山東省高中名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月統(tǒng)一調(diào)研考試數(shù)學(xué)答案

絕密★啟用并使用完畢前山東高中名校2024屆高三上學(xué)期統(tǒng)一調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題2023.12注意事項(xiàng)1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合，再運(yùn)用并集運(yùn)算求解.【詳解】，則.故選：C2.已知直線和平面，滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系，結(jié)合必要條件以及充分條件的定義，可得答案.【詳解】充分性：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，由，則，故“”是“”的不充分條件；必要性：由題意可知：與無(wú)公共點(diǎn)，則或者與異面，故“”是“”的不必要條件.故選：D.3.復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，作圖，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，由題意可知：點(diǎn)在線段的中垂線上，如下圖：線段的中點(diǎn)為，直線的斜率，則的軌跡方程為，整理可得，由可表示為點(diǎn)到的距離，.故選：A.4.已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】將中向量進(jìn)行分解，即：，由是的中點(diǎn)，可將上式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理為，所以只需求最大，即的長(zhǎng)加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)橄宜鶎?duì)的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，取的中點(diǎn)，所以，，如圖所示：因?yàn)?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故選：A5.已知函數(shù)的部分圖象，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，可求.【詳解】函數(shù)，由圖象可知，，函數(shù)最小正周期為，有，則，，得，由，取，則，.故選：B6.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.是周期函數(shù)B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)D.方程在有2個(gè)相異實(shí)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性定義可判斷A；根據(jù)特殊值，即時(shí)，函數(shù)無(wú)意義判斷B；結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷C；求出方程在上的根，判斷D.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，?duì)于A，，故是周期函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由于的定義域?yàn)橐碴P(guān)于對(duì)稱(chēng)，故的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，令，即，則，或，即，或，則當(dāng)時(shí)，，即方程在有2個(gè)相異實(shí)根，D正確，故選：B7.已知，則有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出，所以；構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，可判斷，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到.詳解】令，則.當(dāng)時(shí)，有，所以，所以，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即，所以令，則在時(shí)恒大于零，故為增函數(shù)，所以，而，所以，所以，故選：C8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.10 B.15 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，得到函數(shù)的周期為，再根據(jù)條件得出時(shí)，，從而得出，再利用周期性及圖像即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，得到，所以，從而有，又函?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的周期為，令，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，得到，故，又，所以在上的圖像如圖，又當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)，由，得到，即，又，所以，，，又由，得到，即，所以，再結(jié)合圖像知，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為21個(gè)，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)B.若，則C.若，則的最小值是D.若，則【答案】BC【解析】【分析】舉出反例即可判斷AD；作差即可判斷B；根據(jù)結(jié)合基本不等式即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上的最小值為B.的圖象與軸有3個(gè)公共點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.的圖象過(guò)點(diǎn)的切線有3條【答案】ABD【解析】【分析】將原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出，即為：，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，然后即可判斷出函數(shù)在上的最值，將原函數(shù)的極大值與極小值求出，即可畫(huà)出函數(shù)圖象，判斷出函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于C選項(xiàng)，只需判斷出即能說(shuō)明的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，D選項(xiàng)需求過(guò)點(diǎn)的切線方程，注意區(qū)分過(guò)某點(diǎn)的切線方程和在某點(diǎn)的切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，A選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，所以在上的最小值為，A正確；因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，如圖所示：所以的圖象與軸有3個(gè)公共點(diǎn)，B正確；若的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則有，因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)的切點(diǎn)為，所以，所以在切點(diǎn)處的切線方程為：，當(dāng)切線過(guò)時(shí)，即：，整理得：，設(shè)，則所以時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，或，單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如圖所示：所以由圖象知有三個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)根，所以的圖象過(guò)點(diǎn)的切線有3條，D正確.故選：ABD11.如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿向上翻折到的位置，連接，在翻折的過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.四棱錐體積的最大值為C.的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.與平面所成的角相等【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面垂直性質(zhì)，錐體體積、動(dòng)點(diǎn)軌跡、線面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)平面平面時(shí)有，下面證明：在底面中，，所以，當(dāng)平面平面時(shí)，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確.對(duì)于B，梯形的面積為，，直角斜邊上的高為．當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積取得最大值，B正確．對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則平行且相等，四邊形是平行四邊形，所以點(diǎn)F的軌跡與點(diǎn)G的軌跡形狀完全相同．過(guò)G作AE的垂線，垂足為H，G的軌跡是以H為圓心，為半徑的半圓弧，從而PD的中點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由四邊形ECFG是平行四邊形，知，又平面，平面，則平面，則到平面的距離相等，故與平面所成角的正弦值之比為，D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求F的軌跡關(guān)鍵是證得點(diǎn)F與點(diǎn)G的軌跡相同，轉(zhuǎn)化為G的軌跡解決.與平面所成的角相等的證明關(guān)鍵要先證得E與C到平面的距離相等.12.設(shè)為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)到點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)，稱(chēng)為點(diǎn)的“優(yōu)點(diǎn)”.例如，線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn).則有下列命題為真命題的有：（）A.若三個(gè)點(diǎn)共線，在線段上，則是的優(yōu)點(diǎn)B.若四個(gè)點(diǎn)共線，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一C.若四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成四邊形，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一D.直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)優(yōu)點(diǎn)的定義以及空間中的點(diǎn)與線的位置關(guān)系等逐個(gè)證明或舉反例即可.【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)點(diǎn)共線，C在線段上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則C是的優(yōu)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，若四個(gè)點(diǎn)共線，則它們的優(yōu)點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個(gè)點(diǎn)，故它們的優(yōu)點(diǎn)存在但不唯一，如B，C三等分AD，設(shè)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，設(shè)在梯形中，對(duì)角線的交點(diǎn)O，M是任意一點(diǎn)，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得，∴梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一優(yōu)點(diǎn)．故C正確．對(duì)于D，舉一個(gè)反例，如邊長(zhǎng)為的直角三角形，點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn)，此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7，∴直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)；故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學(xué)校報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.若第10排有41個(gè)座位，則該報(bào)告廳座位的總數(shù)是______.【答案】840【解析】【分析】根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為．根據(jù)題意，數(shù)列是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，且，故．由，因此，則該報(bào)告廳總座位數(shù)為840個(gè)座位．故答案為：84014.已知，則______.【答案】##【解析】【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而求得，再應(yīng)用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，又，則，所以，則.故答案為：15.已知圓錐的母線長(zhǎng)為（定值），當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】表達(dá)出圓錐的體積，通過(guò)求導(dǎo)得出其單調(diào)性，即可求出當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)．【詳解】由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為，

設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則，∴，

體積：，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，V單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，V單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，V取得最大值，

此時(shí)，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．

故答案為：．16.已知內(nèi)角分別為，且滿足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】16【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、和差角正弦公式可得，進(jìn)而有，結(jié)合，將目標(biāo)式化為，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.【詳解】由題設(shè)，所以，所以，即，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換將條件化為，再應(yīng)用萬(wàn)能公式用正切表示正弦為關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求：（2）若，求面積.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可求；（2）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)等式，求出角，面積公式求面積.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理，得，所以.【小問(wèn)2詳解】若，由正弦定理，，，所以，因?yàn)?，故，所以，又，所以，故的面積為.18.已知函數(shù).（1）若在處的切線垂直于直線，求的方程；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得參數(shù)m的值，即可求得答案；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論m的取值，結(jié)合解不等式，求得導(dǎo)數(shù)大于0和小于0時(shí)的解，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得；因?yàn)樵谔幍那芯€垂直于直線，所以，即，解之得；又，所以的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?，由?）得；所以當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.19.已知數(shù)列是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，令.（1）證明：數(shù)列不等比數(shù)列；（2）若，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）要證明證不是等比數(shù)列，只需證即可，由此計(jì)算即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，列式化簡(jiǎn)求解，可求得k的值，驗(yàn)證即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公比分別為，為證不是等比數(shù)列，只需證.而，由于，且不為零，因此，故不是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則有，將代入上式，得，即，整理得，解得或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以，存在常數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.20.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為平行四邊形，，側(cè)棱底面為棱上的點(diǎn)..（1）求證：；（2）若為的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，且，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，則可得，繼而推出，即可證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在平行四邊形中，，在中，，所以，可得，所以.又，所以.又側(cè)棱底面平面，所以.又平面，所以平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以平行四邊形為菱形，則四邊形也為菱形，則四邊形為直角梯形，則，由（1）知：兩兩垂直，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)...設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，所以，令，得.因?yàn)椋?，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，所以，令，得，所以，由原圖可知平面與平面所成角為銳角，所以平面與平面所成角的余弦值為.21.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的正整數(shù)與的等差中項(xiàng)為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列分析求解；（2）根據(jù)題意分析可得，，