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)．②由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，試全部列出．

解析：①所有兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數(shù)．②畫出樹形圖，如圖所示．由上面的樹形圖可知，所有的四位數(shù)為：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24個四位數(shù)．方法歸納利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略1．適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式．2．策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列．跟蹤訓練2

(1)若直線Ax＋By＝0的系數(shù)A，B可以從2，3，5，7中取不同的數(shù)值，可以構(gòu)成的不同直線的條數(shù)是(

)A．12條B．9條C．8條D．4條解析：(1)畫樹形圖如下：故共有12條．故選A.答案：A

(2)從0，1，2，3這四個數(shù)字中，每次取出3個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，寫出其中大于200的所有三位數(shù)．解析：大于200的三位數(shù)的首位是2或3，于是大于200的三位數(shù)有：201，203，210，213,230,231,301,302,310,312,320,321.易錯辨析混淆排列問題和分步問題例3

6個人走進只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有________種不同的坐法．解析：坐在椅子上的3個人是走進屋子的6個人中的任意3個人，若把人看成元素，將3把不同的椅子當成不同的位置，則原問題抽象為從6個元素中取3個元素占據(jù)3個不同的位置，顯然是從6個元素中任取3個元素的排列問題，從而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(種).答案：120【易錯警示】易錯原因糾錯心得本題容易錯認為不是排列問題，得到錯解：6個人坐3把不同的椅子，相當于從含6個元素的集合到含3個元素的集合的映射，故有36種不同的坐法．排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中，元素是可以重復選取的．

答案：BD

2．甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有(

)A．3種B．4種C．6種D．12種

答案：C3．從5本不同的書中選兩本送給2名同學，每人一本，則不同的送書方法的種數(shù)為(

)A．5B．10C．20D．60解析：此問題相當于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即共有5×4＝20(種)不同的送書方法.答案：C4．從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列，它們分別是______________________________________________________.12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析：畫出樹形圖如下：可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，