2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 8-2 兩直線的位置關(guān)系 學(xué)案

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直2能用解方程的方法求兩條直線

的交點坐標(biāo).3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間

的距離.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.兩條直線的位置關(guān)系

(1)兩條直線平行

①若/1：y=hx+bι,/2：y=k2x+b2,則______________且"/岳；/i與b重合

OAl-?2且________________.

②當(dāng)/1，/2都垂直于X軸且不重合時，則有.

③若/1：A∣x+Bιy+G=0,/2：A2x+B2y+C2^O,則/I〃，2=A山2=A2B1且B1C2W82C1；

/］與重合=Al=Bl=λB2,Cl=IC2(%K0).

(2)兩條直線垂直

①若/1：y=k?x+b?,/2：y=k2x+b2,貝∣J/1JJ20.

②若兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線

③若/1：AlX+B∣y+G=O,/2：Ai×^?^B2y^?-C2-O,則.

(3)直線/,：y=k?x+b↑,/2：y=A2x+b2相交的條件是.直線∕∣:AIX

+8ιy+Cj=0,/2：A2x+82y+C2=O相交的條件是

2.三種距離公式

兩點間的距離公式點Pl(Xi,%),P2(x2,>2)之間的距離IPiP2∣=

點Po(Λ?,州)到直線/：Ax+By+

點到直線的距離d—_____________

的距離____________________________

兩條平行線Ax+By+G=O與Ar+By

兩條平行線間的距離d=___________

+C2=0間的距離__________________

［常用結(jié)論］

1.直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=O平行的直線系方程是AX+By+%=O(%GR且m≠C).

(2)與直線Ax+By+C=O垂直的直線系方程是Bχ-Ay+π=O(∕j∈R).

(3)過直線∕∣:A∣x+Bιy+C∣=O與/2：A2x+B2y+C2=O的交點的直線系方程為4x+Bιy

+C∣+λ(A2x+B2y+C2)=0(2∈R),但不包括I2.

2.五種常用對稱關(guān)系

(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(一X,-y).

(2)點(x,y)關(guān)于X軸的對稱點為(x,—y),關(guān)于)，軸的對稱點為(一χ,>').

(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線y=-X的對稱點為(一y,—x).

(4)點(x,y)關(guān)于直線x=α的對稱點為(2α—x,y),關(guān)于直線y=%的對稱點為(x,2b-y).

(5)點(x,y)關(guān)于點(4,%)的對稱點為(2〃-x,2b—y).

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(1)當(dāng)直線/|和/2的斜率都存在時，一定有)

(2)若兩條直線/i與/2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

2.(教材改編)已知點(a,2)(a>0倒直線/：χ-y+3=O的距離為√Σ貝IJa=.

3.(教材改編)若三條直線y=2x,x+y—3,“tv+2y+5=O相交于同一點，則，〃的值為

4.(易錯)平行線3x+4y-9=0和6x+8y+2=0的距離是()

A.-5B.2CS.-SD.-

5.(易錯)若直線/1：x+y—1=0與直線/2：x+α2y+α=0平行，則實數(shù)“=

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一兩直線的平行與垂直

例1⑴［2023?山東濟南模擬］''a=3''是"直線OX+y-3=0與3x+(α—2)y+4=0平行

的()

A.充分不必要條件

B,必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

(2)已知直線1經(jīng)過點(2,—3),且與直線2χ-y-5≈0垂直，則直線/的方程為

［聽課記錄］

題后師說

當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一

般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意X,y的系數(shù)不能同時為零這一

隱含條件.

鞏固訓(xùn)練1

(l)［2023?江西臨川一中模擬］已知直線∕∣:0r+y-3=0,直線D(2a~l')x~3y+a=O,

則％=—1”是“/1L2”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)［2023?河南南陽模擬］直線4：<zx+2y-1=O與直線，2：x+(α+l)y—1=O平行,貝IJa

題型二距離問題

例2已知點P(2,-1).

(1)求過點P且與原點的距離為2的直線/的方程；

(2)求過點尸且與原點的距離最大的直線/的方程以及最大距離；

(3)求過點P且斜率為2的直線與直線4x~2y+1=O之間的距離；

(4)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說

明理由.

［聽課記錄］

題后師說

(1)求點到直線的距離時，直線方程一定要化成一般式.

(2)求兩平行線間的距離時，一定要化成∕l:Λr+By+Cι=O,l2:Ax+By+C2=0的形

鞏固訓(xùn)練2

(l)［2023?安徽太和中學(xué)模擬］已知直線/過原點。，且點A(l,0),8(3,2)到直線/的距

離相等，則直線/的方程為()

A.χ-y=O

B.χ-2y=0

C.x+y=O或x+2y=0

D.x—y=O或x—2y=0

(2)［2023?河南溫縣一中模擬］∕ι,/2是分別經(jīng)過A(l,1),β(0,一1)兩點的兩條平行直線，

當(dāng)∕∣,/2間的距離最大時，直線/1的方程為()

A.x+2y-3=0B.χ-2y+l=0

C.2χ-y-l=0D.2%+y-3=0

(3)［2023?河北石家莊二十一中模擬］若直線/經(jīng)過直線樂X—2y+3=0與直線/2：2x+

3y-8=0的交點,且點P(—1,1)到直線/的距離為2,則直線/的方程為.

題型三對稱問題

角度一點關(guān)于點對稱

例3過點P(0,1)作直線/,使它被直線小2x+y—8=0和b：x-3y+10=0截得的線

段被點尸平分，則直線/的方程為.

［聽課記錄］

題后師說

χ2CL~~X

一i'進

{y=2b71，

而求解.

鞏固訓(xùn)練3

直線/：4x+3y-2=0關(guān)于點A(l,1)對稱的直線方程為()

A.4x+3y-4=0B.4x+3y-12=0

C.4x—3y—4=0D.4χ-3y-12=0

角度二點關(guān)于直線對稱

例4一條光線從點P(-l,5)射出，經(jīng)直線κ-3y+l=0反射后經(jīng)過點(2,3),則反射

光線所在直線的方程為()

A.2χ-y-?=0B.3x—y—3=0

C.χ-2=0D.4χ-y~5=0

［聽課才已錄］........................................................................

題后師說

若兩點P∣（??,y∣）與P（X2,以）關(guān)于直線/：Ar+By+C=0對稱，由方程組

Jx-+Bχ?+C=0,

{y-y（A?可得到點Pl關(guān)于/對稱的點巳的坐標(biāo)S,y2）（其中B≠0,

（LN=T

Jtj≠X2）?

鞏固訓(xùn)練4

［2023?河南南陽中學(xué)模擬］已知點A（l,2）與B（3,3）關(guān)于直線以+y+方=0對稱，則”,

b的值分別為（）

B.-2)—I

A.2,--2

C.-2,-2D.2,y

角度三線關(guān)于線對稱

例5［2023?安徽六安中學(xué)期末］直線y=2^+l關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為（）

A.χ-3y+l=0B.χ-3y-l=0

C.x~2y—1=0D.x~2y+1=0

［聽課記錄］

題后師說

線關(guān)于線對稱的兩種求解方法

一

線

關(guān)

于

線

對

￥

一

鞏固訓(xùn)練5

直線2χ-y+3=0關(guān)于直線4χ-2y+1=0對稱的直線方程是

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

必備知識?夯實雙基

知識梳理

垂直

1.(1)k?=kι?∣=?2l?∕/h(2)k??k2=-?A∣Λ2+B∣B2=O(3)ki≠k2

A∣B2≠A2BI

?Ax0+Bx0+C?K-CI

2.√(X-X)2+(y-7ι)212

212>JA2+B2√∕12+F2

夯實雙基

1.答案：⑴X(2)×(3)√(4)√

2.解析：因為點(a,2)(a>0)到直線/：χ-y+3=0的距離為√Σ,所以比箸i=√∑,又

a>O9

所以。=1.

答案：1

3?解析:由匕言，得｛γN

，點(1,2)滿足方程"λτ+2y+5=0,

即，*Xl+2X2+5=0,.?.m=-9.

答案：一9

4.解析：直線6x+8y+2=0化為3x+4y+l=0,

所以兩條平行線之間的距離為η?=2?

故選B.

答案：B

5.解析：由題意知：

11—1

解得：a=?.

答案：1

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)充分性：當(dāng)α=3時，直線ax+y—3=0與3x+(α-2)y+4=0即為：3x

+y—3=0與3x+y+4=0,所以兩直線平行.故充分性滿足；

必要性：直線Or+)，-3=0與3x+(a-2)y+4=0平行，則有：a(a-2)-3=0,解得：

a—3或a=-L

當(dāng)a=3時，直線以+y—3=0與3x+(a-2)y+4=0即為：3x+y-3=0與3x+y+4=

0,所以兩直線平行，不重合；

當(dāng)a=—1時，直線Or+y—3=0與3x+(a-2)y+4=0即為：-x+y—3=0與3x—3y

+4=0,所以兩直線平行，不重合；

所以a=3或a=-1.

故必要性不滿足.

故"a=3"是"直線ax+y—3=0與3x+(q-2)y+4=0平行”的充分不必要條件.

故選A.

(2)因為直線/與直線2χ-j-5=0垂直，所以直線/可設(shè)為x+2y+m=0.

因為直線/經(jīng)過點(2,—3),所以2+2X(-3)+m=0,解得〃?=4,則直線/的方程為

x+2y+4=0.

答案：(I)A(2)x+2y+4=0

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由得：a(2a-1)-3=0,則a=-1或a=∣,故a=-1是

∕1J√2的充分不必要條件，即A選項正確.

故選A.

(2)；直線K:ar+2y—I=O與直線乙：x+(a+l)y—1=0平行，且當(dāng)a+l=O,即a=

-1時兩直線不平行，

答案：⑴A(2)-2

例2解析：(1)過點P的直線/與原點的距離為2,而點尸的坐標(biāo)為(2,-I),顯然,

過點P(2,-1)且垂直于X軸的直線滿足條件，此時/的斜率不存在，其方程為x=2.

若斜率存在，設(shè)/的方程為y+l=k(x—2),即日一〉一24—1=0.

由題意得展學(xué)=2,解得&=*

此時I的方程為3χ-4>-10=0.

綜上，直線/的方程為x=2或3χ-4y-10=0.

(2)作圖可得過點尸與原點。的距離最大的直線是過點尸且與P。垂直的直線，如圖.

由IA-OP,得kιkop=-1,

所以心=一戶=2.

kop

由直線方程的點斜式，得y+l=2(χ-2),即2χ-y-5=0.

所以直線2χ-y-5=0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為景=6.

(3)兩直線分別為2χ-y-5=0和4χ-2y+l=0(2χ-y+T=0),

所以距離"=

√22+(-l)210

(4)由(2)可知，過點尸且與原點距離最大的直線為2x—y—5=0,最大距離為遙，因此

不存在過點P且到原點的距離為6的直線.

鞏固訓(xùn)練2解析：(I)：直線/過原點，并且選項中的直線的斜率都是存在的,

故設(shè)所求直線的方程為kχ-y=O,

由已知及點到直線的距離公式可得揭=磊

解得&=1或無=也即所求直線方程為X-y=0或x—2y=0.

故選D.

(2)由題意可得，∕ι,/2間的距離最大時，AB和這兩條直線都垂直.

由于AB的斜率為攔=2,故直線∕∣的斜率為一；，

1—02

故它的方程是y—1=—I(X—1),化簡為x÷2y-3=0,

故選A.

(3)聯(lián)立H二解得g二，即直線/1與直線/2的交點為(1,2),

十□y_O_uιy_Δ

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/：x=l,易得點尸(-1,1)到直線/的距離為2,滿足

題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時，可設(shè)直線/：y-2=A(r-l)即依一y-Z+2=0,

HC

所以點尸(-1,1)到直線/的距離為表景旦=2,解得％=一|,

故此時直線/的方程為一—y+[+2=0即3x+4y—11=0,

綜上所述，直線/的方程為X=I或3x+4y—11=0.

答案：(I)D(2)A(3)x=l或3x+4y-Il=O

例3解析：設(shè)∕∣與/的交點為A(a,8-2?),由題意知，點Λ關(guān)于點P的對稱點B(-a,

24-6)在Z2?,把點B的坐標(biāo)代入石的方程得一α-3(24-6)+10=0,解得α=4.故A(4,0).

因為點4(4,0),P(0,1)在直線/上，

所以直線/的方程為x+4y-4=0.

答案：x+4y—4=0

鞏固訓(xùn)練3解析：設(shè)直線/：4x+3y-2=0關(guān)于點A(l,1)對稱的直線上任意一點尸(x,

y)>

則P(x,y)關(guān)于A(l,1)的對稱點為(2-χ,2-y),

又因為(2-χ,2—y)在4x+3y-2=0上，

所以4(2-χ)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.