數學高考導數壓軸題

數學高考導數壓軸題

目錄

專駁一導照身切狡

專驗二導熬與函熬單碉楹

?<Λ導故多匹熬極值、景值

專驗四導熬與憚氏支

?<A導照馬晶熬黎點

4?Λ導劇與做變量

專駁七導激與隴塞點問駁

專敢，、導照號不塔坎證闞

專駁九導劇與極值支偏移

專駁十拉格朗日中他金理

專敦十一二次求導用熬(二階導密J

專駁十二利用導數解決幾何同觀

專致一導密<S切狡

的室?已知函數/(X)=d-2∕+χ,求曲線y=∕(χ)在點(T—4)處的切線方程;

解：⑴由題意得/"(x)=3χ2-4x+l,所以∕?,(τ)=8

又因為/(-1)=-4,所以切線方程為y=8(x+l)-4

整理得8x—y+4=0.

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?8f函數/(x)='+lnx-l.求曲線y=∕(x)在點(2J(2))處的切線方程；

X

解：(1)因為/(X)=—+Inx-I的定義域為XG(O,+∞),

X

所以/〈X)=__y+-=-?，

XXX

因此2T1，即曲線J=/。)在點(2,/(2))處的切線斜率為二

∕,(2)=?144

又/⑵=ln2-g,

所以曲線N=∕(x)在點(2J(2))處的切線方程為夕一［n2—；)=；(x—2),

即X-4y+4In2-4=0；

的敷2設函數/(x)=∕+3x,求曲線y=∕(x)過原點的切線方程；

解：⑴設切點坐標為卜*+3x0),f(x)=e*+3

所以左=/'(xo)=ex0+3.

所以切線方程為-(e`"+3xt))=(e*°+3)(x-Xo).

又因為切線過原點，所以一(*+3x0)=(e*+3)(-x0)

v

所以e°=Xl)?e",所以XO=I

故所求切線方程為y=(e+3)x.

雙因2.已知函數/(X)=2(x+l)ln(x+l).經過點(-1,-2)作函數”x)圖像的切線,

求該切線的方程.

解：設切點為(XoJ°),則為=2(%+1)In(Xo+1),

尸(Xo)=2(In(XO+1)+1)=比上1,解得χ°=%=0,故切線方程為y=-2x,即

XO+1

2x+y=0.

的做“已知函數/(x)=x—l+￡(aGR,e為自然對數的底數).

(1)若曲線y=∕(x)在點(1,/(1))處的切線平行于X軸，求“的值；

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(2)當α=l時，若直線/:y=Ax—1與曲線y=∕(x)相切，求/的直線方程.

解：⑴/(x)=l一二，

e

因為曲線N=/(x)在點(1,,/(1))處的切線平行于X軸，

所以/'(1)=1——=0,

e

解得α=e.

(2)當α=l時，/(x)=x—1+4，∕,(x)=1----γ.

e'e

設切點為(xo,yo),

V∕(xo)=xo-1÷—=Axo-1,①

e

/(xo)=I-A=左，②

①+②得Xo=AXO—1+%,即(左一l)(xo+1)=0.

若左=1,則②式無解，

??xo=-1,k=1-c.

???/的直線方程為V=(I—e)χ-L

?1?3.已知函數/(x)=χ3-3x.

(1)求曲線y=∕(x)在點x=2處的切線方程；

(2)若過點4(1,向(〃?≠-2)可作曲線歹=∕(x)的三條切線，求實數機的取值范

圍.

解：⑴/￠(6=3/-3,

.?.切線斜率左=∕'(2)=9J(2)=2,

曲線V=/(X)在x=2處的切線方程為y-2=9(x-2),

即9x-y-16=0；

(2)過點Z(Lm)向曲線y=∕(x)作切線，設切點為(XO，%)，

則K=。一3%,左=∕'(x)=3片一3,

切線方程?-(?ɑ-3x0)=(3xθ-3)(x-x0),

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即2,XQ—3XQ+加+3=O,

.?.2片-3xj+m+3=O有三個不同實數根,

記g(x)=2χ3-3χ2+m+3,g<x)=6/-6x=6x(x-l),令g'(x)=0,x=0或1,

則X,g'(χ),g(x)的變化情況如下表

X(-∞,o)0(0,1)1(i,+co)

g'(x)+0-0+

g(x)/極大極小/

當x=0,g(x)有極大值加+3；X=Lg(X)有極小值加+2.

因為過點力(1,"0(M≠-2)可作曲線y=∕(χ)的三條切線,

fg⑼>。即］加+3〉0

則，⑴

Ig<o,Mw÷2<0,

解得一3<m<-2,

所以加的范圍是(—3,—2).

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數/(x)=XInX,若直線/過點(0,-e),且與曲線y=/(x)相切,則直線/的

斜率為()

A.-2B.2C.一eD.e

【答案】B

【解析】函數/(x)=xlnx的導數為/'(X)=InX+1,設切點為(加,〃),則n=mlnm,

可得切線的斜率為k=1+Inm,所以1+ln∕M=?-?=--------,解得

mm

"1=e,a=1+Ine=2,故選B.

2.若/(x)+3∕(T)=X:2χ+l對XeH恒成立,則曲線y=∕(χ)在點(IJ⑴)處的切

線方程為()

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A.5x+2y—5=0B.IOX+4y-5=0

C.5x+4y=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】

???/(x)+3∕(-X)=Λ-3+2X+1……Φ.?./(-X)+3∕(x)=-√-2x+1……②

113

聯立①②,解得：/(X)=-5χ3-X+7,則/(X)=-1X?-1

?'?∕(ι)=-∣-ι+∣=-^∕(ι)=-∣-ι=-∣

切線方程為：j,÷~=——(x-l),^p1Ox+4y—5=0,故選B

3.已知函數√(x)=x3+x-16.直線/為曲線y=∕(x)的切線,且經過原點,求直線/的方程及切點

坐標.

【分析】設切點為(Xo口),整理出關于Y的方程,解方程求出切點(犯泗),再用點斜式寫出方程.

【解析】法一：設切點為(XOjo),則直線/的斜率為∕αo)=3j√+ι,.??直線/的方程為y=(3∕2

()J)又.直線過點(；即「+-3()整理得,

+l)(χ-x)+X0+*—16,??I0,0),.0=(31)(xo)÷X0+%—16,

XQ=-8,；?xo=-2,

.?.yo=(-2)3+(—2)—16=—26,?=3×(—2)2+1=13.

；?直線/的方程為y=13x,切點坐標為(一2,—26).

法二：設直線/的方程為y=?x,切點為(刈,M)),

則仁曰=XO3+/T6,

xo^^OX0

2K2

又?.?k=f(x0)=3X0+1,ΛJ-'匚16=3χ0+ι,

Xt)

解之得Xo=-2,；?y()=(—2)3+(—2)—16=-26,%=3x(—2)2+1=13.

???直線/的方程為y=13x,切點坐標為(一2,—26).

4.已知過點P(M)且與曲線y=/相切的直線的條數有().

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

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【分析】設切點為（χ°,y°）,則yo=x；,由于直線11經過點（2,1）,可得切線的斜率,

再根據導數的幾何意義求出曲線在點X。處的切線斜率,建立關于與的方程，通

過解方程確定切點個數.

【解析】若直線與曲線切于點（χ°,y°）（χo≠0）,則k=*W="?=χ"χ0+ι,

XOTXoT

2

又?.?y'=3χ2,.?.y'∣x=x0=3x0,.?.Zxj—x?！?=0,解得χ0=1,XO=_g,

二過點P（l,l）與曲線C:y=x，相切的直線方程為3x—y—2=0或3x—4y+l=0,

故選C.

5.已知直線/即是曲線G：y=e'的切線,又是曲線G"=}e2χ2的切線,則直線/在

X軸上的截距為

A.2B.1C.e2D.-e2.

【答案】B

（分析】設出直線/與兩曲線的切點,分別求出兩曲線在切點處的切線方程,由斜

率與截距相等列式求得切點的橫坐標,代入切線方程,則答案可求.

【解析】設直線/與曲線G:y=*的切點為（XJU）,與曲線C2：y=}e2χ2的

222

切點為（xΛex2）,由產己得y1=e",由y=Jeχ2,得叫=Je2χ?,

...直線/的方程為=e*（x—xj,或=；02》2（彳_》2）,

1

.?.直線/的方程為：y-e2=e2（%-2）,取N=O,可得X=L

.?.直線/在X軸上的截距為1.故選6.

?einγ

6.若點P是函數尸一----圖象上任意一點,直線/為點P處的切線,則直線1

sιnx+COsx

斜率的范圍是（）

A.（-∞,1）B.[0,1]C.[l,+∞）D.（0,1]

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【答案】C

[解析]..-2sinX，_2CoSX(SinX+cosx)-2SinX(COSX-SinX)

?'sinX+cosX5"(sinx+cosx)2

2cos2x÷2sin2x_2

?二一IVsin2x<l,.*.0<l+sin2x<2,

l+2sinxcosx1+sin2x

112

Λ-~—≥τJ'iy=?;~1≥i????直線1斜率的范圍是[l,+8).

1+sin2x2l÷sιn2xr

故選C.

7.設曲線。號=3/*_2/-9/+4,在曲線C上一點加(1,-4)處的切線記為/,則

切線/與曲線。的公共點個數為

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=12√-6√-l‰攵=12-6-18=-12

二/方程為：y+4=-12(X-I),即y=-12x+8

y=3x4-2√-9x2+4

-得3X4-2X3-9X2+12X-4=0

y=-12x+8

即：(x-lf(x+2)(3x-2)=0

2

x∣=1,々=-2,當=j,.?.曲線C與1/的公共點個數為：3個,故選C。

8.若函數f(x)=InX+αx與函數g(x)=/的圖象存在公切線,則實數。的取值范圍

是()

A.(-8,-l]B.(-∞,0]C.(-∞,1]D.(-∞,2]

【答案】C

【解析】設公切線與函數/(x),g(x)分別切于點力(西,Y),B(X2,%),則過A,BA

(1、

的切線分別為：y=—+αx+lnx∣T?y=2x,x-x,,兩切線重合,則有：

1陽)

2xv1

Inrl-1=-X2=>xl=e'~^代入^a-2x2得：e>?^_2x2=-α,構造函數：

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MX)=JT-2χ”(χ)=2xJτ一2"⑴=0.x>l"(x)>2-2=0,μx)/.

0<JC<1,A'(X)<2-2=0,X<0,A'(X)<0,Λx<1,∕Z(X)?J.欲合題意,只須

-α≥A(l)=-l=>α≤l.

9.已知函數./"3=9,,83=46(α#0),若函數y=∕(x)的圖象上存在點

P(X0，％)),使得y=/(X)在點尸(XOJO)處的切線與V=g(X)的圖象也相切,則α的

取值范圍是()

A.(0,l]B.C.D.(,2e

【答案】B

【解析】/(x)=e*,g(x)=44的公共切點為P(XO,4),設切線與y=g(x)的圖象

相切與點卜,"")J'(Xo)=e`",g'(/)=/

ex<>=?>0

2√Z

由題意可得、,解得/=IT

e"一α√rf

x0-t

所以α=2√7e%=24--'/>0,令A(f)=2√7e>0

則h'(/)=te-—2麻一=,1(1-2/)

令〃'⑺=0,解得/=；,當/〉0時,〃⑺>0

當0</<；時"(?！?,函數付)在上單調遞增

當g<∕時”(/)<0,函數g)在|o,￡|上單調遞減

當t從右側趨近于0時,人(0)趨近于0,/?(；)=疝

當t趨近于+8時,右(0)趨近于0

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所以4€僅,>/^),故選B

10.若X=L是函數/(x)=InX-質的極值點,則函數/(x)=InX-AX在點(IJ⑴)處

e

的切線方程是.

【答案】(e-l)x+y+l=O

【解析】由題得∕,(x)=--k,:.f\-)=e-k=Q,:.k=e.

Xe

所以上=/'(1)=?-k=?-e.

/⑴=-左=-e,所以切點為(l,-e),

所以切線方程為y+e=(l-e)(x-l),.?.(e-l)x+y+l=O.

故答案為：(e-l)x+y+l=0

11.若函數/(x)=(。eR)與函數g(x)=4x,在公共點處有共同的切線,則實

數”的值為

【答案】f

1

［解析】函數/(X)=Hnλ的定義域為(0,+∞),/'(X)=@,g'(x)=

X2Vx

設曲線/(x)="hu與曲線g(x)=4公共點為(x(1,%),

a1?

由于在公共點處有共同的切線,二:=解得Xo=4*a〉0.

由/(xo)=g(x(1),可得?ln?=扁.

Xo=4ap

聯立解得4=不

alnxQ=ΛJX02

故答案為

2

12.已知函數/(x)=χ3-tzx?.

(1)當α=3時,求函數((X)在區(qū)間［0,2］上的最小值；

(2)當a>3時,求證:過點尸(IJ(I))恰有2條直線與曲線y=∕(x)相切.

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【解析】(1)當α=3時/(x)=X3-3χ2∕(χ)=3χ2-6χ=3X(χ-2).

當x∈［0,2］時/(X)≤0,

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上單調遞減.

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上的最小值為/(2)=-4.

(2)設過點P(1/(1))的曲線y=∕(x)的切線切點為(Xo,yo)/(X)=3x2

-2ax,f(1)=1-a,

j∕0=√-α√,

所以《、

2

Vo-(1-α)=(3?-20x0)(x0-1).

所以2Λ*O~—(α+3)/?+2tzxθ+l-α=0.

令g(X)=2x3-(a+3)x2+2ax÷l-α,

則g'(x)=6x2-2(α+3)x+2α=(X-I)(6χ-2α),

令@(x)=0得X=I或X=

因為α>3,所以@>1.

a

1+0

X(-∞,1)~3(r0)

g,(χ)+0-0+

g(X)Z極大值極小值/

'.g(x)的極大值為g(1)=0,g(X)的極小值為gg)<g⑴=°,

??/

所以g(X)在18,1J上有且只有一個零點X=L

因為g(α)=2ai-(α+3)a2+2a2+?-a=Q-1)2(α+l)>0,

所以g(x)在(∣?,+8∣上有且只有一個零點.

所以g(X)在R上有且只有兩個零點.

即方程2x:一(°+3)/2+2嘰+1一α=0有且只有兩個不相等實根,

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所以過點P(1/(1))恰有2條直線與曲線V=/(x)相切.

與觀二導劇與詼照單碉楹

例敢乙已知函數/(x)=Smx+：°SXT(1)求函數/(χ)在(0,%)內的單調遞增

區(qū)間；

解：由題意知，r(x)=γnx,xe(O∕),

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所以當/'(x)>0時，解得Xe，即/(x)在(0,乃)的單調遞增區(qū)間

鞏圖1.已知函數/(x)=3(x-l)-2xlnx.求/G)單調增區(qū)間；

解：/(x)=l-21nx,令八x)>0,解得Xeθ,e?,所以/(x)單調增區(qū)間為θ,e?.

\/\/

例?2.已知函數/(x)=(α∈R).討論f(χ)的單調區(qū)間；

解：(1)由題意，函數/(%)=男?應("€及)，可得/O)的定義域為(°，+00)，

且八X)=上"1Ξ.

由./(x)>0,即l-α-lnx>0,解得0<x<e~,由/'(x)<0,即l-α-lnx<0,

解得x>ej,

故/(χ)的單調遞增區(qū)間為(0,e''a),單調遞減區(qū)間為(Λa,+∞).

雙⑥2.已知函數/(x)=alnx+」+bx+l.若2α+b=4,當α>2時，討論/(x)的

單調性；

解：因為/(x)=alnx+」+bx+l所以函數/(χ)的定義域為(0,+∞).

由2α+6=4,^f(x)=alnx+-+(4-2a)x+l,則八X)=^

XX

當。=4時，/(x)≤0,函數/(x)在(0,+8)上單調遞減；

當2<α<4時，/'(x)<0=>0<x<L或x>—i—,∕<x)>0nL<x<^-,

2。-22a-2

所以/(X)在(0,￡|,(*,+αθ上單調遞減，在上單調遞增；

當α>4時，/,(x)<0=>0<x<-?-?x>^?,∕,(x)>0=>-5―?<x<^?,

a-22a-22

所以/(X)在(0,匕)，(g+8)上單調遞減，在C，；］上單調遞增.

成圖3,已知函數/(x)=e*-2αeT-(2+α)x(αeR).討論函數/(x)的單調性；

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解：Γ(x)=e，+2ɑe-'-(2÷α)='-僅；)…=.多-α)

若α<0,由e*-2=0,得X=In2；由/'(x)<0得x<ln2；由/'(x)〉。得x〉ln2,

所以一(X)在(-∞,ln2)上單調遞減，在(In2,+oo)上單調遞增；

若Q>0,由f'(x)=O,得X=In2或X=InQ.

當0<Q<2時，由/'(x)<0,得InQ<x<ln2;由/'(X)>0,得x>ln2或X<1ΠQ,

所以/(x)在(Ina」n2)上單調遞減，在(-8,Ina),(In2,+8)上單調遞增；

當α=2時，/'(x)≥0在R上恒成立，所以/(x)在(-∞,+8)上單調遞增；

當。〉2時，由/'(x)<0,得ln2<x<lnα;由得x>lnα或x<ln2,

所以/(%)在(In2,lnα)上單調遞減，在(-8,ln2),(Ina,+oo)上單調遞增.

風圖4,已知函數/(x)=gχ2+加]n(l-x),其中meR.求函數/(x)的單調區(qū)間；

解：函數/(x)定義域為(-8,1),且/^'(x)=X—-”_=二"，i-x>0,令

1-x1-x

-X2+x-m=0,判別式△=1-4加，

當△≤0,即"7≥;時，-f+x一機<0恒成立，所以/'(x)≤0,

.?.∕(x)在(-8,1)上單調遞減；

當△>(),加<：時，由/―χ+∕w=o,解得IzM互，]+√Γ^Γ,

4122

若0<加<：,則x∣<X2<l,；.xe(-∞,xj時，∕,(x)<0,/(x)單調遞減；

,

x∈(xpx2)Bf,∕(x)>0,/(x)單調遞增；XG(X2,1)時,/'(x)<0,/(x)單調

遞減；

若m≤0,則須<1≤J?,，xe(-∞,xj時，/'(x)<0,/(x)單調遞減；XG(Xl,1)

時，f'(x)>0,/(x)單調遞增；

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綜上所述：m≤0時，/(x)的單調遞減區(qū)間為_8,-7_”1,單調遞增區(qū)間

、2J

,1-Λ∕1-4∕M/

為一--』；

k/

0<加<!時，/(x)的單調遞減區(qū)間為-8,4",“2,1,單調

‘1一?/l—4m1+?/l—4m、1

遞增區(qū)間為----------,----------；加≥-時，/(X)的單調遞減區(qū)間為

\/

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數/(x)=χ3+α/-∕χ+3,αeR.

(1)若α<O,求函數/(x)的單調減區(qū)間;

(2)若關于X的不等式2xlnx≤∕'(x)+/+1恒成立,求實數a的范圍.

【分析】(1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函的遞減區(qū)間即可；

313Yl

(2)問題等價于α2>x-'一r'在χ∈(0,+⑹上恒成立,令MX)=加v-二—

22x22x

根據函數的單調性求出a的范圍即可.

【解析】(1)/(X)=3x2+2ax-a2=(3χ-α)(x+α)

由/G)VO且αV0得：∣<x<-α

.?.函數/(x)的單調減區(qū)間為

(2)依題意Xe(0,+∞)時,不等式2x∕“%gτ(x)+層+1恒成立,

3x1

等價于4N/"X-------在XG(0,+∞)上恒成立.

22x

令人(x)=

(3x+l)(x7)

貝UW=L(x>0)

2X2

當x∈(0,1)時(x)>0,h(%)單調遞增

當x∈(l,+∞)時G)<0,Λ(X)單調遞減

.?.當X=I時,〃CX)取得最大值〃(1)=-2

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故a>-2.

2.已次口函數/(x)=%-1-In%-a(x-1)2(<JwR).

(1)討論函數/(χ)的單調性；

(2)若對?x∈(0,+∞)J(X)NO,求實數。的取值范圍.

【解析】(1)由題意知,/O)的定義域為(0,+8),

2

由/(x)=X-1-InX-α(χ2-2x+1)=-aχ+(2?+l)x-(α+1)-Inx,

得f'(χ)=-2ax+(2α+1)-工=_2叱―(2"+l)x+l=_(20l)(*T).

XXX

①當α≤0時,令/'(x)>O,可得X>l,∕'(x)<0,得O<X<1,故函數/(x)的增區(qū)間為

(L+8),減區(qū)間為(0,1)；

②當0<”工時,1>1,令/'(x)>0,可得1<*<3J'(x)<°，得0<x<l或x>1,

22a2a2a

故/(X)的增區(qū)間為1，減區(qū)間為(°，1)、［±，+8)；

③當α=W時,r(X)=—色二日,，O,故函數/(X)的減區(qū)間為(0,+8);

2X

④當時,0<j<ι,令/(X)>O,可得;<X<1J'(X)<O,得O<X<(,或

X>1,故/(X)的增區(qū)間為1),減區(qū)間為(0,1),(L+8).

綜上所述：當α≤0時,/(x)在(0,1)上為減函數,在(1,+8)上為增函數；當()<α<g

時J(X)在(0,1),(1,+8)上為減函數,在［1,()上為增函數；當α=;時,/(X)在

(0,+8)為減函數；當時J(X)在KkI,+◎上為減函數,在［(,l)上為增

函數.

(2)由(1)可知：

①當α≤0時,/(x)mm=/(1)=0,??/W≥0；

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②當0<4<g時,/*(l)=0,當x∈f~~,+ocJ時,有InX〉0,or>4+l,可得

J?x)<x-l—Q(X-I)2=(X-I)(〃+1—Or)<0,不符合題意；

③當α=g時,/⑴=0,由函數/J)的單調性可知,當Xe(I,+8)時/(x)<0,不符合

題意；

④當α>=時J(I)=0,由函數/O)的單調性可知,當XJI」I時/(x)<0,不符合

2?2a)

題意.

綜上可知,所求實數α的取值范圍為(-∞,0],

3.已知函數f(x)=In%+x2+30r+l.

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)當α<-l時,討論函數/(x)的零點個數.

【分析】(1)討論"的范圍,得出/(x)>0和/G)VO的解集,得出/G)的

單調性；(2)求出/(x)的極大值,判斷極大值小于0,根據/G)的單調性得出

/(x)的零點個數.

【解析】(1)f'(x)=-+2x+3a=2-+3'a^+1(x>0),

XX

3a

令"(x)=2￡+3UX+1,其對稱軸為/=-?^?,令2χ2+3αx+l=0,則?=9a2-8.

當α≥O時,/'S)>O,所以/(χ)在(0,+∞)上單調遞增：

當a<O時,對稱軸為x0=——>O9

若A=9∕一8≤0,即-述，<0,〃(幻》0恒成立,所以/'(幻20,所以/口)在

3

(0,+8)上單調遞增；

若a<一半時,設〃(X)=O的兩根Xl=Ta*",當=-3可948,

當Xe(O,%)時,“(X)>O,所以/'(X)〉O,所以/(χ)在(0,x1)上單調遞增，

第16頁共114頁

當XG(XI,赴)時,“(x)<0,所以/'(x)<0,所以/(x)在(Xl,%)上單調遞減，

當XG(X2,+∞)時,“(X)〉0,所以/'(X)>0,所以/(x)在(X2,+∞)上單調遞增,

綜上所述：當α≥一逑時，/(X)在(0,+8)上單調遞增；

3

若α<-2囪時，/(X)在(0,XJ上單調遞增,在(X”/)上單調遞減,在(》2，+8)上單

3

調遞增；

(2)當α<T時,由(1)知“X)在(0,%)上單調遞增,在(須/2)上單調遞減,在

2

(%2,÷∞)上單調遞增,下面研究/(χ)的極大值/'(xj=InXl+x1+30x1+1,

222

又2xJ+3axl+]=0,所以f(X])=InX1+2x1+3ax}+l-x1=Inx1-x1?

令g(x)=lnx-則g，(x)=匕直.(x>0),可得g(χ)在(0,也)上單調遞增,在

X2

(等,+oo)上單調遞減,且g(x)的極大值g(￥)=皿￥-；<0,所以g(x)<0,所以

∕α)<o,

當X∈(0,X])時，f(χ)單調遞增,所以f(x)</(x1)<0

當Xe(Xl,工2)時，/(x)在(XI,x2)上單調遞減,所以/(%2)</(*)</Uι)<θ

當x∈(x2,+oo)時,/(χ)單調遞增，

且/(Ta)=In(Ta)+16〃—12/+1=In(Ta)+4/+1(α<—1),

/(x2)?∕(^a)<0,所以存在x'eɑ,Ta),使得/*')=。，

又當X∈(X2,4W)時，“X)單調遞增,所以“X)只有一個零點X,，

綜上所述,當“<τ時,/(X)在(0,+8)上只有一個零點.

4.已知函數/(x)=IX-。ITnx(a>0).

(1)討論“X)的單調性；

第17頁共114頁

/-∣?,≠>1∏22In32Inn2.(?-1)(2?+1),,,./LZ口=、十口口

(2)比u較—--I---I■…4-------與~~的大小(〃WN且〃>2)并證明

2232n225+1)

你的結論.

x-?nx-a,x≥a

【解析】(1)函數/⑴可化為/(X)=,

a-X-1Inx,λO<x<a

當O<X<q時,X)=-I-L<O,從而/(X)在(O,α)上總是遞減的，

X

Iγ—1

當XNa時,/'(x)=l-一=——,此時要考慮。與1的大小.

XX

若α≥1,則/'(X)>0,故/(X)在[α,+∞)上遞增，

若0<α<1,則當α≤X<1時,/'(X)<0,當χ>1時,/'(x)>0,故f(χ)在[a,l)上遞減,

在(1,+8)上遞增,而“X)在X=α處連續(xù),所以

當α≥1時J(X)在(OM)上遞減,在［a,+∞)上遞增;

當0<α<1時,/O)在(0,1)上遞減,在口,+8)上遞增.

(2)由(1)可知當α=l,x>l時,x-l-InX>0,即InX>l-x,所以所

XX

以

Inn2

<n-?-------1--------1----1----------=M-I-------------|=(〃-1)------------

(2x33×4M(ΛJ+1)J(2/7+1J2(?+1)

_2n2-2-n+l_(∕?-1)(2/7+1)

一~2(〃+1)—一^~2(〃+1)-,

5,已知函數/(x)=e'(l-4x-χ2).

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若x≥0J(x)≤l,求實數。的取值范圍.

【解析】(1)f(?)=ex[--X2—(Λ+2)X-α+l],

-a-2+yJa^+8

令AX)=O,得至Lw=±2一孵I,X2

2

第18頁共114頁

令/'(x)>O,得*<X<士,所以/(X)在(一"27^^+8,-4-2^+8)單調遞增,

令令(X)Co,得X<X]或X>七,所以/(X)在

(F,1”2--"2+√^,+oo)單調遞減.

(2)由⑴知J'(0)=>α,

當α<l時,/'(0)>0,因為x∣W=α-1<0,且工=-"2+嚴+8>0,

由⑴可知,fO)在(0,々)單調遞增,此時若Xe(O，吃)J(X)>/(0)=1,

與x≥0時J(X)≤1矛盾.

當時/±2

αN1(0)≤0,χ2=+叵3≤0,

2

由(1)可知,f(x)在(0,+∞)單調遞減,因此對VXG[0,+∞),,此時結論成立.

綜上,α的取值范圍為a≥?,

??Λ導數易晶數極偃、量值

?I

鈉IU?已知函數/(χ)=RLΞl.求函數y=∕(χ)的極值.

解:?..r(x)=(x+?f-2)又/>0,

由/'(x)=0得x=_l或X=2,

當x∈(-oo,-l)和(2,+oo)時，/'(x)<0,此時/(x)為減函數；

第19頁共114頁

當Xe(T,2)時，∕,(x)>0,此時/(x)為增函數，

由/(x)的單調性知函數的極小值為/(-l)=-e,極大值為/(2)=5e^2=p-.

的??2,已知函數/(x)=χ3+ax1+bx+2在X=-I處取得極值7.

(1)求α,6的值；

(2)求函數/(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值

解：(1)因為/(x)=丁+ax?+?χ+2,所以/(x)=3J?+2αx+b,

又函數/(x)=X3+ax1+bx+2在X=-I處取得極值7,

/(-l)=l+a-6=7a=-3

解得

/”(—1)=3—2α+b=0b=-9',

所以f'(x)=3x3-6x-9=3(x-3)(x+1),

由/'(x)>0得x〉3或x<-l；由/(x)<0得T<x<3;滿足題意;

(2)又Xw[-2,2],

由(1)得/(x)在xe(-2,T)上單調遞增，在x∈(-1,2)上單調遞減，

因此/")max=/(T)=7?

的已知函數/(x)=；x3—24χ2+2,(χeR)

(1)討論函數/(x)的單調性.

(2)若α>0,當xe[0,l]時，求/(元)的最小值.

解：(1)因為/(x)=；/一24χ2+2,(χe及),所以/(χ)=χ2-4or.

令/(X)=X(X-4α)=0,解得χ=0或4α.

①當。=0時，/(x)=χ2≥0恒成立，所以函數/(χ)在&上單調遞增；

②當a〉0時，令/(x)〉0得x>4α或x<0,令/'(x)得0<x<4α,

即函數“X)在(-*0),(4α,+8)上單調遞增，在(0,4。)上單調遞減；

③當a<0時，令/'(x)>0得x〉0或x<44,令/(x)<0得4α<x<0,

第20頁共114頁

即函數/(X)在(-8,4α),(0,+力)上單調遞增，在(44,0)上單調遞減；

(2)由(1)知α>0時，/(x)在(0,4α)上單調遞減，在(4α,+8)上單調遞增；

①當4α≥l,即α上(時，/W)在［0,1］上單調遞減，

/(x)mi∏=/⑴="α+2=號^

②當0<4α<l,即0<“<，時，/(x)在在［0,4α)上單調遞減，在上單調(4α,l］遞

4

增，

所以/(x)min=/(4α)=??(4α)3-2a?(44+2=，-：宜.

以通7.已知函數/(x)=αlnx+J7(αeR).

(1)當α=T時，求/(x)的單調區(qū)間；

(2)求/(x)在口,4］上的最小值.

解：⑴/(x)的定義域為(0,+A),

,?L、II√x-2

當lα=-l1時，/(X)=——+—7==-----

X27XZx

當X〉4時，∕,(x)>0,則f(X)的單調遞增區(qū)間為(4,+∞);

當0<x<4時，∕,(x)<0,則f(χ)的單調遞減區(qū)間為(0,4).

(2)≠w=r?=?

當α≤T時，/'(X)≤0,f(x)在［1,4］上單調遞減,

此時，/(x)min=/(4)=2tzln2+2

當αN-；時，/'(x)?0J(x)在0,4］上單調遞增，

此時，/(x)min=/(I)=I

當一1<。<一；時，若l<χ<4∕,貝U∕(χ)<O,∕(χ)單調遞減;

若4α2<X<4,則/'(X)>OJ(X)單調遞增

第21.頁共114頁

222

此時,/(x)min=f[^a^=aIn(4tz)+y∣4a=2aln(-2a)-2a.

2Q1Π2+2,Q<-1

綜上所述：/(x)min=<2aln(-2β)-26f,-l<β<-?

Ia≥--

192

M⑥2,已知函數/(x)=QInX+2f-4x(Q∈R).

(1)若x=2是/(x)的極值點，求/3的單調區(qū)間；

(2)求g(?)=/(x)-"在區(qū)間[l,e]上的最小值h(a).

解：(1)/(x)的定義域為(0,+8),

r,,、aA.4χ2-4x+α

/(x)=-+4x-4=--------------.

XX

因為X=2是/(無)的極值點，所以八2)=16-；+，=0,解得α=_8,

所以f(x)=4，-4,-8=4(A2)(X+1),

`XX

當x>2時，/'(x)>0;當0<x<2時，八x)<0,

所以/(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2),單調遞增區(qū)間為(2,+∞).

(2)g(x)=αlnx+2χ2-qχ-4x,則g，(X)=@+4x-"4=@——,

XX

令g'(x)=0,得x=(或X=L

①當?≤1,即α≤4時，g(x)在[1,句上為增函數，A(α)=g(l)=-α-2；

②當l<(<e,即4<α<4e時，g(x)在LWj上單調遞減，在Iie上單調遞增,

、

所“以力I(/ɑX)ug[wjuolna]-,?o2；

③當(≥e,即α≥4e時，g(x)在口,句上為減函數，

第22頁共114頁

-a-2,a≤4

[Q12AΛ

所以〃(α)=g(e)=(I-e)a+2e?-4e.綜上所述,∕Z(Q)=<ciIn------Ci-α,4<Q<4e

48

(1-e)a+2e1-4e,a≥4e

【素養(yǎng)提升】

L已知函數f(x)=x+ax2+b]nx,曲線夕=/(X)在點(Ij⑴)處的切線方程為

2x-y-2=O.

(I)求α,6的值;

(II)求函數求%)的極大值.

33

【答案】(I)ɑ=-l,b=3；(II)31∏4--.

24

【解析】(I)由f(x)=x+αχ2+blnx,得∕<x)=24x+1+2(x>0).

X

由曲線y=∕(x)在點(Ij(I))處的切線方程為2x-y-2=0,

得/⑴=l+2α+b=2,/(l)=l+a=0,

解得α=-l,b=3.

3

(II)/'(X)=-x?+X+3InX,X∈(0,+∞),/'(x)=—2x+l+-(x>0).

X

-Ix+IH—>0,解得X∈^θ,?j；

-2X+IH—<0,解得Xe[3,+°oJ；

所以函數的增區(qū)間：(Om)；減區(qū)間：(I，+00}

333

x=3時，函數取得極大值，函數的極大值為/-=31n---.

2.已知函數/(x)="xTnx+1.

(1)若X=I是函數/(x)的極值點，試求實數。的值并求函數/(x)的單調區(qū)間;

(2)若/(x)>0恒成立，試求實數。的取值范圍.

第23頁共114頁

【答案】(1)1,函數的單調減區(qū)間為(O,1)函數的單調增區(qū)間為(1,+8);(2)。>F.

e

【解析】(1)函數的定義域為(0,+8)

又廣(X)=。一工，由題意/'⑴=αT,a=?,

當α=l時，令/'(x)=l-g>O得x〉l,令r(X)=I_/<0得x<l,

所以函數的單調減區(qū)間為(0,1)函數的單調增區(qū)間為(1,4W),

此時函數/(X)取極小值故α=1符合題意；

(2)由/(x)>。恒成立得6-InX+l>0恒成立，又定義域為(0,+8),

“Inx-IL、(InX-1、

所以q>-------恒k成區(qū)即CT”------,

XIX/max

令g(x)=蛔」則g,(?^)=—y—,令g，(X)=2.產〉0得X<∕所以函數g(x)在

(0"2)上單調增，在卜2,+8)單調減，函數g(χ)χ=g(e2)=[,所以α>:

2

3.已知函數/(x)=αlnx-x2+(0-2)x-.