2022－2023學(xué)年廣西玉林市重點學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析）

2022—2023學(xué)年廣西玉林市重點學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知全集U={x∣-3<%<3},集合A={x∣∕+X-2<0},則CU4=（）

A.（-2,1]B.（-3,-2]U[1,3）C.[-2,1）D.（-3,-1）U（1,3）

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l—3則￡=（）

Z

?-~?+?ib?~?~?ic?l+lfd??~?i

3.已知在一次射擊預(yù)選賽中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，

A.甲的成績的極差小于乙的成績的極差B.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

C.甲的成績的平均數(shù)等于乙的成績的平均數(shù)D.甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中

位數(shù)

4.如圖一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱

軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口B4C是橢圓的一

部分，燈絲位于橢圓的一個焦點Fl上，片門位于另一個焦點F2上，

由橢圓一個焦點Fl發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一

個焦點尸2，已知I&F2I=8cm,=1cm,則光從焦點FI出發(fā)經(jīng)鏡面反射后到達焦點F?經(jīng)

過的路徑長為（）

A.5cmB.IOcznC.√-7cmD.2√^^7cm

i

5.*α3+a7=2a5"是"數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

6.若函數(shù)f(%)=x2-alnx-x-2023(α∈R)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，則Q的取值范圍是

()

A.(—8,1)B.(-∞,1]C.(-∞,-hD.(-∞,-?

OO

7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

正視圖倒視圖

4

俯視圖

A.168+6τrB.132+6πC.168+24πD,132+24ττ

8.將函數(shù)/(X)=S譏2比的圖象向左平移;個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則下列關(guān)

于g(x)說法正確的是()

A.奇函數(shù)B.在(0,$上單調(diào)遞增

C.圖象關(guān)于點(萼,0)對稱D.圖象關(guān)于直線％=5對稱

9.在正方體ABCD-&B1C1D1中，下列說法不正確的是()

A.直線4G與直線BIC垂直

B.直線SC1與平面&BD垂直

C.三棱錐4-GBD的體積是正方體ABCD-4ιBιGDι的體積的三分之一

D.直線ABl與直線BG垂直

10.已知α6(θ(),且tan(α+J)=3cos2α,則sin2α=()

L4

A.—?B.?C.?D.

?O??

11.已知Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線C：提一，=1(。>0/>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上

一點，若乙F$F2=60。，S4&PF2=CQC,則雙曲線的離心率為()

A.B.^∑λC.y∏1D.2

22

12.若曲線/(x)=W有三條過點(O,α)的切線，則實數(shù)α的取值范圍為()

A.(O?)B.(O?)C.(θ,?)D.(09

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

%+y≥2

13.若X,y滿足約束條件x+2y≤4,則Z=2x-y的最小值是.

,y≥0

14.若向量R=(∣,l),B=(3,k),且五，石共線，則0-W?(2Z+1)=.

15.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍他本》記載“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今己有四

千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位

棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙在

同一個小組的概率為.

16.已知三棱錐P-HBC中，PB1平面ABC,AB=BC=PB=2√^,AC=6,則三棱錐P-

力BC外接球的體積為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

卡塔爾世界杯期間，為了解某地觀眾對世界杯的收視情況，隨機抽取了200名觀眾進行調(diào)查，

將卡塔爾世界杯期間累計收看比賽超過20場的觀眾稱為“體育迷”，不超過20場的觀眾稱為

“非體育迷”，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的列聯(lián)表:

非體育迷體育迷合計

男4060100

女6040100

合計100100200

(1)根據(jù)己知條件，你是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

(2)在“體育迷”當(dāng)中，按照男、女比例抽取5人，再從5人當(dāng)中隨機抽取3人進行訪談，求至

少抽到2名男性的概率.

n(ad-bc)2

附：K2=

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(K2≥Ii)0.050.01

k3.8416.635

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛<?｝的前幾項和為S7t,?1=3,αn+1=2Sn+3；數(shù)列｛brl｝中，瓦=1,bn-bn+1+1=0.

(1)求數(shù)列｛即｝、｛%｝的通項公式即和兒；

(2)設(shè)Cn=anbn,求數(shù)列｛c7l｝的前頻項和7∏.

19.(本小題12。分)

如圖，在四棱錐P-ABMN中，△PMN是邊長為1的正三角形,平面PMN1平面ZMN,4N〃BM,

AN1NP,AN=2BM=2,C為24的中點.

(1)求證：BC〃平面PMN；

(2)求M到平面PAB的距離

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+b,且曲線y=/(x)在點(IJ(I))處的切線方程為y=x+1.

(1)求α,b的值，并求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(x)>X-

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸的正半軸上，直線Lmx+y-∣=0經(jīng)過拋物線

C的焦點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線1與拋物線C相交于A、B兩點,過4B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交

于點2.求44BP面積的最小值.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線Cl的參數(shù)方程為C二:花°s0@為參數(shù))，直線的C2普通方程

為x+y=3,以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求Cl與C2的極坐標(biāo)方程；

(2)在極坐標(biāo)系中，射線。=α(0<α<6與CiC分別交于點4B(異于極點)，若［0川?|0Bl=

31求α的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=IX-Il-12x+4|.

(1)求f(x)的值域;

(2)若/(x)的最大值為m,正實數(shù)X,y,Z滿足x+y+z=m,求證：^+~+~≥3?

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A=[x?x2+x-2<0}=[x?-2<x<l],則CUa=(—3,-2]U[1,3).

故選:B.

計算力={x∣-2<X<1},再計算補集得到答案.

本題考查補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：z=1—i9則z=1+3

L=i=(I)=IIIj

z1+i(l+i)(l-i)22*

故選：C.

先求得W=1+3再利用復(fù)數(shù)除法即可求得士的代數(shù)形式.

Z

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：對于4由題意可得甲的成績的極差為10-5=5,乙的成績的極差為10-6=4,

二甲的成績的極差大于乙的成績的極差，故4不正確.

對于B,由條形統(tǒng)計圖得甲的成績相對分散，乙的成績相對穩(wěn)定，

???甲的成績的方差大于乙的成績的方差，故B不正確；

對于C,由題意可得甲的成績的平均數(shù)為。=?(5+6×2+7×2+8×2+9×2+10)=7.5,

乙的成績的平均數(shù)為??=?(6+7×3+8×2+9×3+10×l)=8,

甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)，故C不正確；

對于D,由題意可得甲的成績的中位數(shù)為竽=7.5,

乙的成績的中位數(shù)為8,

???甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中位數(shù)，故。正確.

故選：D.

利用條形圖的性質(zhì)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查條形統(tǒng)計圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意，2c=8,則c=4,且a—c=l,則a=5.

再由橢圓定義可得光從焦點Fl出發(fā)經(jīng)鏡面反射后到達焦點尸2經(jīng)過的路徑長為2a=10cm.

故選:B.

由已知求得c,再由a—c=l求得a,然后利用橢圓定義求解.

本題考查橢圓定義域幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)aτt=(-D"?n,則?=—3,a5=—5,a7=—7,所以<?+a?=—10=2<?,但

數(shù)列｛%l｝不是等差數(shù)列；

若數(shù)列｛即｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3+a7=2a5成立.

M

所以，“。3+?7=2O5是“數(shù)列｛art｝為等差數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：C.

舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出答案.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：f(x)=2x-≤-l,因為/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/'(X)>0在［1,+8)上恒成立，即2/—%≥a在［1,+8)上恒成立，

因為二次函數(shù)y=2x2-X的圖象的對稱軸為X=p且開口向上，

所以y=2/-X的最小值為1,所以a≤l.

故選：B.

先求導(dǎo)數(shù)，利用/'(x)≥0在口,+8)上恒成立，分離參數(shù)進行求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖：該幾何體為長方體挖去一個圓錐;

如圖所示：

故S/；=6×6+2×6×4+2×6×4+6×6-9π+15π=168+6π.

故選：A.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的表面積.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積，主要考查學(xué)生的

運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：將函數(shù)〃x)=sin2x的圖象向左平移濘單位長度后得

函數(shù)y=g(x)=sin2(x+》=sin(2x+今=cos2x,

對于4：g(-久)=cos(-2x)=cos2x=g(x),g(x)為偶函數(shù)，A錯誤；

對于B：當(dāng)x∈(0,3)時，2x∈(0,S,

???y=COSX在(0,今上單調(diào)遞減，??.y=g(x)在(0,今上單調(diào)遞減，8錯誤；

對于C:5(?)=COS(2×?)=-^≠0,圖象不關(guān)于點(?,0)對稱，C錯誤;

對于5φ=cos(2×≡)=-l,圖象關(guān)于直線X=制?稱，。正確.

故選：D.

先通過平移求出g(χ),然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題主要考查了余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：AB選項，因為在正方體中，AA1LB1D1,

A1C11B1D1,

且44InAICI=4,AA1,4ClU平面4CCι4ι,

所以當(dāng)2II平面4CC1&,又4Gu平面4CC14,

所以BlDlIAC1，

同理可得BICI4G，A1BIAC1,A1DIAC1,

MA1BCiA1D=A1,A1B,AlDU平面4聞，

所以4G1平面&BD,所以4B正確；

D選項，由正方體中的基本關(guān)系得到BC"∕4%,而三角形4Bι4是等邊三角形,

故AB】與ADl所成角為60。，故直線ABl與直線BCl所成角為60。，所以。錯誤；

C選項，設(shè)棱長為1,則四棱錐&-ClBC的體積等于正方體體積減去4個三棱錐的體積,

即匕I-CIBD=13-4×∣×∣×1=∣,

所以三棱錐Al-GBD的體積是正方體ABCO-&B1C1A的體積的三分之一，C正確.

故選：D.

48選項，根據(jù)線線垂直得到線面垂直，進而得到AB正確；C選項，設(shè)出棱長，利用正方體體積

減去四個三棱錐體積求出三棱錐兒-GBD的體積；D選項，求出異面直線的夾角為60。，。錯誤.

本題考查線線垂直的證明，線面垂直的證明，三棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

10.【答案】D

【解析】解:設(shè)α+：=/?,0∈第為,則α=6—也tan(α+》=3cos2α,

HPtαn∕?=3cos(2β-^)=3sin2β,=6sinβcosβ,sinβ≠0,

故CoS2°=?,sin2a=Sin(2.—?)=-cos2β=1—2cos2β=|.

故選：D.

設(shè)α+*=0,化簡得到cos?”/sin2α=l-2cos20,代入計算得到答案.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

IL【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及三角形的面積公式和余弦定理，屬于中檔題.

設(shè)PFι=πι,PF2=n,根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理解方程得出α與C的關(guān)系，從而得出雙曲

線的離心率.

【解答】

nm

解：設(shè)PF】=m,PF2=n,則SAPFlF?=g,sin60°=V_5αc,

:?mn=4αc,

由余弦定理可得：|&尸2『=4C2=m2+n2—mn=(m—n)2+mn,

由雙曲線的定義可知m-n=2α,

2222

??.4C=4α+4acfBPc—a=ac,

.?.β2—e—1=0,

解得e=竽或e=手(舍).

故選:A.

12.【答案】B

【解析】解：設(shè)該切線的切點為(XO則切線的斜率為k=/'Qo)=寵，

所以切線方程為y-券=M(X-%。)，

又切線過點(0,α),則α-券=IeX(。-Qo),整理得α=爵.

2

要使過點(0,α)的切線有3條，需方程α=學(xué)有3個不同的解，

e0

即函數(shù)y=算圖象與直線y=α在R上有3個交點，

Ξ

設(shè)g(χ)=?)則g'。)=?2

令"(x)>0=0<%v2,令g'(%)<0=>%<0或%>2,

所以函數(shù)9(%)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(-8,0)和(2,+8)上單調(diào)遞減，

且極小值、極大值分別為g(0)=0,g(2)=J如圖，

由圖可知，當(dāng)0<α<2時，函數(shù)y=需圖象與直線y=α在R上有3個交點，

即過點(O,α)的切線有3條.

所以實數(shù)ɑ的取值范圍為O<α<5

故選：B.

2

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點的切線方程為=冬，利用方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)

(0,α)ae0

2

的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=樂圖象與直線y=α在R上有3個交點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的極值,

根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.

本題考查曲線的切線問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

13.【答案】-2

【解析】解：作出可行域如上圖，

根據(jù)幾何意義可知，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)Z=2%-y的圖象經(jīng)過點(0,2)時,

z=2x-y有最小值為ZmE=-2,

故答案為：-2.

作出可行域，即可求目標(biāo)函數(shù)的最小值.

本題主要考查簡單線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-13

【解析】解：因為五，B共線，所以∣k=3,解得：k=2,

所以五一b=(―|,—I),2a+b=(6,4),

所以位-B)?(2ν+石)=-∣×6+(-l)×4=-13,

故答案為：-13.

根據(jù)向量共線的充要條件得出k=2,然后利用向量的坐標(biāo)運算即可求解.

本題主要考查向量的數(shù)量積運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：設(shè)甲乙等5人的代號分別為A,B,C,D,E；

總的分組方法有：(4B,CDE),(AC,BDE),(AD,BCE),(AE,BCD),(BC,ADE),(SD,ACE),(BE,ACD),

{CD,ABE},(CE,ABD),(DE,ABC)共10種；

甲乙在同一小組的有：(AB1CDE),(CD1ABE),(CE1ABD),(DE,4BC)共4種；

所以甲和乙在同一個小組的概率為A=|.

故答案為：ξ?

先求出5位選手分成兩組的分法，再求甲和乙在同一個小組的分法，根據(jù)古典概率可得答案.

本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】20√15π

【解析】解：因為4B=BC=PB=2/3，AC=6,所以在△4BC中，

根據(jù)余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos?ABC,即36=

(20+(20-2×(2θCOSNABC，

所以COSN4BC=-；，所以NABC=I20。，所以底面△4BC是頂角為120。的

等腰三角形，

由題意將三棱錐P-ABC補成如圖所示的直三棱柱TPS-力BC,

則該直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面

外接圓圓心連線的中點上，

設(shè)44BC外接圓的半徑為r,三棱錐P-4BC外接球的半徑為R,

由正弦定理得，2r=晶普麗=營=4門，所以r=2C,/?2=r2+φ2=12+3=15,

所以三棱錐P-ABC外接球的體積為U=^πR3=20√l57Γ.

故答案為：20√^l5π,

根據(jù)已知條件利用余弦定理得到ZABC=120°,由題意將三棱錐P-ABC補成如圖所示的直三棱

柱TPS-ABC,得到直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點上，由正弦定

理得到外接球的半徑，即可求解.

本題考查線面垂直以及三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象、數(shù)學(xué)運算

的核心素養(yǎng).

2

17.【答案】解：(1)因為K?=200x(40x40-60x60)=

100×100×100×100

所以有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；

(2)由于“體育迷”中，男女比例為3：2,故抽取的5人中有3位男性用α,b,C表示，2位女性用。,

E表示，

從這5人中隨機抽取3人，可能的情況共有以下10種：

(a,b,c),(ɑ,blD),(ɑ,b,E~),(a,c,D),(a,c,E),(a,D,E'),(b,c,D),(b,c,E),(b,D,E｝,(c,D,E),

其中至少抽到2位男性的情況有以下7種：

(a,b,c),(a,b,D),(a,b,E),(α,c,O),(a,c,F),(b,c,D),(b,c,E~),

所以所求概率為《.

【解析】(1)計算K?的值，根據(jù)K?與3.841的大小判斷；

(2)由分層抽樣知抽取男性3人，女性2人，由古典概型求至少抽到2名男性的概率.

本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)???αn+ι=2Sn+3,：.an=2Sn.1+3(n≥2),

兩式相減得a+ι-a=2a,得等1=3(n≥2).

nnnuH

又%=3>?-CL2=2S1+3=9,二μ=3,(3分)

可得數(shù)列｛arι｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則ajl=3'

-bn-bn+1+1=0,.?.bn+1-bn=1,即數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，

又bi=1,hn=1+1-(n—1)=n.

n

(2)-：cn=anbn,.?.cn=n-3,

?=1×3+2×32+3×33+■??+n?3n,

37；=32+2×33+???+(n-1)?3n+n?3n+1,

123nn+1n+1

兩式相減可得：-2Tn=3+3+3+???+3-n?3=?ɑ?p-n-3.

???7n=E2?3n+ι+[.

【解析】(1)由arι與Sn的關(guān)系及條件可求出數(shù)列｛afl｝的通項公式，由等差數(shù)列的定義可求得數(shù)列｛b｝

的通項公式；

(2)由錯位相減法可求得.

本題考查了求等差等比數(shù)列的通項公式和錯位相減法求數(shù)列的前n項和，還考查了計算能力，屬中

檔題.

19.【答案】解：（1）證明：取PN的中點E,連接CE和ME,

VC為PA的中點，.?.CE〃4N且CE=^AN,

■■■AN〃BM且BM=\AN,：.BM〃CE且BM=CE,

二四邊形BMEC為平行四邊形，???BMHEM,

?.?EMu平面PMN,BCΦ^PMN,：.BC∕∕^PMN,

(2)連接AM,取MN中點O,連接P。，

則等邊APMN中，PO工MN,EM1PN,

???平面PMN_L平面ZMN,MN=平面PMNC平面4MN,

.?.PO_L平面AMN,??.POLAN,

■：ANLNP,OPnNP=P,.?.力N_L平面PMN,ANIMN,BM1MN,

Vp-ABM=拉ABM?PO=??MN?PO=：XJXIXlX?=襲,

??,直角梯形ABMN中48=y∕~2,連接0B,則PO1OB,OB=√OM2+BM2=?,

.?.PB=√PO2+OB2=√-2,

.?.PB=AB,BC1AP,AP=√AN2+NP2=√^^5>

.?.BC=√AB2-AC2=J(√^2)2-(?)2=?，

???SAABP=*PXBC=2XCX?=竽,

設(shè)M到平面P4B的距離為)h,

則/-4BM=vM-ABP=5×SbABPXh=WXXh=尋，

【解析】（1）由已知可證四邊形BMEC為平行四邊形，進而可證結(jié)論；

（2）連接AM,取MN中點。，連接P0,利用等體積法可求M到平面P48的距離.

本題考查線面平行的證明，考查點到面的距離的求法，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)/(1)=lnl-a+b=-a+b,

/'(x)=Inx+X??-2ax=Inx+1—2ax,

又因為f(x)在(IJ(I))處的切線方程為y=x+l.

(k切=/(1)=1

所以《/(1)=-a+b

即匕

1/(1)=222,

解得Q=0,b=2,

所以f(x)=X仇％+2,

∕,(x)=Inx+%??=Inx+1,

令f'(%)=0，得X=；,

所以在(0,；)上，［(X)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在&,+8)上，∕,(χ)>0,/(X)單調(diào)遞增，

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(O

(2)證明：由(1)知/(x)=XmX+2,X>0,

?9

要證/(%)>X—即證%仇％÷2>%-

需證明/Ln%÷2X-X2÷2>0,

令g(%)=x2l^x÷2x—%2+2,X>0,

g'(x)=2xlnx+x2??+2-2x=2xlnx+2—

令∕ι(%)=2xlnx+2—%,%>0,

∕ι,(x)=2Inx+2Xq-I=2lnx+1,

令h'(%)=O得％=e-ι,

所以在(OeG)上，九'(%)V0，九(X)單調(diào)遞減,

在(eW+8)上，∕ι(x)單調(diào)遞增，

所以h(%)min=h(e2)=2×e~2lne"2+2—e~2=2-2e~2>0,

所以g'(%)>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％τO時，g(x)→2,

所以g(x)>0,

所以f(x)>%—：,

華切=f'(i)=1

【解析】解(1)根據(jù)題意可得(/(1)=一α+b，解得α,b,進而可得f(x)的解析式，求導(dǎo)分析/(x)

1/(1)=2

的單調(diào)性.

(2)由(I)知/(X)=xlnx+2,X>0,要證/(x)>x-?即證x/nx+2>x-?需證明/伍刀+2x-

2

X+2>0,令g(x)=/Inx+2X-X2+2,χ>0,只需證明g(x)7nin>。，即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)拋物線C的方程為/=2py,

???直線I：mx+y-l=O經(jīng)過拋物線C的焦點(0,產(chǎn)),

?y-I=0,得P=3,

???拋物線C的方程為％2=6y.

X2=6y

(2)設(shè)AOLyI)以％2，、2)，3Wx2+6mx-9=0,

mx÷1y--=nO

2

則^=36m+36>O,x1+x2=-6m,x1x2=-9,

??AB?=√1÷m2?√36m2+36=6(1+m2),

由/=6y,得y=卜2,則了=梟，

拋物線經(jīng)過4點的切線方程是y—y1=???(?—χ1)=iχ1χ—?，

同理拋物線經(jīng)過B點的切線方程是y_%=jx2(x一x2)=∣x2x-爭

y=∣Xι%-?(X空(x=-3m

3