金融數(shù)學(xué)之心得（三）

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。第第頁金融數(shù)學(xué)之心得金融數(shù)學(xué)心得體會

金融數(shù)學(xué)，又稱分析金融學(xué)、數(shù)理金融學(xué)、數(shù)學(xué)金融學(xué)，是20世紀(jì)80年代末、90年代初興起的數(shù)學(xué)與金融學(xué)的交叉學(xué)科。它的研究對象是金融市場上風(fēng)險資產(chǎn)的交易，其目的是利用有效的數(shù)學(xué)工具揭示金融學(xué)的本質(zhì)特征，從而達到對具有潛在風(fēng)險的各種未定權(quán)益的合理定價和選擇規(guī)避風(fēng)險的最優(yōu)策略。它的歷史最早可以追朔到1900年，法國數(shù)學(xué)家巴歇里埃的博士論文“投機的理論”。該文中，巴歇里埃首次使用brown運動來描述股票價格的變化，這為后來金融學(xué)的發(fā)展，特別是為現(xiàn)代期權(quán)定價理論奠定了理論基礎(chǔ)。不過他的工作并沒有得到金融數(shù)學(xué)界的重視。直到1952年馬科維茨的博士論文《投資組合選擇》提出了均值——方差的模型，建立了證券投資組合理論，從此奠定了金融學(xué)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。在馬科維茨工作的基礎(chǔ)上，1973年布萊克與斯科爾斯得到了著名的期權(quán)定價公式，并贏得了1997念得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。它對于一個重要的實際問題提供了令人滿意的答案，即為歐式看漲期權(quán)尋求公平的價格。后兩次發(fā)現(xiàn)推動了數(shù)學(xué)研究對金融的發(fā)展，逐漸形成了一門新興的交叉學(xué)科，金融數(shù)學(xué)。

在本學(xué)期的金融數(shù)學(xué)課程當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了二叉樹無套利定價模型、條件期望、鞅過程、馬爾科夫過程、風(fēng)險中性定價與概率測度等知識。

下面就某些問題給出我的理解。

鞅理論的引入是現(xiàn)代金融理論最新的研究成果。1977年，哈里森和柯瑞普斯提出了期權(quán)定價理論的鞅方法，他們用鞅論中的鞅測度概念來刻畫無套利市場和不完全市場，并用等價鞅測度對期權(quán)進行定價和套期保值或?qū)_。他們證明了市場無套利的重要條件是等價鞅測度存在，市場完備的重要條件是等價鞅測度存在且唯一。在市場是有效的假定下，證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。他們利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題，得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場的運行規(guī)律，而且可以提供一套有效的算法，求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價與風(fēng)險管理問題。鞅表達了對未來股價貼現(xiàn)值的最好估計就是當(dāng)前股價，這符合有效市場和完全市場的假設(shè)。有效市場要求當(dāng)前價格反應(yīng)了所有市場信息，因此，未來的信息不會對當(dāng)前股價產(chǎn)生影響，其價格過程應(yīng)該是個適應(yīng)過程，適應(yīng)是隨機過程能夠使用的基本條件；另外有效市場要求投資者個體行為不應(yīng)對價格產(chǎn)生影響，因此這時的價格是合理價格，而合理的價格不應(yīng)該有套利機會，如果當(dāng)前價值不等于未來現(xiàn)金流的貼現(xiàn)，比如大于未來現(xiàn)金流，在完全市場下，我們可以通過較低的財富構(gòu)建組合，復(fù)制股票未來的現(xiàn)金流，獲得套利；反之同樣可以構(gòu)造套利策略。因此在風(fēng)險中性測度下，股價的貼現(xiàn)過程是一個鞅，投資于股票和貨幣市場賬戶的任何資產(chǎn)組合的貼現(xiàn)價格都是鞅。在真實概率測度下，股票價格是一個下鞅，因為事實上其平均增長速度應(yīng)該高于貨幣市場以補償投資者的內(nèi)在風(fēng)險。利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位，但在國內(nèi)還是一個空白。

馬爾科夫性就是過程（或系統(tǒng)）在時刻t所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時刻t所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻t之前所處的狀態(tài)無關(guān)。通俗的說，就是在已經(jīng)知道過程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來”不依賴于“過去”。在有效市場下，股票應(yīng)該滿足馬氏性，因為有效市場假設(shè)當(dāng)前價格已經(jīng)反映了所有市場信息，即所有歷史信息和新發(fā)布的市場信息都已經(jīng)反映在當(dāng)前價格上，研究歷史價格對未來的預(yù)測不會有幫助，自然對未來價格的估計只依賴當(dāng)前的信息。股票價格的馬爾科夫性保證了該衍生證券的價格過程不是路徑依賴的。馬爾可夫性的存在大大縮減了我們需要處理的信息量，為了預(yù)測未來，我們只需要直到今天的數(shù)據(jù)，而不用存儲繁雜的歷史數(shù)據(jù)。有限個馬爾科夫過程的整體稱為馬爾科夫鏈，它可以看作在時間集上對狀態(tài)過程相繼觀察的結(jié)果。馬爾科夫鏈的運動變化分析，主要是分析研究鏈內(nèi)有限馬爾科夫過程的狀態(tài)及相互關(guān)系，進而預(yù)測鏈的未來狀況。馬爾科夫預(yù)測法是根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預(yù)測方法。常用于對地理、天氣、市場的預(yù)測。

最優(yōu)停時理論是概率論體系中一個具有很強的實用性領(lǐng)域，近年來，不少金融學(xué)家和金融數(shù)學(xué)家將這一理論與現(xiàn)代的投資組合理論相結(jié)合，取得了不錯的成績。如果我們把停時定義為做某件事情的時間，則停時的定義表明我們要不要在t時刻做這件事取決于t時刻及之前我們所能獲得信息。從這個意義上看，停時可以有很多應(yīng)用：買入股票的時間；賣出股票的時間；一支股票被st的時間；公司發(fā)生違約的時間。在違約停時的應(yīng)用中，我們通過給出違約風(fēng)險的結(jié)構(gòu)模型中對違約時間的定義以及它與停時的關(guān)系，學(xué)習(xí)了兩種信用風(fēng)險模型：merton（1973）和首中時模型（black&cox（1976））在二叉樹模型中違約概率的估計原理。merton的模型考慮違約只發(fā)生在到期時刻的概率，則該時刻就是一個停時。為了完善merton模型對違約發(fā)生在該時間未結(jié)束情況下的漏洞，（black&cox）提出了首時中模型，假設(shè)違約可在到期前任何時刻發(fā)生。通過相同模型，我們可以給出不同公司的信用評估。在美式看跌期權(quán)的應(yīng)用中，由于美式衍生證券允許持有人在到期日之前的任何時刻行權(quán)，這就使得美式衍生證券在任何時刻的價值至少不低于其持有人即刻行權(quán)所獲得的支付，即所謂內(nèi)在價值。在風(fēng)險中性概率測度下，美式衍生證券的貼現(xiàn)過程是一個上鞅。其持有人應(yīng)該在衍生證券衍生證券價值等于內(nèi)在價值的第一時刻行權(quán)。它的行權(quán)策略就是一個停時。（即行權(quán)策略可以依賴于以往的股價變動，但必須在無法看到未來股價變動的情況下決策）。一旦停時被選定，就能計算相應(yīng)于這一停時的衍生證券支付貼現(xiàn)過程的風(fēng)險中性期望值。美式衍生證券的價值是（相應(yīng)于所有停時）支付貼現(xiàn)過程風(fēng)險中性期望的最大值。將鞅、上鞅、下鞅停止于停時所得到的停時過程仍然具有相同的傾向。

拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)為我們提供了一個從真實概率測度到風(fēng)險中性概率測度的變換，以及在有限概率模型中從一個概率測度到另一個概率測度的變換。利用這個概念我們可以將不同概率測度下的期望和條件期望聯(lián)系起來，使我們不再把風(fēng)險中性環(huán)境和真實概率環(huán)境割裂開來，讓我們知道對于真實概率下的金融問題如何和風(fēng)險中性環(huán)境結(jié)合起來解決，比如最優(yōu)投資決策問題。從拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)我們又推導(dǎo)出狀態(tài)價格的概念。狀態(tài)價格的意義在于當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)在w時在時刻n的支付為1的合約在時刻0的價格。這個價格不依賴概率測度，體現(xiàn)了資產(chǎn)價格與期望回報以及所承受的風(fēng)險有關(guān)。狀態(tài)價格有一個好處，如果我們知道了每一個狀態(tài)的價格，任何n時刻支付的合約，其在0時刻的價格就等于狀態(tài)價格的線性組合。拉東——尼科迪姆導(dǎo)數(shù)過程不但給出了在局部信息空間上測度變換的radon-nikodym導(dǎo)數(shù)，而且將不同測度下的條件期望聯(lián)系起來。這樣無論我們是現(xiàn)在對未來價值估計，還是在未來某個時刻對更長時間后的價值進行估計，我們都能夠?qū)L(fēng)險中性下的估計和真實概率下的估計聯(lián)系起來。

在最近的十幾年里，金融數(shù)學(xué)的研究受到了前所未有的重視。人們越來越深刻的認(rèn)識到，數(shù)學(xué)已成為金融學(xué)研究中隨處可見的關(guān)鍵技術(shù)。而同時金融學(xué)的發(fā)展也為數(shù)學(xué)知識和技巧的運用提供了重要的平臺。當(dāng)今各種金融創(chuàng)新產(chǎn)品不斷出現(xiàn)，對金融數(shù)學(xué)這一學(xué)科來說既是增加了新的動力又是對各種理論的挑戰(zhàn)。金融危機的發(fā)