2022-2023學(xué)年貴州省新高考“西南好卷”高一年級下冊學(xué)期適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題（五）【含答案】

2022-2023學(xué)年貴州省新高考“西南好卷”高一下學(xué)期適應(yīng)性月考數(shù)

學(xué)試題（五）

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足zi=2-i,則復(fù)數(shù)Z的共拆復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可得z=T-2i,進而即得.

【詳解】Vzi=2-i,

.?.z-l+2i,所對應(yīng)點在第二象限.

故選：B.

2.平面向量4=（八2）力=（小,加一4）,若卜上忖，且0工方，貝!］，"=（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得相，然后結(jié)合Iabw可得.

【詳解】*/671?.a=（m,2）,b=（m,m-4）,

??a?b=m2+2/71-8=0，

解得/九=2或〃2=—4,

又V∣dr∣≠%,?*?m=-4.

故選：D.

3.如圖所示，/3C的直觀圖是邊長為2的等邊則在原圖中，BC邊上的高為（）

A.2√6B.√6C.2√3D.√3

【答案】A

【分析】根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系求解即可.

“Sin45

在原圖中，8C上的高AO=2#.

故選：A.

4.已知ɑ[?t專），且tanc=?∣,則Sina=（）

【答案】A

【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合角的范圍求正弦值即可.

.3_3

一

t<jf?×v-Si_n__a___—3_SIna=Sina=

LdIlCJC--------——5或.￡又αeRE)

【詳解】由?COSa4,則＜即Sina<0,

4

sin2a+cos2a=?cosa=-COSa=

5~5

3

所以Sina=-g.

故選:A

5.下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱互相平行

B.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐

C.正三棱錐的各個面都是正三角形

D.棱臺各側(cè)棱所在直線會交于一點

【答案】C

【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.

【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；

當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時.，所得幾何體為兩個圓錐的組合體，故B正確;

正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯誤；

棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線必交于一點，D正確.

故選：C

6.已知非零向量α,b，H=2H>&bl（a-b）,則向量a,人的夾角大小為（）

、2π

bcD.—

?-τ?7?τ3

【答案】B

【分析】根據(jù)向量垂直其數(shù)量積為0,可得然后由向量夾角公式可得.

Pr

2

【詳解】V?l(。一人)，.?b'[a-b^=d'b-b=0,:,a`b=|/?p

又同=2卜|,.?,cosα,?=-^∣=-^L=

2時2

因為,力）e[0,兀]

故選：B

7.已知4（3,2）,鳥（9/1）,點P（5,y）分所成的比為;I,則）與；I的值分別為（）

A.y=8,λ=2BC.y=—13,λ.=一1

22

C,尸身乂」D.y=5,∕l=;

42

【答案】D

【分析】由向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】?.?田3,2),6(9,11),P(5,y),

Λf↑P=[2,y-2),Pg=(4,ll-y),

；戶分66所成的比為4，???6P=2P6,即(2,y-2)="4,ll-y)=(4∕MUTy),

2=42λ=-

；?有

,y-2=lU-Λ√解得2.

7=5

故選：D.

-sinx,-π<x≤0,、,、,、,、

8.函數(shù)f(x)=?IIgUX>0'若X尸NF≠w,有/(%)=/(W)=/(W)=/(王)，則

X∣+?r2+?γ3+工4的取值范圍是（）

.πIOlπ

L2102.

^101'

D.2-π,------π

10

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

依題意作函數(shù)/(x)的圖象如圖，和內(nèi)關(guān)于x=-?^軸對稱，所以占+Λ?=-π,

又由IlgNTlgXJigw=-IgX4,igw=電:,xixi=1,

1

.?.西+&+占+蘢|=—兀+七+巧=—兀+??H,

「IrT1CIISlOl

x∈[-π,0]時，-SlnX∈[0,l],/.—<x<1,Λ2<x+—<—+10=-—,

ljlj33

10X31010

(CIOl

..X]+w+玉+*4￡[2—兀,-?e—7t

故選：C.

二、多選題

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

2023425

A.i+i+i=l

B.復(fù)數(shù)z=l+2i的虛部為2i

C.z=a+bi,Z?為純虛數(shù)的充要條件是α=bHθ

D.已知復(fù)數(shù)Z滿足∣z+l∣=∣z+i∣,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線

【答案】AD

【分析】根據(jù)i的周期性可判斷A,根據(jù)虛部概念判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運算及純虛數(shù)概念判斷C,

根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算即可得到點的軌跡判斷D.

【詳解】對選項A：i23+i，+產(chǎn)=i3+ι+i=τ+ι+i=ι,正確；

對選項B：復(fù)數(shù)z=l+2i的虛部為2,而不是2i,錯誤；

222li

對選項C：z=a+bi,aeR,beR,則z=(a+bi)=a+2ab?+bV=ci-tr+2ab?,

°2°2°,所以a=±),α≠O,∕7Wθ,錯誤;

若Z?為純虛數(shù)，則

2ab≠0

對選項D：設(shè)Z=X+yi,xeR,y∈R,由∣z+l∣=∣z+i∣可得，∣x+l+yi∣=∣x+(y+l)i∣,

所以J(x+lf+y2=JX2+(y+])2,平方化簡得：y=χ,

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線y=χ,正確.

故選：AD

10.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么下列選項中的兩條直線是異面直線

的是()

C.AB與GHD.EF與GH

【分析】由正方體的展開圖還原成正方體，根據(jù)異面直線概念對選項逐一判斷即可.

【詳解】將正方體的展開圖折起還原成正方體，折起以后各點的位置，如圖所示,

由正方體的性質(zhì)知，選項中成異面直線關(guān)系的有AB與C￡>,AB馬EF,EF與GH,

又點8與點”重合，AB與G”相交于B點,

故選：ABD

11.已知函數(shù)F(X)=Sincosx,g(x)=Cossinx,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=∕(χ)和y=g(χ)的最大值分別為/(χ)miκ和g(χ)nms,則“打M>g(χ)n≡

B.函數(shù)y=∕(χ)和函數(shù)y=g(χ)都是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)，函數(shù)y=g(χ)在區(qū)間(O,π)上不單調(diào)

D.兀既是函數(shù)y=∕(χ)的周期，也是函數(shù)y=g(χ)的周期

【答案】BC

【分析】對于A,因為-l≤cosx≤l,T≤sinx≤l,再由正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)求出/(x)3,g(x)max

即可判斷；對于B,由偶函數(shù)的定義及正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；對于C,由正弦、余弦函

數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對于D,由周期函數(shù)的定義及正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)判

斷即可.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=SinCOsx,T≤cosx≤I,/(XkX=Sinl<sin^=亭，

,

而g(x)=cossinx,-l<sinx≤l,..g(x)ιnaχ=cosO=1,：.f(x)ιmχ<g(x)nm,故A不正確；

/(x)=SinCOSX的定義域為R,/(-x)=sincos(-x)=sincosx=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，

g(x)=cossinx的定義域為R,g(-x)=cossin(-x)=cos(-sinx)=cossinx=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，故B正確：

x∈(0,τι)時，COSX單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)=SinCOSX在(0,π)單調(diào)遞減，

Xe(O,兀)時，SinX先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知g(x)=Cossinx在(0,兀)上不單

調(diào)，故C正確；

/(x+π)=sincos(x+兀)=sin(—CoSX)=—SinXCOSXH/(x),故兀不是f(x)的周期，所以D不正確.

故選：BC

12.在直角梯形ABC。中，AB1AD.AB=2DC,E為AB中點，M,N分別為線段OE的兩個三等

分點，點尸為線段8。上任意一點，若AP=ZUM+〃4V,則2+〃的值可能是()

A.IbC.2D.-

?I2

【答案】ABC

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)8P=xBE>,0≤x≤l,用坐標(biāo)表示出AP,AM,AN,再根據(jù)

AP=/IAM+/MN歹l∣方程可得2+〃=2-x,然后可得.

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)A8=6,AO=3加,，〃>0,則A(0,0),B(6,0),f>(0,3"z),E(3,0),Λ∕(2,m),N(l,2m),

則AM=(2,m),AN=(1,2m),BD=(-6,3∕π),AB=(6,0)

設(shè)BP=xBD,0<x≤l,則AP=A8+xBO=(6-6x,3∕ΠΛ)

?/AP=AAM+μAN,

.?.(6-6x,3wzr)=A(2,〃?)+//(1,2ni)=(2>l+μ,ιnλ+2mμ),

f>-6x=2λ+μ

整理得2+〃=2—X,

3ιnx=mλ+2mμ

因為xe[O,l],所以2+"=2-xe[l,2]

故選：ABC

三、填空題

13.軸截面為正方形的圓柱形容器，其底面半徑為R,在該容器內(nèi)放入一個半徑為R的鋼球后，該

容器最多還能盛水的體積是18兀，則R=.

【答案】3

【分析】根據(jù)圓柱與球的體積公式，即可求解.

42

【詳解】依題意可知，πR1-2R一一萬R'=187n-R'=18nR=3.

33

故答案為：3

14.向量”在向量8=(2相,2)上的投影向量的坐標(biāo)為(√J,1),則a.。=.

【答案】8

【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義直接計算可得.

【詳解】由數(shù)量積的幾何意義可知，“不等于向量α在向量8上的投影向量與向量b的數(shù)量積，

因為向量α在向量匕=(26,2)上的投影向量的坐標(biāo)為(6,1),

所以α?>=(2√J,2)?(6,l)=2√Jx√5^+2xl=8

.故答案為：8

14

15.點P是線段AB上的任意一點(不包括端點AB),對任意點。都有OP=XOA+yOB,則一+一的

Xy

最小值為.

【答案】9

【分析】由點？是線段A8上一點及向量共線的推論得χ+y=l,由基本不等式“1”的妙用求最值即可.

【詳解】因為點P是線段AB上的任意一點(不包括端點AB),

所以AP=4A8=/I(OB-O4),O<Λ<1,

所以O(shè)P=(I-λ)OA+AOB,

5LGP=xOA+yOB,

所以x>O,y>O,且x+y=l,

所以l+百=?+-l(x+y)=l+4+^+-≥5+2??-=9.

Xy?χy)XyYXy

故答案為：9

四、雙空題

16.在.ABC中，A8,C的對邊分別為4,6,c,若acos8+bcosA+2ccosC=0,則C=；

cosAcos3的范圍.

【_答λv案.】_T2π匕(1q3]

12加TT

【分析】根據(jù)余弦定理可得cosC=-],從而可得。=可；把8=§-A代入CoSACOsB,結(jié)合三角

變換可化為JsinbA+g]+J,再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

2<6；4

【詳解】^cosβ+Z;cosA+2rcosC=0,

22?2?222I

由余弦定理可知α"+'------+b—————+2ccosC=0<≠>2ccosC=-c=>cosC=——，

2ac2bc2

又C∈(0,π),所以C=,,

Dλ(兀八S?46?A112AG?AA

cosAλcosB=cosAcos——A=cosA-cosA+——sinA=-CoSA+——SInACoSA

∣k3)(22J22

l÷cos2A√3I(OAJLl

44216j4

VO<Λ<-,

3

.兀?.π5π

..-<2A+-<—,

666

.1.fθ4兀I」1.11.f??π}1^3

2I6)22I6)44

(13^

.?cosAcosθ∈—.

124J

故答案為：.

五、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點A(I2),8(2,3),C(-2,-1).

⑴求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；

(2)若實數(shù)Z，4滿足(AB-fOC)=/IAC,求f,∕l的值.

【答案】(l)2√iθ>f∏4√2

f=156

2)9

c.-

IA=5

【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算及模的坐標(biāo)公式分別求出卜^+人ɑ，∣A8-4C∣,即可得解;

(2)先分別求出(A8T0C),/UC,再根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】(1)由A(l,-2),3(2,3),C(-2,T),

AB=(1,5),AC=(-3,1),

2222

IAB+AC?=A∕(-2)+6=2√10,∣AB-AC∣=√4+4=4√2,

所以以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別為2加和4√Σ;

(2)VOC=(-2,-1),

Λ(ΛB-rOC)=ΛAC<≠>(l,5)-r(-2,-l)=Λ(-3,l)<≠>(2r+l√+5)=(-3Λ,Λ),

_16

⑵+ι=√uf=_y

所以<3=ɑ.

[f+5=a/=9

5

C/—?Z

18.若定義一種運算：伍為）d=αc+，.已知Z為復(fù)數(shù)，且僅,z）4=6-4i.

⑴求復(fù)數(shù)z；

,.1.sinx

⑵設(shè)f,X為實數(shù)，若（r+cosx,i）2-（zU）,為純虛數(shù)，將，表示為X的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間.

【答案】（l）l+2i;

(2)/=?V2sin--+2kπ,-+2lat,keZ

44

【分析】（1）根據(jù)新定義運算可得2z+4l=6-4i,設(shè)z="+bi（α力eR）,根據(jù)共鈍復(fù)數(shù)的概念及復(fù)

數(shù)相等即可求解；

（2）根據(jù)新定義運算可得及純虛數(shù)的概念可得f=sinx-cosx=√∑sin（x-;）,再根據(jù)正弦型的圖象

與性質(zhì)即可求解.

【詳解】⑴（2工）j=6-4i,.?.2z+6=6-4i,

設(shè)z=α+?i（a,∕∈R）,

則2（。+歷）+4（α-bi）=6-4i,6a-2bi=6-4i,

J60=6a=1

?-2b=-4^0=2'zT+2'?

1SinX

(2)(/+eos?,i)=∕÷cosx+2i-sinx-i=∕÷cosx-sinx+i,

2i

若(f+cosx,i)；-(1,1)

為純虛數(shù)，則/+cosx-sinx=0,

Z=Sinx-Cosx=>∕2sin

—+2Aπ≤X--≤—÷2Aπ,?∈Z,解得一2+2Aπ≤x≤型+2Aπ,Z∈Z,

24244

Tr3π

的增區(qū)間為--+2Aπ,-+2?π,keZ.

19.在一ABC中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別為α,6,c,SinA=CosgC,。在BC上，且

ABAC

AD=λ,M+H,

⑴求A;

(2)當(dāng)方=5,c=3時,求AO長.

【答案】（1）專

喈

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡已知等式，結(jié)合角度范圍求解即可;

（2）由已知確定40為484。的角平分線，設(shè)AO=X,根據(jù)面積公式列式求解即可.

πA.A

【詳解】(1)VsinA=cos,/.sinA=cos=sin—

22^2^2

.AA.A

..2sιn-cos-=sin—,

222

VA∈(θ,π),?^2-e,則SinT≠O

A1

cos-=—

22

?AπB∏2兀

..—,BJaA=—.

233

ΔRAΓ

(2)VAD=λ=÷=,所以40為NBAC的角平分線,

1網(wǎng)?ac?)

設(shè)AD=Xf由S=S4ABD+4^?ΛCD,得

LcSinA=?tesinZCAD+-cxsinZBAD,

222

7JrTTTr

由于b=5,C=3、帶入數(shù)據(jù)，t?15sin-?-=5xsin—+3xsin?-,

則8x=15nx="，

8

故AZ)=號

O

20.如圖一，將邊長為2的正方形A88剪去四個全等的等腰三角形后，折成如圖二所示的正四棱

錐.記該正四棱錐的斜高為九（側(cè)面三角形的高），ZFAB=9.

(1)求證：(=0+內(nèi)叫

2

(2)將折起來后所得正四棱錐的表面積記為S,請將S表示為。的函數(shù)，并求S的范圍.

【答案】⑴證明見解析

(2)S=4-4tan.,^∈lθ,?j;(0,4)

【分析】(1)作AM_LEEMVLAB,垂足分別為M,N,然后在RfAFN,RtAMF中利用三角函數(shù)

定義可得；

(2)用正方形面積減去4個全等的等腰三角形面積可得.

【詳解】(1)作垂足分別為M,N,

由題可知，M,N分別為ERA8的中點，

所以在用一A/W中，AN=],NEAB=<9,

所以AF=-!二，

COS，

易知，在RfAMF中NΛMF=￥-6,

4

fit.rl....c.fπ?1(√2z,√2.Jl7∑+7∑tane

所以AM=4Fcos∣——Ol=-------——cos。+——Sme=------------------,

U)CoSel22I2

即4=√Σ+6^tan”

③2

(2)在RLAFN中，易知婷V=4Vtan6=tan6,

所以S4"=gAB?FN=tan6,

又正方形ABCD的面積為2x2=4,

所以正四棱錐的表面積記S=4-4tane,，e[o,：J

因為Oe(O所以O(shè)etan，＜l,

所以Se(0,4)

rr2rrrr/s22

21.閱讀以下材料，解決本題：我們知道①(z4+Bx)=a2+2a?b+h2；②,-匕)-a-2a?b+b.由①■②

、2(〃+b)-(a-b?

得(a+b)a-bj=4a?boa?b=?————L,我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式“，它

實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為"模''的運算.如圖所示的四邊形A5CQ中,

8力=8,A8?AO=48,E為BD中點.

(2)若2AE=EC,求C8?CD的值.

【答案】⑴10

(2)240

【分析】(1)利用數(shù)量積的定義求出,胤AE＞∣=52,根據(jù)同角關(guān)系求出SinN840=2,代入三角形

面積公式即可求解;

?■Z

(2)先利用極化恒等式48?=(2A￡)--比＞得/后=8,由2AE=EC得EC=I6,代入極化恒等式

4

CBCD=生竺To求解即可.

4

【詳解】(1)因為AB?Aa=48，所以IA5,AqcosNBAD=48,

即,聞40卜^|=48,所以kqk4=52,

125

又cos∕3AZ)=-,所以sin/BAo=—，

所以SAω,=gkB∣AO卜inNBAQ=gx52x^=10；

(2)因為AB?AD=48,BD=S,

2

由極化恒等式得A&AD=(A8+A02TAB-A0：(24E)、BD=AE、%=AE2.I6=48,

444

所以AE=8,

又