2023年北京市西城區(qū)初三（第2次）模擬考試數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2023年北京市西城區(qū)初三（第2次）模擬考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.如圖是某幾何體的視圖，則該幾何體是（）

M視圖左視圖

△

俯視圖

A.長(zhǎng)方體B.三棱柱C.圓錐D.正方體

2.據(jù)報(bào)道,至2022年，我國已經(jīng)建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會(huì)保障體系、醫(yī)療衛(wèi)

生體系，基本養(yǎng)老保險(xiǎn)覆蓋10.4億人,將1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.10.4×IO8B.1.04×IO8C.1.04×IO9D.1.04XlO10

;;y;一'5的解是（）

3.方程組?

3%—y—?

X=I-

X='x=2,X=1,

A.B.C.D.

a=2

y=y=l?=1

4.比大且比S4小的整數(shù)可以是（）

A.1B.3C.5D.7

5.如圖,直線AB〃CD,直線EF分別交Q8,CD于點(diǎn)E,F，NBEF的平分線交CD點(diǎn)G，

若./ll?.,則NEGC的大小是（）

A.116°B.74°C.64°D.58°

6.一個(gè)不透明的口袋中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，這四個(gè)球除顏色外完全相同.搖勻后，隨機(jī)

從中摸出一個(gè)小球不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出小球的顏色相同的概率是（）

35CD1

A.一48-4-

7.實(shí)數(shù)ɑ在數(shù)軸上的位置如圖所示，則α,—a,a2,工中最大的是（）

a

,,、q、,j

-l-io'_i,~

A.aB.—aC.a2D.?

8.下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量：

①京滬鐵路全程為1463km,某次列車的平均速度y（單位：km∕∕ι）與此次列車的全程運(yùn)行時(shí)

間x（單位：Λ）;

②已知北京市的總面積為1.68XIoVm2,人均占有面積y（單位：kr∏2∕人）與全市總?cè)丝讦郑▎?/p>

位：人）；

③某油箱容量是50L的汽車，加滿汽油后開了20Okrn時(shí)，油箱中汽油大約消耗了京油箱中的剩

油量yL與加滿汽油后汽車行駛的路程Mm.

其中，變量y與變量X之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

C.②③D.①②③

二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）

9.若代數(shù)式一）有意義，則實(shí)數(shù)久的取值范圍是___.

X-2

10.已知反比例函數(shù)y="的圖象位于第二、四象限，則k的取值范圍為.

IL如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3,4）,設(shè)線段。力與X軸正方向的夾角為α,

則tana=.

12.用一組α,b的值說明命題：''若a?=爐，則α=b"是錯(cuò)誤的,這組值可以是α=

b=.

13.某射擊隊(duì)要從甲、乙、丙三名隊(duì)員中選出一人代表射擊隊(duì)參加市里舉行的射擊比賽，下

表是這三名隊(duì)員在相同條件下10次射擊成績(jī)的數(shù)據(jù)：

甲乙內(nèi)

平均數(shù)8.598.8

方差0.250.230.27

如果要選出一個(gè)成績(jī)好且又穩(wěn)定的隊(duì)員去參加比賽，這名隊(duì)員應(yīng)是

四邊形

15.如圖，在△4BC中，DE/∕BC,SΔADE=4,SDBCE=5,則■的值是

16.下表是某市本年度GDP前十強(qiáng)的區(qū)縣排行榜，變化情況表示該區(qū)縣相對(duì)于上一年度名次

變化的情況，“T”表示上升，“1”表示下降，“一”則表示名次沒有變化.已知每個(gè)區(qū)縣

的名次變化都不超過兩位，上一年度排名第1的區(qū)縣是,上一年度排在第6,7,8名的

區(qū)縣依次是.（寫出一種符合條件的排序）

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）

17.計(jì)算：V8—4cos45°+（?）-?—|-2|.

四、解答題（本大題共n小題，共88.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.（本小題8.0分）

解不等式組F"+1>￥,并寫出它的所有正整數(shù)解.

（3x-1≤5

19.（本小題8.0分）

已知:如圖1,線段α,b.

求作：矩形ABCD,使得AB=α,BC=b.

a

II

b

1I

圖1

作法：如圖2.

m

-------C---

b

L___,_________________

AaBc

圖2

1.在直線1上截取AB=a.

2.過點(diǎn)B作直線ml1,在直線Tn上截取BC=b.

3.分別以點(diǎn)4和點(diǎn)C為圓心，b,α的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)為D.

（點(diǎn)。與點(diǎn)C在直線1的同側(cè)）

4.連接4D,CD.

則四邊形ZBCD為所求的矩形.

根據(jù)上面設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，在圖2中補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：?：AD=BC=b,AB=DC=a,

二四邊形ABCD是平行四邊形（）.（填推理的依據(jù)）

:直線Tn1I,

_°，

???四邊形ABCO是矩形（）.（填推理的依據(jù)）.

20.（本小題8.0分）

已知a?+a-5=0,求代數(shù)式（α-；）÷整的值.

21.（本小題8.0分）

關(guān)于X的方程/一3x+m+1=0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求小的值及此時(shí)方程的根.

22.（本小題8.0分）

如圖，矩形ZBCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：BD=DE；

(2)連接OE,若4B=2,BC=4,求OE的長(zhǎng).

23.（本小題8.0分）

為增強(qiáng)居民的反詐騙意識(shí)，A,B兩個(gè)小區(qū)的居委會(huì)組織小區(qū)居民進(jìn)行了有關(guān)反詐騙知識(shí)的有

獎(jiǎng)問答活動(dòng).現(xiàn)從4B小區(qū)參加這次有獎(jiǎng)問答活動(dòng)居民的成績(jī)中各隨機(jī)抽取20個(gè)數(shù)據(jù)，分別

對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

ɑ.4小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：

50≤%<60,60≤X<70,70≤%<80,80≤%<90,90≤%≤100)；

b.A小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)在80≤x<90這一組的是:

84858586868889

C.B小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)如下：

分?jǐn)?shù)738182858891929496100

人數(shù)1323131411

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)補(bǔ)全ɑ中頻數(shù)分布直方圖；

(2)4小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；B小區(qū)參加有獎(jiǎng)

問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；

(3)為鼓勵(lì)居民繼續(xù)關(guān)注反詐騙宣傳，對(duì)在這次有獎(jiǎng)問答活動(dòng)中成績(jī)大于或等于90分的居民頒

發(fā)小獎(jiǎng)品.已知4,B兩個(gè)小區(qū)各有2000名居民參加這次活動(dòng)，估計(jì)這兩個(gè)小區(qū)的居委會(huì)一共

需要準(zhǔn)備多少份小獎(jiǎng)品.

24.(本小題8.0分)

如圖，以菱形4BCD的邊AD為直徑作。。交4B于點(diǎn)E,連接CB交。。于點(diǎn)M,F是BC上的

一點(diǎn)，且BF=BE,連接DF.

(1)求證：DM=BM；

(2)求證：CF是。。的切線.

25.(本小題8.0分)

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，函數(shù)y=XX>0)的圖像與一次函數(shù)y=2x的圖像交于點(diǎn)4(α,2).

(1)求α,k的值；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).點(diǎn)P是射線。4上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作無軸，y軸的垂

線交函數(shù)y=g(x>0)的圖像于點(diǎn)B,C,將線段PB,PC和函數(shù)y=g(久>0)的圖像在點(diǎn)B,

C之間的部分所圍成的區(qū)域(不含邊界)記為W.

利用函數(shù)圖像解決下列問題：

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2,直接寫出區(qū)域MZ內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)孫的取值范圍.

26.(本小題8.0分)

在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)(Xl,%)，(尤2，丫2)都在拋物線'=&%2-20%+8(￡1<0)上，且

—1<x1<2,l-m<X2<τn+7.

(1)當(dāng)m=-2時(shí)，比較%,y2的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)若存在與，X2>滿足丫1=、2，求Jn的取值范圍.

27.(本小題8.0分)

如圖，在△4Be中，邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180。)得到線段BD,邊4C繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)180。-α得到線段CE,連接DE,點(diǎn)F是Z)E的中點(diǎn).

(1)以點(diǎn)尸為對(duì)稱中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)G,連接BG,OG.

①依題意補(bǔ)全圖形，并證明AC=OG；

②求證：一一.1('口；

(2)若a=60。，且F〃./〃’于H，直接寫出用等式表示的FH與BC的數(shù)量關(guān)系.

28.(本小題8.0分)

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，給定圓C和點(diǎn)P,若過點(diǎn)P最多可以作出k條不同的直線，且這些直

線被圓C所截得的線段長(zhǎng)度為正整數(shù)，則稱點(diǎn)P關(guān)于圓C的特征值為k.已知圓。的半徑為2,

Q)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),則經(jīng)過點(diǎn)M的直線被圓。截得的弦長(zhǎng)的最小值為,點(diǎn)”

關(guān)于圓O的特征值為；

(2)直線y=x+b分別與％,y軸交于點(diǎn)4B,若線段ZB上總存在關(guān)于圓。的特征值為4的點(diǎn)，

求b的取值范圍；

(3)點(diǎn)T是X軸正半軸上一點(diǎn)，圓T的半徑為1,點(diǎn)R,S分別在圓。與圓7上，點(diǎn)R關(guān)于圓7的特征

值記為r,點(diǎn)S關(guān)于圓。的特征值記為s.當(dāng)點(diǎn)T在X軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),若存在點(diǎn)R,S,使得r+s=

3,直接寫出點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的主視圖和左視圖都是長(zhǎng)方形，可判斷該幾何體是柱體，進(jìn)而根據(jù)俯視圖的

形狀，可判斷柱體底面形狀，得到答案.

【詳解】由幾何體的主視圖和左視圖都是長(zhǎng)方形，

故該幾何體是柱體，

又因?yàn)楦┮晥D是三角形，

故該幾何體是三棱柱.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，如果有兩個(gè)視圖為三角形，該幾何體一定是錐體；如

果有兩個(gè)矩形，該幾何體一定柱體，其底面由第三個(gè)視圖的形狀決定.

2.【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10'的形式，其中14∣α∣<10,n為整數(shù).確定τι的值時(shí)，

要看把原數(shù)變成α?xí)r，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥

10時(shí)，H是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

【詳解】解：將1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.04×IO9.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其中1≤

∣α∣<10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

3.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)加減消元法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：［X+y=3?,

（3x-y=5@

①+（2）,得，4%=8,

解得，%=2,

把％=2代入①得，2+y=3,

解得，y=1,

???方程組的解為：3二;’

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是對(duì)解二元一次方程組的方法的掌握.

4.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)√3、E的大小即可.

【詳解】解：V1<√3<2,3<y∏A<4,

比C大且比√^I4小的整數(shù)有：2和3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)角平分線計(jì)算出—“EGN,再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得

出乙EGC的大小即可.

【詳解】解：.-IH.,EG平分NBEF,

上BEG-JFEG-匚BEF'-1KiΓ>s,

22

VAB//CD,

-BE6M，

故選：O.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的相關(guān)計(jì)算和平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解答本

題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】

【分析】先利用樹狀圖法得出兩次摸球所有可能的結(jié)果，進(jìn)而利用概率的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】畫樹狀圖得所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為：

共有12種等可能的結(jié)果，兩次摸出小球的顏色相同的有6種情況，

兩次摸出小球的顏色相同的概率是：?=∣.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查概率的意義和應(yīng)用，掌握列表法和樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵.列表法和樹

狀圖法是求概率常用的方法，也是基本的方法.

7.【答案】D

【解析】

【分析】由數(shù)軸可知移項(xiàng)和兩邊除以分別得到兩邊同時(shí)乘得到

O<α<1,α—a<O,-a>1,a0<

a2<a,從而得到—QV0VMvQv1v工，由此選出答案.

a

【詳解】解：由數(shù)軸可知：0<a<1,

***—Q<0,~≥1.

又??,0Va<1,

???兩邊乘a,得0Va2VQ,

—a<0<a2<a<l<i,

???a,—a,a29」中，最大的是L

aa

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，由數(shù)軸上的點(diǎn)確定式子的大小關(guān)系，掌握不等式的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】

【分析】分別求出三個(gè)問題中變量y與變量X之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案.

【詳解】解：①由平均速度等于路程除以時(shí)間，得y=等，符合題意；

②由人均面積等于總面積除以總?cè)丝?，得y=即y=等，符合題意；

③由加滿汽油后開了200km時(shí)，油箱中汽油大約消耗了?,可知每千米油耗為：i×50÷200=

?(?,再由油箱中的剩油量等于油箱容量減去耗油量，耗油量等于每/ɑn油耗乘加滿汽油后汽車

16

行駛的路程得：丫=50-也，不符合題意；

綜上分析可知，變量y與變量X之間的函數(shù)關(guān)系可以用該圖象表示的是①②.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)的識(shí)別，正確列出三個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系式

是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】x≠2

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即分母不為O可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意可得：

X—2≠O,

：*X*2,

故答案為：x≠2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，解決此類問題的關(guān)鍵是分母不等于0?

io.【答案】k<1

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y="的圖象位于第二、四象限，可以得到?-l<0,然后求解即可.

【詳解】解：???反比例函數(shù)y="的圖象位于第二、四象限，

?*?k—IvO,

解得：kV1,

故答案為：k<l.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

11.【答案W

【解析】

【分析】取點(diǎn)8(3,0),則4BIx軸于B,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OB和AB,根據(jù)銳角正切函數(shù)的

定義求出即可.

【詳解】取點(diǎn)B(3,0)，則ABLx軸于B,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,4),

??.OB=3,AB=4,

tan。=布="

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和正切函數(shù)，能求出OB和AB的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵.

12.【答案】1

-1

【解析】

【分析】通過ɑ取1,b取一1可說明命題“若。2=爐，則a=b”是錯(cuò)誤的.

【詳解】解：當(dāng)a=l,b=-l時(shí)，滿足。2=墳，但a4b.故命題錯(cuò)誤.

故答案為1,—1(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言.任何一個(gè)命題非真

即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一

個(gè)反例即可.

13.【答案】乙

【解析】

【分析】根據(jù)方差越小越穩(wěn)定和平均數(shù)進(jìn)行決策即可.

【詳解】解：???乙的平均數(shù)最大，方差最小，即乙的成績(jī)好且狀態(tài)穩(wěn)定，

這名隊(duì)員應(yīng)是乙.

故答案是：乙.

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)，方差，熟練掌握平均數(shù)、方差的決策意義是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】150°

【解析】

【分析】延長(zhǎng)AD,BC相交于點(diǎn)E,由三角形內(nèi)角和定理求出?/.W-'I∣>(,IM由

對(duì)頂角相等可得從而可得結(jié)論.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD,BC相交于點(diǎn)E,如圖，

又.H7n.

.?.-E171_117lNI71l30.

又.2.Il)(,.IISD

.?.Z2+EIH'I8(F-ZAI、”：?i15n.

又」".1

.?..I-.2l,r∣0.

故答案為：150。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是解答本

題的關(guān)鍵.

15.【答案】I

【解析】

【分析】先證明△力DE-?ABC,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：???DE"BC,

ΔADE~ΔABC,

DE

.SAZWE_（A2—_J_

vj

"S^abc~BC-4+5'

DE2

'"^BC~3,

故答案為：I.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通

過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系.

16.【答案】C

E、H、/或H、E、/.（二者之一即可）

【解析】

【分析】①C地GoP名次下降，只能是第一名下降而來的，即上一年度排名第1的區(qū)縣是C；

②F地GDP名次下降，上一年度F地排第五，G地GDP名次上升，上一年度G地排第九，E地本

年度GDP排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分類討論即可.

【詳解】解：①?：Z地GDP名次上升，每個(gè)區(qū)縣的名次變化都不超過兩位，B地GDP名次無變化，

只能是第三名上升而來的，即原來4地原來名次是第三名；

同理，C地GDP名次下降，只能是第一名下降而來的；

二上一年度排名第1的區(qū)縣是C,上一年度排名前四名依次是C、B、4D;

②F地GDP名次下降，只能是從第五名下降，即上一年度F地排第五；

同理，G地GDP名次上升，只能是從第九名上升，即上一年度G地排第九.

???E地本年度GDP排第五，名次上升，每個(gè)區(qū)縣的名次變化都不超過兩位，

?E地上一年度可能是排第六或者第七

0）若E地上一年度是排第六，即E地和產(chǎn)地的排名交換，

?，地上一年度是排第七，/地上一年度是排第八，

???上一年度排名從前往后依次是：C,B、4、D、F、E、H、I、G、J;

5）若E地上一年度是排第七，

???”地本年度GDP排第八，GOP名次下降，現(xiàn)在上一年度未確定的只有第六和第八，

?H地上一年度是排第六，/地上一年度是排第八

...上一年度排名從前往后依次是：c、B、4、D、F、H、E、/、G、J;

上一年度排在第6,7,8名的區(qū)縣依次是E、H、/或E、I.

故答案為：C；E、H、/或E./（二者之一即可）.

【點(diǎn)睛】本地考查組合排列問題，根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)分析第一個(gè)下降和最后一個(gè)上升和分類討論是解

題的關(guān)鍵.本題建議在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后邊推理邊填空可以提高速度.

17.【答案】解：√^-4cos45°+φ-1-∣-2∣

LC

=272—4×-2—F3-2

=2√^2-2yJ~2+3-2

=1.

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對(duì)值的性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)基、絕對(duì)值的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

18.【答案】解：卜+1>?L①，

（3x-1≤5@

由①得：X>-1,

由②得：X≤2,

???原不等式的解集為一1<X42；

.??原不等式所有正整數(shù)解為：1,2.

【解析】

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟即可解答.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：

圖2

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；90；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【解析】

【分析】（1）按照步驟操作即可；

（2）根據(jù)矩形的判定定理推導(dǎo)，填空即可.

【詳解】（1）見答案；

（2）證明：?：AD=BC=b,AB^DC=a,

???四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

「直線mil,

???^ABC!K?，

.??四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）.

故答案是:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；90；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：（。一》+等

a2-1a2

=------×-----

aa—1

（a+l）（a—1）a2

=--------------×-----

a

=α2+α,

vα2÷α—5=O

?α2÷α=5

1、.Q-12I

?*?z(CL—ɑ)■：—^2-=Q4+Q=r5?

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再根據(jù)已知等式可得答案.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

21.【答案】解：根據(jù)題意得'，：＞∣u,,IH,

解得τn≤p

所以正整數(shù)m的值為1,

代入原方程得X2-3X+2=0,

即(X-2)(X-I)=0,

?*???=2,%2=1?

【解析】

【分析】先根據(jù)根的判別式的意義得到、，：廠I，，，IiU,解不等式，從而得到正整數(shù)

m的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了根的判別式，解一元二次方程，正確得出m的值是解題關(guān)鍵.

22.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，

.?.ΛC=BD,AD//BC,

又?.?DE//AC,

???四邊形ADEC是平行四邊形，

???AC=DE,

??.BD=DE.

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作OFJ.C。于點(diǎn)F,

???四邊形4BCD是矩形，

??.4C=B。,點(diǎn)。是4C,BD的中點(diǎn)，AD=BC=4,

■?-0C=^AC,OB=^BD1

：,OC—OB,

.?.CF=BF=WBC=2,

???F點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

。/是△BCD的中位線，

1

??OF=^CD=1,

又???四邊形ADEC是平行四邊形，

???CE—AD=4,,

???EF=CF+"=2+4=6.

在W二(〃卜中，由勾股定理可得：OE=7。尸2+E-=VM+62=λfy7.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD,對(duì)邊平行可得40〃BC,再證明出四邊形4。EC是平行四

邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AC=DE,從而得證；

(2)如圖，過點(diǎn)。作OF1CD于點(diǎn)F,欲求OE,只需在RtΔOEF中求得OF、FE的值即可.結(jié)合

三角形中位線求得。F，結(jié)合矩形、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求得OE即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形ZDEC是平

行四邊形是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)補(bǔ)全圖形如下:

(2)88.5分；94分

(3)2000X9+3轆婷+1=950(份)

答：估計(jì)這兩個(gè)小區(qū)的居委會(huì)一共需要準(zhǔn)備950份小獎(jiǎng)品。

【解析】

【分析】(1)用20減去第一、二、四、五組的頻數(shù)即可得到第三組(704x<80)的頻數(shù)，進(jìn)而可

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(3)用樣本百分比估計(jì)總體數(shù)量即可.

【詳解】(I)第三組(704*<80)的頻數(shù)為：20-1-1-7-9=2,

詳圖見答案.

(2)???20個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是第10和11個(gè)，

???4小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)的數(shù)據(jù)的中位數(shù)在80≤x<90這一組內(nèi)的第6和7個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即誓=88.5；

B小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是94分，出現(xiàn)4次，

故B小區(qū)參加有獎(jiǎng)問答活動(dòng)的20名居民成績(jī)中眾數(shù)是94分，

故答案為：88.5分;94分;

(3)見答案.

【點(diǎn)睛】本題考查的是頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)以及用樣本估計(jì)總體等知識(shí).讀懂統(tǒng)計(jì)圖，

從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)

據(jù).

24.【答案】⑴解：連接IM,

V4。為。。的直徑，

??.winW,

.?.AMLBD,

「四邊形ABCD是菱形，

.??AD=AB,

.?.點(diǎn)M是8。的中點(diǎn)，

.?.DM=BM.

???四邊形4BCD是菱形，

￡DBE=￡DBF，ZPAB+ZΛBfIN)

在ΔDBE和ΔDBF,

,BE-DF

<LDBE--DBF,

、BD=BD

.?.ΔDBE三ADBF(SAS),

???.DEB-.DFB，

■：AD是。。的直徑，

???.?lI).f)ΓH!M>，

二工RFDZDEHMO，

??^DAB?^ΛU(M,

???在四邊形ABFD中，一；1。1，一8/0ISlI,

??.IDF?M),

???AD^DF，

???DF是。。的切線.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)即可解答；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到△DBE≡ΔDBF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

到,Dl!：M，最后利用四邊形的內(nèi)角和及切線的判定即可解答.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是90。，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定,

全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)解：函數(shù)y=g(x>0)的圖像與一次函數(shù)y=2x的圖像交于點(diǎn)4(a,2),

???2=2XQ,即Q=1,

???4(1,2),

將4(1,2)代入反比例函數(shù)y=>0)中，2=：解得：k=2.

(2)①由(1)可知反比例函數(shù)解析式為y=:(X>0),

;點(diǎn)P是射線。4上一點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)是2,

???y=2X2=4

:?P(2,4)

將％=2代入y=：(%>0),得y=1

將y=4代入y=I(%>0),得％=；

??,點(diǎn)P與％軸，y軸的垂線交函數(shù)y=g(x>0)的圖像于點(diǎn)B,C,

.?.8(2,1),嗚4)，

如圖:

結(jié)合函數(shù)圖像可知，區(qū)域勿內(nèi)有1個(gè)整數(shù)點(diǎn)；

②區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)，由圖可知點(diǎn)P只能位于A的上方如圖:

結(jié)合圖像可知，當(dāng)2<4《|時(shí)，區(qū)域內(nèi)有5個(gè)整數(shù)點(diǎn).

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)直線的解析式可求α的值，從而可得點(diǎn)4的坐標(biāo)，再將點(diǎn)力坐標(biāo)代入反比例函

數(shù)的解析式可得k的值；

(2)①先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點(diǎn)8、C坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖像、整點(diǎn)

的定義即可得；②由圖可知點(diǎn)P不可能在點(diǎn)4下方，故點(diǎn)P在點(diǎn)4上方，結(jié)合函數(shù)圖像列出不等

式組求解即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖像

是解題關(guān)鍵.

26.【答案】(l)yι>%?

理由：Vy=ax2-2ax+8=α(x—I)2+8—α,

.??拋物線的對(duì)稱軸是直線X=1,

當(dāng)τn=—2時(shí)，3VA?V5

V-1<x1<2,3<X2<5,對(duì)稱軸是直線X=I

???X1比X2離對(duì)稱軸近，

Vα<O,拋物線開口向下，

???'ι>丫2?

(2)??,?zι=D2、

?χ1與X2關(guān)于對(duì)稱軸X=I對(duì)稱，

V—1<%ι<2,

?O<X2<3,

即F消?，

Im+7>3

解得m>1.

【解析】

【分析】(1)當(dāng)τn=-2時(shí)，3<上<5,將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸，根據(jù)x1,X2的

大小判斷與對(duì)稱軸的距離，結(jié)合α<0,即可得出答案；

(2)根據(jù)題意可知滿足y1=y2'即?i與X2關(guān)于對(duì)稱軸x=l對(duì)稱，當(dāng)一1</<2時(shí)，則x2的

最小值要比Xl=2時(shí)的對(duì)稱點(diǎn)0小，&的最大值要比Xl=-1時(shí)的對(duì)稱點(diǎn)3大，解不等式組即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性找小的取值范

圍.

27.【答案】(1)①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

證明：???點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，

.?.DF=EF,

???點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為G,

.?.CF=GF,

又???..IK?,

：,△DFG=△EFC,

???DG=CE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=CE,

?AC=DG.

②證明：???點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為G,

?BG—BC,

-BD=BA1DG=AC,

△BDG=ΔBAC,

M；HZA(B

(2)FH=^-BC.

【解析】

【分析】(1)①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，先證明△DFG≡ΔEFC,推出DG=CE,然后結(jié)合旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得結(jié)論；②根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可證明ABOG=ZkBHC,可得結(jié)論；

(2)連接AC,BF,如圖，根據(jù)等邊三角形的判定結(jié)合(1)②的結(jié)論可得ABGC是等邊三角形，可

得/?1皿，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、30。角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可得出

結(jié)論.

【詳解】(1)見答案；

(2)解:連接ADBF,如圖，由題意得/〃Ll幡,

■:△BDG=△BAC9

?ZDBG"0.1，

?.(tl((,-.I)IiA八".

???BG=BC,

?△BGC是等邊三角形，

?ZBCF=NG*60

???點(diǎn)尸是CG的中點(diǎn)，

'RFlCGdCBFIzCBG30,

?

.?.CF=^BC,

??u(,,z/;cF-?*,

???FH=CF-sin60°=華CF=孕BC;

24

???FH與BC的數(shù)量關(guān)系是FH=華BC.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、30。角的直

角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.【答案】(1)2y∕~2,3.

(2)解：設(shè)點(diǎn)G是圓。的特征值為4的點(diǎn)，

由(1)可知經(jīng)過一點(diǎn)G且弦長(zhǎng)為4(最長(zhǎng)弦)的直線有1條，弦長(zhǎng)為3的直線有2條，

???特征值要保證為4,

經(jīng)過點(diǎn)G且弦長(zhǎng)為2的直線有且只有1條，

經(jīng)過點(diǎn)G的直線被圓。截得的弦長(zhǎng)的最小值為2,

???√22-l2=√^3，

???由(1)可知，關(guān)于圓。的特征值為4的所有點(diǎn)都在以。為圓心，C為半徑的圓周上,

?.?直線y=x+b分別與x,y軸交于點(diǎn)A,B,

.?.A(-b,O),B(0,b),

：.OA=OB=b,

???/(〃，〃15

當(dāng)b>OH寸，

???線段AB上總存在關(guān)于圓。的特征值為4的點(diǎn)，

二線段4B與以。為圓心，，?為半徑的圓有交點(diǎn)，

當(dāng)線段4B與以。為圓心，C為半徑的圓相切時(shí)，將切點(diǎn)設(shè)為“，連接。"，則OH=C，

OB=√-20H=√^6，

?'?b1=V-6?

將以。為圓心，C為半徑的圓與y軸正半軸的交點(diǎn)記為B1,則0B?=C,

當(dāng)線段4B與以。為圓心，為半徑的圓相交，且過點(diǎn)Bl時(shí)，可得∕?=C,

V-3≤e≤V^^6;

同理可求當(dāng)b<0時(shí)，-門《b4-口;

綜上，b的取值范圍是√^3≤Z?≤√^6或一■/%≤h≤-√-3?

(3)???同一平面內(nèi)，對(duì)于任意一點(diǎn)Q,經(jīng)過0、Q的直線與圓。截得的弦(直徑)都為4,

；?點(diǎn)Q關(guān)于圓。的特征值不可能為0,

rsH0,

Vr+s=3,且r、S都是整數(shù)，

???｛r