專題06圓周運動模型中臨界問題和功與能（原卷版）

專題06圓周運動模型中臨界問題和功與能目錄TOC\o"13"\h\u1．圓周運動的三種臨界情況 12．常見的圓周運動及臨界條件 13.豎直面內(nèi)圓周運動常見問題與二級結(jié)論 21．圓周運動的三種臨界情況(1)接觸面滑動臨界：Ff＝Fmax。(2)接觸面分離臨界：FN＝0。(3)繩恰好繃緊：FT＝0；繩恰好斷裂：FT達(dá)到繩子可承受的最大拉力。2．常見的圓周運動及臨界條件(1)水平面內(nèi)的圓周運動水平面內(nèi)動力學(xué)方程臨界情況示例水平轉(zhuǎn)盤上的物體Ff＝mω2r恰好發(fā)生滑動圓錐擺模型mgtanθ＝mrω2恰好離開接觸面(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運動輕繩模型最高點：FT＋mg＝meq\f(v2,r)恰好通過最高點，繩的拉力恰好為0輕桿模型最高點：mg±F＝meq\f(v2,r)恰好通過最高點，桿對小球的力等于小球的重力帶電小球在疊加場中的圓周運動等效法關(guān)注六個位置的動力學(xué)方程，最高點、最低點、等效最高點、等效最低點，最左邊和最右邊位置恰好通過等效最高點，恰好做完整的圓周運動傾斜轉(zhuǎn)盤上的物體最高點：mgsinθ±Ff＝mω2r最低點Ff－mgsinθ＝mω2r恰好通過最低點3.豎直面內(nèi)圓周運動常見問題與二級結(jié)論【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為要使小球做完整的圓周運動，當(dāng)在最高點A的向心力恰好等于重力時，由可得①對應(yīng)C點的速度有機械能守恒得②當(dāng)小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達(dá)與O點等高的D位置則由機械能守恒得③小結(jié)：(1).當(dāng)時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內(nèi)的支持力由牛頓第二定律④(2).當(dāng)時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0由牛頓第二定律。⑤(3).當(dāng)時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動離開圓周，且v越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0在DA段射重力與半徑方向的夾角為則、(4).當(dāng)時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上升的最高點為C永不脫離軌道【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力(1)從最高點A點靜止釋放的小球到達(dá)最低點C：由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑥(2)從與O等高的D點（四分之一圓弧）處靜止釋放到達(dá)最低點C：由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑦(3)從A點以初速度釋放小球到達(dá)最低點由機械能守恒在C點由牛頓運動定律：得⑧【模型演練1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考期中）“旋轉(zhuǎn)秋千”是游樂園里常見的游樂項目，如圖甲所示，其基本裝置是將繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤的邊上，繩子下端連接座椅，游客坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋。若將“旋轉(zhuǎn)秋千”簡化為如圖乙所示的模型，人和座椅看作質(zhì)點，總質(zhì)量約為m=80kg，圓盤的半徑為R=2.5m，繩長，圓盤以恒定的角速度轉(zhuǎn)動時，繩子與豎直方向的夾角為θ=45°，若圓盤到達(dá)最高位置時離地面的高度為h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩過程中，游客的不慎從手中自由滑落。忽略空氣阻力的影響，求：（1）滑落瞬間的速度大小；（2）落地點距離中心轉(zhuǎn)軸的距離?！灸Ｐ脱菥?】（2023上·黑龍江佳木斯·高三校聯(lián)考期中）如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，，一質(zhì)量為m的小球沿水平軌道向右運動，經(jīng)A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱恪Ｖ亓铀俣却笮間。（提示：可以嘗試把小球所受合力看作新的重力）求：（1）水平恒力的大小和小球到達(dá)C點時速度的大小；（2）小球到達(dá)A點時動量的大小；【總結(jié)提升】解決圓周運動問題的基本思路eq\x(分析物體受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力來源)→eq\x(利用平行四邊形定則、正交分解法等表示出徑向合力)→eq\x(根據(jù)牛頓第二定律及向心力公式列方程)【模型演練3】(2023·北京市海淀區(qū)一模)如圖所示，輕桿的一端固定在通過O點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一小球，輕桿繞O點在豎直平面內(nèi)沿順時針方向做勻速圓周運動，其中A點為最高點，C點為最低點，B點與O點等高，下列說法正確的是()A．小球經(jīng)過A點時，所受桿的作用力一定豎直向下B．小球經(jīng)過B點時，所受桿的作用力沿著BO方向C．從A點到C點的過程，小球重力的功率保持不變D．從A點到C點的過程，桿對小球的作用力做負(fù)功【提煉總結(jié)】解決豎直面內(nèi)圓周運動的三點注意1．豎直面內(nèi)的圓周運動通常為變速圓周運動，合外力沿半徑方向的分力提供向心力，在軌跡上某點對物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出向心力方程。2．注意臨界問題：物體與軌道脫離的臨界條件是FN＝0或FT＝0。3．求物體在某一位置的速度，可根據(jù)動能定理或機械能守恒定律，將初、末狀態(tài)的速度聯(lián)系起來?！灸Ｐ脱菥?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質(zhì)量為0.2kg、靜止于A點的滑塊P接觸但不粘連，滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點，壓縮的彈簧儲存的彈性勢能為2.8J，重力加速度取10m/s2，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖上半圓軌道的過程中（）A．可以到達(dá)半圓軌道最高點DB．經(jīng)過B點時對半圓軌道的壓力大小為9NC．不能到達(dá)最高點D，滑塊P能到達(dá)的最大高度為1.35mD．可以通過C點且在CD之間某位置脫離軌道，脫離時的速度大小為2.2m/s1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi)，它和球心O的連線與豎直方向的夾角為30°?，F(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺繞轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動，物塊在球殼內(nèi)始終未滑動，重力加速度大小為g，則（）A．靜止時物塊受到的摩擦力大小為B．若轉(zhuǎn)臺的角速度為，小物塊不受摩擦力作用C．若轉(zhuǎn)臺的角速度為，小物塊受到的摩擦力沿球面向下D．若轉(zhuǎn)臺的角速度為，小物塊受到的摩擦力沿球面向下2．（2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，長度為l的輕繩一端固定在O點，另一端系著一個質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小球在最低點時，獲得一個水平向右的初速度，重力加速度為g，不計空氣阻力。在此后的運動過程中，下列說法正確的是（）A．小球恰好能到達(dá)豎直面內(nèi)的最高點B．當(dāng)小球運動到最右端時，小球所受的合力大小為2mgC．輕繩第一次剛好松弛時，輕繩與豎直方向夾角的余弦值為D．初狀態(tài)在最低點時，細(xì)繩對小球的拉力大小為4mg3．（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，小球m在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，下列說法中正確的有（）A．小球通過最高點的最小速度為B．小球通過最高點的最小速度為零C．小球在水平線ab以上管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力D．小球在水平線ab以下管道中運動時，外側(cè)管壁對小球可能無作用力4．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）如圖所示，一半徑為R的圓環(huán)處于豎直平面內(nèi)，A是與圓心等高點，圓環(huán)上套著一個可視為質(zhì)點的、質(zhì)量為m的小球。現(xiàn)使圓環(huán)繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動，小球和圓環(huán)圓心O的連線與豎直方向的夾角記為θ，轉(zhuǎn)速不同，小球靜止在圓環(huán)上的位置可能不同。當(dāng)圓環(huán)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動且小球與圓環(huán)相對靜止時（）A．若圓環(huán)光滑，則角速度B．若圓環(huán)光滑，則角速度C．若小球與圓環(huán)間的摩擦因數(shù)為μ，且小球位于A點，則角速度ω可能等D．若小球與圓環(huán)間的摩擦因數(shù)為μ，且小球位于A點，則角速度ω可能等于5．（2023上·重慶梁平·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”。其物理原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的小鐵球視為質(zhì)點在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動，A、B兩點分別為軌道上的最高、最低點，鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，重力加速度為g，不計摩擦和空氣阻力，下列說法正確的是（）A．鐵球可能做勻速圓周運動B．鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動時機械能不守恒C．鐵球在A點的速度一定大于或等于D．要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg6.（多選）（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D所示，傾角為的斜面體置于粗糙的水平地面上，斜面上有一質(zhì)量為的滑塊，通過輕繩繞過光滑的滑輪與質(zhì)量為的帶正電的小球（可視為質(zhì)點）相連，滑輪下方有一個光滑的小孔，輕繩與斜面平行。小球在水平面內(nèi)做圓周運動，輕繩與豎直方向的夾角也為。斜面體和滑塊始終靜止，滑塊與斜面的動摩擦因數(shù)為，小球與小孔之間的繩長為，重力加速度為，下列說法正確的是（

）A．斜面體所受到地面的摩擦力大小為mgB．若增大小球的轉(zhuǎn)速，繩子對小孔的作用力減小C．若增大小球的轉(zhuǎn)速，小球能達(dá)到的最大轉(zhuǎn)速為D．若此時在空間加上豎直向下的電場，要使小球的轉(zhuǎn)速不變，則小球到轉(zhuǎn)動中心的距離增大7.（多選）．（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B，，，它們分居在圓心兩側(cè)，與圓心距離為，，中間用細(xì)線相連，A、B與盤間的動摩擦因數(shù)均為＝0.2，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動，，以下說法正確的是（

）A．B的摩擦力先達(dá)到最大B．當(dāng)時，繩子出現(xiàn)張力C．當(dāng)時，A、B兩物體出現(xiàn)相對滑動D．當(dāng)時，A、B兩物體出現(xiàn)相對滑動8.（多選）（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，質(zhì)量為m的電動遙控玩具車在豎直面內(nèi)沿圓周軌道內(nèi)壁以恒定速率v運動，已知圓軌道的半徑為R，玩具車所受的摩擦阻力為玩具車對軌道壓力的k倍，重力加速度為g，P、Q為圓軌道上同一豎直方向上的兩點，不計空氣阻力，運動過程中，玩具車（）A．在最低點與最高點對軌道的壓力大小之差為6mgB．通過P、Q兩點時對軌道的壓力大小之和為C．由最低點到最高點克服摩擦力做功為kπmv2D．由最低點到最高點電動機做功為2kπmv2+2mgR9．（多選）（2023上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)校考階段練習(xí)）在X星球表面宇航員做了一個實驗：如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，小球運動到最高點時，受到的彈力為F，速度大小為v，其圖像如圖乙所示。已知X星球的半徑為，引力常量為G，不考慮星球自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是（）A．X星球的第一宇宙速度B．X星球的密度C．X星球的質(zhì)量D．環(huán)繞X星球的軌道離星球表面高度為的衛(wèi)星周期10.（多選）（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有半徑為R的光滑圓弧軌道ABC，其圓心為O，B點在O的正上方，A、C點關(guān)于OB對稱，。可看成質(zhì)點的物塊自A點以初速度沿著軌道切線方向向上運動，并且能沿軌道運動到B點。已知重力加速度為g，，下列說法正確的有（

）A．若，則物塊在A點初速度可能為B．若，則物塊在A點初速度可能為C．若，則物塊在A點初速度可能為D．若，則物塊在A點初速度可能為11．（多選）（2023上·湖南·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，半圓豎直軌道與水平面平滑連接于B點，半圓軌道的圓心為O，半徑為R，C為其最高點。BD段為雙軌道，D點以上只有內(nèi)軌道，D點與圓心的連線與水平方向夾角為θ，一小球從水平面上的A點以一定的初速度向右運動，能沿圓弧軌道恰好到達(dá)C點。不計一切摩擦。則（）A．小球到達(dá)C點時速度為0B．小球到達(dá)C點后做平拋運動落在地面上C．小球在A點的初速度為D．若小球到達(dá)D點時對內(nèi)外軌道均無彈力，則12．（多選）（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑軌道ABC由直線段AB和圓弧段BC組成，兩段相切于B點，AB段與水平面夾角為，BC段圓心為O，最高點為C、A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點以初速度上軌道，能沿軌道運動恰好到達(dá)C點，下列說法正確的是（

）A．小球從B到C的過程中，對軌道的壓力逐漸增大B．小球A從到C的過程中，重力的功率先增大后減小C．小球的初速度D．若小球初速度增大，小球有可能從B點脫離軌道13.（2023上·湖北·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）生產(chǎn)流水線可以提高勞動效率，下圖是某工廠生產(chǎn)流水線的水平傳輸裝置的俯視圖，它由同一水平面的傳送帶和轉(zhuǎn)盤組成，每間隔0.2秒在A處無初速放一個物品到傳送帶上，物品（可視為質(zhì)點）運動到B處后進(jìn)入勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤表面，隨其做半徑R=2.0m的圓運動（與轉(zhuǎn)盤無相對滑動），到C處被取走裝箱，已知A、B的距離L=6.4m，物品與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ1=0.5，傳送帶的傳輸速度和轉(zhuǎn)盤上與轉(zhuǎn)軸O相距為R處的線速度均為v=2.0m/s，取g=10m/s2，問：（1）物品從A處運動到B處的時間t多大？（2）若物品在轉(zhuǎn)盤上的最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，則物品與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)μ2至少為多大？14．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量為m的茶杯（視為質(zhì)點）放在水平餐桌的轉(zhuǎn)盤上，茶杯到轉(zhuǎn)軸的距離為r，轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動，每秒鐘轉(zhuǎn)n周，茶杯與轉(zhuǎn)盤保持相對靜止。求：（1）茶杯所受的摩擦力大小f；（2）每轉(zhuǎn)半周茶杯的動量變化量大小。15.（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，在豎直平面內(nèi)，固定有半徑R1=1m和半徑R2=0.3m的光滑圓形軌道，他們軌道弧長分別占圓周的和，圓軌道與水平軌道分別相切于B點和D點，且平滑連接。某時刻，讓質(zhì)量為m1=0.1kg，不帶電的絕緣小滑塊P從A點靜止釋放，經(jīng)圓軌道滑至B點，從B點進(jìn)入水平軌道，與靜止在C點的帶電小滑塊Q發(fā)生彈性碰撞，滑塊Q的質(zhì)量為m2=0.1kg，電荷量為q=+1C。整個過程中滑塊Q的電荷量始終保持不變，滑塊P、Q均可視為質(zhì)點，與水平軌道BC間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.1，BC間距x=2m，CD段光滑。滑塊Q從D點進(jìn)入光滑軌道DMN時，此時加入水平向右范圍足夠大的勻強電場，場強大小。已知重力加速度g=10m/s2。求：（1）小滑塊P剛到滑道最低點B時對圓軌道的壓力；（2）小滑塊P與小滑塊Q碰撞后Q的速度大小為多少？（3）通過計算判斷當(dāng)Q進(jìn)入光滑絕緣半圓軌道DMN后是否會脫離軌道？若不會，則求經(jīng)過N點的速度大?。蝗魰?，試求Q離開半圓軌道時的速度大小為多少？（計算結(jié)果可用根式表示）16．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量為的小球通過長度為的輕繩懸掛于固定點，現(xiàn)將其拉到某一高處點讓繃直并由靜止釋放，當(dāng)小球擺動到點正下方點時，繩恰好斷掉，之后小球恰好垂直落到斜面上，已知斜面傾角為三點在同一豎直線上，繩能承受的最大拉力為，不計空氣阻力，重力加速度為求：（1）小球到達(dá)點時的速度及釋放點距離點的高度h；（2）小球落到上的位置與的距離s17．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有一款彈球游戲的裝置如圖所示。平臺離地面的高為R，一半徑為R、下端有一小缺口的豎直光滑圓軌道固定在平臺上，圓軌道的最低點與平臺邊緣重合。地面上的彈射裝置將質(zhì)量為m的小球A以一定的速度斜射出，到最高點恰好射入平臺，與放在圓軌道最低點的半徑等大的小球B相撞。已知小球A與B碰撞前的速度大小，其中g(shù)為重力加速度。忽略空氣阻力、小球的大小以及彈射裝置的高度。（1）求彈射裝置與平臺邊緣的水平距離s；（2）若在B上附著橡皮泥，球和泥總質(zhì)量為m，兩球碰撞后共同運動，求碰撞過程中損失的機械能E；（3）若小球B的質(zhì)量為，A、B的碰撞為彈性碰撞，碰撞后立即撤去球A，將小缺口補上，變成完整的圓軌道，要使球B被碰后始終沿圓道運動，求的范圍。18．（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）粗糙水平地面與半徑的光滑半圓軌道平滑連接，且在同一豎直平面內(nèi)，是的圓心。質(zhì)量的小物塊在的水平恒力的作用下，從A點由靜止開始做勻加速直線運動。在運動到半圓軌道上的點時撤去恒力。（小物塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)，）求：（1）若，小物塊運動到半圓軌道上的點時，軌道對它的支持力的大?。唬?）若小物塊恰好能運動到半圓軌道上的點，則間的距離多大。19．（2023上·陜西西安·高三?？计谥校┤鐖D所示，水平粗糙軌道OB與處于豎直平面內(nèi)的半圓形光滑軌道BC平滑連接，半圓的直徑與地面垂直，半圓形光滑軌道半徑。一質(zhì)量的小物塊（可視為質(zhì)點）將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，小物塊恰好通過C點，并落回至A點，小物塊與地面間的動摩擦因數(shù)，重力加速度。（1）求A、B兩點間的距離；（2）求彈簧被壓縮至A點時的彈性勢能；（3）若改變半圓