2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第一章 第五講　一元二次不等式及其解法 學(xué)案

第五講一元二次不等式及其解法

■雙基自測

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式a^+bx

+c>O(α>O)或ax2+bx+c<O(a>O).

(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式.

(3)當(dāng)/20時(shí),求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

(4)利用二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

知識(shí)點(diǎn)二三個(gè)二次之間的關(guān)系

判別式

J>0/=OJ<0

?=b1~^ac

二次函數(shù)?-??

y=ax2+bx+c

(?！?)的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根

有兩相異實(shí)

2

ax+bx+c=Ob沒有實(shí)數(shù)根

根XI,Xl(x?<X2)"F=一五

(α>0)的根

OX2+bx+c>0

3x>X2或X<X1}(x∣χWR且x≠xι}R

m>o)的解集

ax1+bx+c<O

Xv}0_0_

(α>0)的解集

歸納拓展

1.0√+foc+c>θ(α≠θ)恒成立的充要條件是：?！?且/-44c<0(x∈R).

2.0x2+bx+c'<O(αz≠zO)恒成立的充要條件是：α<0且/-4αc<0(XeR.).

注意：在題目中沒有指明不等式為二次不等式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù),

應(yīng)先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為O的情況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)此時(shí)是否符合條件.

3.二次不等式解集的“邊界值”是相應(yīng)二次方程的根.

4.簡單分式不等式的解法

（喘>0(<0)錢∕U)g(x)>O(<O);

T(X)?g(x)20(W0),

20(WoQ

啕.g(x)W0.

5.簡單的指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法

zω

(1)若α>1,o>αg(χ)uIy(X)>g(χ).

若0<<2<1,∕x)>αg(x)<z≠y(x)<g(x).

(2)若α>l,log/U)>1Og“g(x)Uy(X)>g(x)>O;

若O<π<l,log√(x)>log"g(x)<=>Of/(X)<g(x).

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)不等式(x+1)(2—x)<0的解集為(一1,2).(×)

(2)若不等式加+bx+c>O的解集為(xι,Xi),則α<0.(√)

(3)若方程以2+bx+c=0(α≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集

為R.(X)

(4)關(guān)于X的不等式0x2÷?Λ÷c≤0(α≠0)？ER上恒成立的條件是α<0且J=

Z?2—40c≤0.(√)

X—?

(5y^e0臺(tái)(x—l)(x—2)20.(×)

題組二走進(jìn)教材

2.佬修1P53T1改編)不等式(X-1)2<Λ+5的解集是(B)

A.{x∣l<x<4}B.{Λ∣-l<x<4}

C.{x∣-4<x<l}D.{Λ∣-l<x<3}

［解析］原不等式可化為x2—3尢一4<0,即(X+l)(χ-4)<0,故其解集為{x|一

l<x<4}.

3.(必修1P55T3改編)已知集合4={尤=一χ-6>0},則CRA等于(B)

A.{x∣—2<r<3}

B.{A∣-2≤X≤3}

C.{x?x<-2}U{χ∣χ>3}

D.{Λ∣X≤-2}U{x∣x≥3}

［角翠析］Vχ2-χ-6>0,Λ(X+2)(Λ-3)>0,

二%>3或x<-2,即A={x∣x>3或x<—2}.

在數(shù)軸上表示出集合A,如圖所示.

由圖可得［RA={X∣-2WxW3}?故選B.

4.（必修IP55T2改編）若關(guān)于X的不等式OX2+bx+2>O的解集為

貝IJa+h=—14.

a——12,

［解析］解得，C.?.α+?=-14.

Ib=—2,

題組三走向高考

5.（2019?天津高考）設(shè)x∈R,使不等式3x2+χ-2<0成立的X的取值范圍是

UD-

［解析］3f+x—2<0=>（x+l）（3χ-2）<0,

=>（x÷l）^χ-^<0=>—l<r<∣,

.?.龍的取值范圍是（T,|）.

X—1

6.（2022?上海卷）不等式丁<0的解集為（（U）.

JC—1

［解析］—<0<=>%(χ-l)<OΦ≡>O<x<l,所以原不等式的解集為(0,1).

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一一元二次不等式的解法——多維探究

角度1不含參數(shù)的不等式

例1⑴集合A={x∣x>2},β={x∣√-2χ-3>0},則AaB=(A)

A.(3,+∞)

B.(—8,-1)U(3,+∞)

C.(2,+∞)

D.(2,3)

2r+5

⑵(2021.上海卷)不等式口?<1的解集為(-7,2).

(3)不等式0<X2-%—2W4的解集為IXL2≤x<-1,或2<x≤3).

［解析］(I)B={Λ∣Λ2-2X-3>0}=(-∞,-1)U(3,+∞),A={x?x>2］,故

ArIB=(3,÷∞).

2x+52尤+5尤+7

⑵=<1,即=f<°,即三<0,解得一74<2,因此不等式的解集

為(-7,2).

x1-χ-2>0,x1-χ-2>0,

(3)原不等式等價(jià)于即<

.x2-χ-2≤4,.Λ2-χ-6≤0,

即I(L2)(x+l)>0,

.(χ-3)(%÷2)≤0,

x>2?x<-1,

解得

—2≤x≤3.

借助于數(shù)軸，如圖所示，

所以原不等式的解集為{x∣—2Wx<-l,或2<xW3}?

名帥點(diǎn)帔MINGSHIDIANBO

解一元二次不等式的一般步驟

(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.

(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根.

(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.

角度2含參數(shù)的不等式

例2解下列關(guān)于X的不等式：

(l)<u2-(α+l)x+l<0(α<0)；

(2)Λ2-20r+2≤0(α∈R).

［分析］⑴根據(jù)α<0,注意兩根(與1的大??；

(2)由于系數(shù)中含有字母，故需考慮對(duì)應(yīng)的方程有無實(shí)根，以及有根時(shí)根的

大小關(guān)系.

［解析］(1)因?yàn)棣?lt;0,則原不等式等價(jià)于G-O(X-I)>0,解得x<!或x>

1.所以解集為(一8,OU(1,+∞).

(2)對(duì)于方程20r+2=0,因?yàn)?=44—8,所以當(dāng)/VO,即一小Va<yβ

時(shí)，?2—20x+2=0無實(shí)根.又二次函數(shù)y=%2—20x+2的圖象開口向上，所以

原不等式的解集為。；

當(dāng)/=0,即α=/時(shí)，f-2αx+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，

當(dāng)α=/時(shí)，原不等式的解集為｛x∣X=5｝,

當(dāng)”=一正時(shí)，原不等式的解集為｛x∣x=—正｝；

當(dāng)/>0,即或aV—6時(shí)，x2—20x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，分

別為xι=α-、片―2,X2=a+y］a1-2,且XlVX2,所以原不等式的解集為｛x∣α-

7a2—2WXWa+7a212｝.

綜上，當(dāng)a>也或“V—加時(shí)，解集為｛x∣α-2≤x≤α+?α2-2｝；當(dāng)α

=、/，時(shí)，解集為｛x∣x=?R｝;當(dāng)a=一近時(shí)，解集為｛x∣X=一6｝；當(dāng)一?RvaV√E

時(shí)，解集為0.

［引申1］把本例⑴中a<O改為a>O呢?

［解析］因?yàn)閍>O,原不等式等價(jià)于(T)(Ll)V0.

①當(dāng)a=l時(shí)，5=1,口一0(%一1)<0無解；

②當(dāng)a>l時(shí)，=Vl,解Q-U(X—1)VO得:VXV1；

③當(dāng)OVaVl時(shí)，解(X—：)(x—1)Vo得IVXVL

a?(ΛJa

所以當(dāng)O<a<l時(shí)，解集為HK｝

當(dāng)a=l時(shí)，解集為0；

當(dāng)α>l時(shí)，解集為U!<x<l}.

［引申2］若再改為α∈R呢？再增加α=0情況.

［解析］若α=O,原不等式等價(jià)于一無+1VO,解得%>1.

綜上所述：當(dāng)α<0時(shí)，解集為UXV(或x>l-；當(dāng)α=0時(shí)，解集為{x∣x>

1);當(dāng)0Vα<l時(shí)，解集為jIVXV十■;當(dāng)a=?時(shí)，解集為。；當(dāng)a>?時(shí)，

解集為‘?χ!<χ<ι}?

名獐A撥MINGSHIDIANBO

含參數(shù)的不等式的求解往往需要分類討論

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，若判別式/20,可先考慮分解因式，再對(duì)根的大

小分類討論(分點(diǎn)由Xl=X2確定)；若不易分解因式，可考慮求根公式，以便寫出

解集，若/<0,則結(jié)合二次函數(shù)圖象寫出解集，若判別式符號(hào)不能確定，則需對(duì)

判別式分類討論(分點(diǎn)由/=O確定).

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后討論二次

項(xiàng)系數(shù)大于零、小于零，以便確定解集形式.

(3)解簡單分式不等式是通過移項(xiàng)、通分化為整式不等式求解，要注意分母

不能為零.

(4)解簡單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，若底含有參數(shù)，則需對(duì)其是否大于1分

類求解，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正.

〔變式訓(xùn)練1〕

(1)(角度1)(多選題)設(shè)園表示不小于實(shí)數(shù)X的最小整數(shù)，則滿足關(guān)于X的不

等式田2+團(tuán)一12W0的解可以為(BC)

A.√10B.3

C.-4.5D.-5

⑵(角度2)解不等式r2—(α+i)χ+α<0(α∈R).

［解析］(1)因?yàn)椴坏仁剑刍?+㈤一12≤0,所以(印-3)(［x］+4)W0,即一

4≤［A-］≤3,又因?yàn)樘锉硎静恍∮趯?shí)數(shù)X的最小整數(shù)，所以不等式印2+［χ］-12W0

的解可以為3,-4.5,故選BC.

(2)由X2—(α+l)x+α=O,得(X—d)(x—1)=0,

?.X∣~Cl,X2=l,

①當(dāng)α>l時(shí)，――(α+l)x+α<O的解集為{x∣l<r<α},

②當(dāng)a=l時(shí)，χ2-(α+i)χ+”<o的解集為0,

③當(dāng)“<l時(shí)，x2—(α+l)x+α<O的解集為{x∣α4<l}.

考點(diǎn)二三個(gè)二次間的關(guān)系—師生共研

例3(l)(2022?黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)已知不等式ax2-bx-l>0的解集是

X-2<A；<—3［,則不等式f—bx—420的解集是(B)

A.{x∣2<r<3}

B.{x∣xW2或x23}

CL∣∣<X<5

D.jxXWW或x2,

⑵若不等式f+以-2>0在區(qū)間［1,5］上有解，則a的取值范圍是(A)

A?LΓ,+∞JB.LYT

,(23］

C.(1,+∞)D.1—8,——

［分析］(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

(2)令兀X)=X2+"-2,/=〃+8>0恒成立，又兩根之積為負(fù)值，所以只要

Hl)20或用)<0且膽)〉0,于是得解；思路二：“正難則反"，求/+αr-2W0

在區(qū)間口,5］上恒成立的。的取值集合，只需.A5)W(),再求其補(bǔ)集即可；思路三：

分離參數(shù).

［解析］(1)；不等式Or2—法―］〉。的解集是

.".ax2-bχ-?=0的解是光1=一；和%2=—1,且?<0,

Q=-6,

解得<

h=5.

則不等式x2,-hχ-a^O即為x2—5x+6N0,解得x≤2或故選B.

(2)令"v)=x2+or-2,則/=∕+8>O,

???方程Kr)=0,有兩個(gè)不等實(shí)根，又兩根之積為負(fù)，

方程有一正根和一負(fù)根.

fχi)<O,

解法一：不等式f+初-2>0在區(qū)間［1,5］上有解，只要7U)20或Lc八

65)>0,

解得或一W<4<l.

.人的取值范圍是(一卷，+∞),故選A.

解法二：不等式x2+αT—2WO在［1,5］上恒成立，只要/(5)W0,即25+5〃一2≤0,

解得aW—個(gè)，.??不等式x2+αr-2>0在區(qū)間［1,5］上有解的a的取值范圍是

(等+°°}

2

解法三：X1+ax-2>0在區(qū)間［1,5］上有解<=>α>:-X在［1,5］上有解O

?

αM*)min(記√(x)=(-X,x∈［l,5］),顯然y(x)為減函數(shù)，.?J(x)min=y(5)=—個(gè)，

.、

..α>一2亍3

［引申］若不等式幺+以一2<0在區(qū)間「1,51上有解，則α的取值范圍是(一8,

n_.

2

［解析］由解法三知，不等式2在區(qū)間［］上有解，a<--χ,%∈

x+0r-2<01,5?

2

［］有解，顯然：在［］上遞減，.a<l.

1,5g(x)=?—X1,5gmaX(X)=g(l)=l,?

名帥A拔MINGSHIDIANBO

已知不等式的解集，等于知道了與之對(duì)應(yīng)方程的根，此時(shí)利用韋達(dá)定理或判

別式即可求出參數(shù)的值或范圍，為簡化討論注意數(shù)形結(jié)合，如本例(2)中對(duì)應(yīng)的

二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(O,-2).

〔變式訓(xùn)練2〕

(1)若關(guān)于X的不等式0r2-6x÷α2<O的解集為｛x∣Ia<根｝,則實(shí)數(shù)a的值為

2,實(shí)數(shù)〃2的值為

(2)(2023?九江模擬)若關(guān)于%的不等式%2—4χ-2—α>O在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，

則實(shí)數(shù)α的取值范圍是(A)

A.(一8,-2)B.(-2,+∞)

C.(-'6>+o°)D.(—8,—6)

［解析］(1)由題意可知不等式Or2-6尢+屋<0可化為。(九一l)(χ-"z)<0的形式

心1,

6

且α>0,所以<1+〃2=￡,解得m=2,a=2.

JX機(jī)=Q,

(2)解法一：由函數(shù)/(x)=x2-4x—2—α圖象的對(duì)稱軸為x=2..,.不等式x2-

4χ-2-α>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解QA4)>0,即2,故選A.

解法二：(分離參數(shù)法)不等式％2—4x—2—α>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2

—4χ-2)maχ)令g(x)=χ2-4x—2,XG(1,4),.?.g(x)<g(4)=-2,.?.a<-2.故選A.

考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題——師生共研

例4已知/(x)=m2-見一L

(1)若對(duì)于x∈R,∕U)<0恒成立，求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍；

(2)若對(duì)于x∈［1,3］,ι∕U)<-m+5恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)若對(duì)于制<1,.*x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

［分析］(1)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母根，應(yīng)分機(jī)=O和"2≠0討論求解；(2)數(shù)形

結(jié)合，分類討論；(3)把二次不等式轉(zhuǎn)化為含m的一次不等式，根據(jù)一次函數(shù)的

性質(zhì)求解.

［解析］(1)要使Wu2—"比一1<0恒成立，

若/”=0,顯然一1<0；

［∕7Z<0,

若m≠0,貝I］,.=>—4<m<0.

lJ=m^+l4∕n<0

所以〃2的取值范圍為(-4,0］.

(2)要使?x)<一〃?+5在[1,3]上恒成立,

只需〃/一∕nx+機(jī)<6恒成立(XG[1,3]),

又因?yàn)閤2~x+1=(1—})÷∣>θ,

所以.

n3

--

4

因?yàn)?7

所以y=3?γ在口，3］上是減函數(shù).

因此函數(shù)的最小值Nmin=當(dāng)

所以〃2的取值范圍是（-8,目.

(3)將不等式凡r)<0整理成關(guān)于m的不等式為(X2—X)HJ-I<0.

令g(m)=(x2—x)m—1,m∈[-1,1].

霹：即-χ2-?-χ-1<0,

則

,x2-χ-1<0,

M/m]―小1+小

解傳一2~<x<-2~

即X的取值范圍為

名幃點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

一元二次不等式恒成立問題

1.在R上恒成立

⑴一元二次不等式OX2+∕7χ+c>O（或X））對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是

a>0,

ZI=〃-4αc<0(或W0).

（2）一元二次不等式QX2+"x+cvO（或Wo）對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是

a<Q,

.?=b1-4αc<0(或≤O).

2.在給定某區(qū)間上恒成立

⑴當(dāng)％C[m,yζr)=0χ2+?r+c20恒成立,結(jié)合圖象，只需y(χ)min20即

可.

(2)當(dāng)X∈pn,"X)=<2X2+?X+CW0恒成立,只需式X)maxWO即可.

3.解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù).一般地，知道誰的

范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

4.“不等式“r)20有解(或解集不空)的參數(shù)機(jī)的取值集合"是''√(x)<()恒

成立的參數(shù)機(jī)取值集合”的補(bǔ)集；"yu)>o的解集為。”即“人打Wo恒成立.”

a=b=Q,a>0,

注意：0r2÷bx+c>0恒成立臺(tái)，或

,c>0J=Z?2-4Ac<0;

a=b=O,

Or2+∕+c<0恒成立

λrc<0

?<0,

或

/=〃-4αc<0.

〔變式訓(xùn)I練3〕

(1)若不等式(α-3)x2+2(α-3)χ-4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a取值的

集合為(D)

A.(一8,3)B.(-1,3)

C.[-1,3]D.(-1,3]

(2)(2023.山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于X的不等式f-4Xem對(duì)任意的X

∈(0,l]恒成立，則有(A)

A.mW—3B.機(jī)2—3

C.—3≤m<0D.InN—4

(3)已知對(duì)于任意的。?［―1』］,函數(shù)y(χ)=χ2+(α-4)x+4—20的值總大于0,

則X的取值范圍是(B)

A.{x∣l<x<3}B.{x∣x<l或x>3}

C.{Λ∣1<X<2}D.{x∣x<l或x>2}

［解析］(1)當(dāng)α=3時(shí)，-4<0恒成立；

。<3,

當(dāng)tz≠3時(shí)，”

J=4(^-3)2+16(β-3)<0,

解得一l<α<3.所以一l<αW3.故選D.

(2)令/U)=尤2—以，九∈(0,l],?.√U)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,.?√(x)在(0,1]

上單調(diào)遞減，.?.當(dāng)x=l時(shí)，兀r)取得最小值一3,.?."zW-3,故選A.

(3)記g(a)=(x-2)α+f—4x+4,a∈[-1,1],

g⑴>0，X2—3x+2>0,

依題意，只需.g(T)>0=l√-5x+6>0或0，故選B?

?素養(yǎng)提升

一元二次方程根的分布情況

設(shè)方程tu2+匕x+c=0(α≠0,/>0)有不相等的兩根為尤1,X2,且xι<Λ2,相應(yīng)

的二次函數(shù)為/U)=0x2+?x+c,方程的根即為二次函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件).

表一：(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)

兩個(gè)負(fù)根即。[一正根一負(fù)根即一

兩個(gè)正才艮即兩根都

分布情況根都小于個(gè)根小于0,一個(gè)

大于OO：1>0,X2>0)

O(x∣<0,X2<CI)根大于0(Xl<0<X2)

目

大致圖象(α>0)∕'IIlCB

Il<S

A>0,'△>0,

b八b

得出的結(jié)論V-五>。n，

一Z丁a<0,Λθ)<o

/(0)>0/(0)>0

大致圖象(α<0)ODL-U

CJ，?

Δ>0,'A>0,

b八I)八

得出的結(jié)論<一人一

Za<0,一2丁a>0，Λθ)>o

/(0)<0/(0)<0

A>0,,Δ>0,

bCbn

綜合結(jié)論（不討論?）一丁<0,<一丁>0,∏?XO)<θ

Za2a

.a?/(O)>0.a?∕(0)>0

表二：（兩根與Z的大小比較）

一個(gè)根小于k,一

兩根都小于后即兩根都大于k即

分布情況個(gè)根大于k即

x?<k,X2<kx?>k9xι>k

X?<k<X2

大致圖象伍〉0）

'Δ>0,Δ>0,

b.b.

得出的結(jié)論一丁<",一丁〉k,州)<0

2aZa

/(?)>0f(k)>0

大致圖象伍<0）

A>0,△>0,

b.

得出的結(jié)論-五<人-->kKk)>0

2a,

Kk)<0JW<0

A>0,Δ>0,

b1

綜合結(jié)論（不討論a）<-->ka-βfc)<O

Za2a,

a√(?)>0a?∕(^)>0

表三：（根在區(qū)間上的分布）

兩根有且僅有一根

一根在（機(jī)，〃）內(nèi)，

兩根都在（加,n）在（〃?，〃）內(nèi)（圖象有

分布情況另一-根在（p,g）內(nèi)，

內(nèi)兩種情況，只畫了

m<n<p<q

一種）

大致圖象（4>0）

f(m)>0,

Δ>0,

/(“)<0,十

/(〃?)>0,∏V

/(P)<0,一

得出的結(jié)論</(n)>0,加")負(fù)〃)<0

/(g)>0

I)

m<--<n"(m)∕(n)<0,

2a

'(p)∕(q)<0

大致圖象(α<0)

Xm)<0,

Δ>0,

/(?)>0,T

?

/(m)<0,事>o,或

得出的結(jié)論/(n)<0,Λm)∕n)<0

M<o

b

m<--<nr(m)∕(n)<0,

2a

(W(g)<0

Δ>0,

f(rn)?∕(")

∣∕(m)∕(n)<0,

綜合結(jié)論(不討論α)>0,Λw)∕n)<0Vw(q)<0

h

m<--<n

2a

根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(加，〃)外，即在區(qū)間兩側(cè)

x?<m,X2>n,(圖形分別如卜)需滿足的條件是

犬〃2)<0,

(l)α>O時(shí),

X∏)<0:

犬〃。>0,

(2)α<0時(shí)，'

χ∏)>θ.

對(duì)以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(〃2,〃)內(nèi)有以下特殊情況：

(i)若加")=0或y(〃)=o,則此時(shí)/0)貝〃)<o不成立，但對(duì)于這種情況是知

道了方程有一根為根或〃，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(〃?,

〃)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值.如方程∕WΛ2-(∏7÷2)Λ÷2=O在區(qū)間(1,3)上有一根,

22

因?yàn)?0)=0，所以如2—("z+2)x+2=(χ-1)(〃優(yōu)一2)，另一根為而，由1<帚<3得

2

^<m<2即為所求；

(ii)方程有兩個(gè)相等的根，且這個(gè)根在區(qū)間(〃?，〃)內(nèi)，即/=0,此時(shí)由/=

0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值代入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否

在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù).如方程/-4∕τu+2加+6=0有

且只有一根在區(qū)間(-3,0)內(nèi)，求機(jī)的取值范圍.分析：①由八-3)：*0)<0即(14∕n

+15)(機(jī)+3)<0得出一3<根<一］|；②由/=0即16機(jī)2—4(2m+6)=0得出m=~?

3,3

或〃?=］,當(dāng)"?=—1時(shí)，根X=—2W(-3,0),即"?=-1滿足題思；當(dāng)機(jī)=5時(shí)，

根x=34(-3,0),故〃2=,不滿足題意.綜上分析，得出一3<加<—*或機(jī)=—1.

例5若關(guān)于X的一元二次方程(祖一l)f+2(機(jī)+l)x—機(jī)=0,分別滿足下列條

件時(shí)，求〃Z的取值范圍.

(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(一1,0)內(nèi)；

(2)一根在(一1,1),另一根不在(一1,1)內(nèi)；

(3)一根小于1,另一根大于2；

(4)一根大于一1,另一根小于一1；

(5)兩根都在區(qū)間(一1,3)；

(6)兩根都大于0；

(7)兩根都小于1；

(8)在(1,2)內(nèi)有解.

［解析］設(shè)/(x)=(∕"-I)X2+2(機(jī)+l)x—m，J=4(m+1)2+-1)=8/?2÷

4∕∕z÷4=4(2m2÷m+1)>0.

伏1求2)<0,

(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(一LO)內(nèi)應(yīng)滿足,、八即

lΛθM-i)<o,

m(2∕tt+1)<0,II

1解得一7<"2<0,所以機(jī)的取值范圍為佃-5<