河北省滄州鹽山中學(xué)2018-2019高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷

20182019學(xué)年下學(xué)期期中考試試卷高二理科數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。第Ⅰ卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）復(fù)數(shù)的虛部是（）A.i B.1 C.i D.1在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是

A. B.

C. D.（）聊齋志異中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則A.7 B.35 C.48 D.63用三段論演繹推理：“復(fù)數(shù)都可以表示成實(shí)部與虛部之和的形式，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部是2，所以復(fù)數(shù)z的虛部是3i”對(duì)于這段推理，下列說法正確的是

A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D.推理沒有問題，結(jié)論正確用反證法證明命題：“a，b，c，，，，且，則a，b，c，d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為A.a，b，c，d全都大于等于0 B.a，b，c，d全為正數(shù)

C.a，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù) D.a，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）A.48 B.72 C.90 D.962017年離考考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練考試結(jié)束后，對(duì)全市的英語(yǔ)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)英語(yǔ)成績(jī)的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N（95，82）的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)柚取的4名高三同學(xué)中，恰有2名冋學(xué)的英語(yǔ)成績(jī)超過95分的概率是（）A. B. C. D.在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）.A. B.7 C. D.28事件A，B相互獨(dú)立，它們都不發(fā)生的概率為，且，則=（）A. B. C. D.小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A＝“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件B＝“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P（A|B）＝（）A. B. C. D.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A.28 B.49 C.56 D.85已知（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），則a12a2+3a34a4+…2016a2016+2017a2017=（）A.2017 B.4034 C.4034 D.0請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）設(shè)隨機(jī)變量X～B（3，），隨機(jī)變量Y＝2X＋1，則Y的方差D（Y）＝________．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的傾斜角大小為_________某學(xué)校組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，且，則式子的最小值為

．將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開,當(dāng)n=0,1,2,3,…時(shí),得到以下等式:(x2+x+1)0=1,(x2+x+1)1=x2+x+1,(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,……觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系,可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角,其構(gòu)造方法:第0行為1,以下各行每個(gè)數(shù)是它正頭頂上與左右兩肩上3個(gè)數(shù)(不足3個(gè)數(shù)的,缺少的數(shù)記為0)的和,第k行共有2k+1個(gè)數(shù),若(x2+x+1)5(1+ax)的展開式中,x7項(xiàng)的系數(shù)為75,則實(shí)數(shù)a的值為____.

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）(10)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)z=a22a+（a23a+2）i．

（1）為純虛數(shù)；

（2）為實(shí)數(shù)；

（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．18.(12)

觀察下列式子：（Ⅰ）由此猜想一個(gè)一般性的結(jié)論；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.19.(12)設(shè)過原點(diǎn)O的直線與圓（x4）2+y2=16的一個(gè)交點(diǎn)為P，M點(diǎn)為線段OP的中點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C上，求△OAB面積的最大值．

20.(12)2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購(gòu)．為拓展市場(chǎng)，某調(diào)研組對(duì)甲、乙兩個(gè)品牌的共享單車在5個(gè)城市的用戶人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：城市品牌ⅠⅡⅢⅣⅤ甲品牌（百萬(wàn)）438612乙品牌（百萬(wàn)）57943（Ⅰ）如果共享單車用戶人數(shù)超過5百萬(wàn)的城市稱為“優(yōu)質(zhì)潛力城市”，否則“非優(yōu)”，請(qǐng)據(jù)此判斷是否有85%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)潛力城市”與共享單車品牌有關(guān)？（Ⅱ）如果不考慮其他因素，為拓展市場(chǎng)，甲品牌要從這5個(gè)城市中選出3個(gè)城市進(jìn)行大規(guī)模宣傳．（ⅰ）在城市Ⅰ被選中的條件下，求城市Ⅱ也被選中的概率；（ⅱ）以Ｘ表示選中的城市中用戶人數(shù)超過5百萬(wàn)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．下面臨界值表供參考：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，n＝a+b+c+d．

21.(12)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲線C的左焦點(diǎn)F在直線l上．(1)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|·|FB|的值；(2)求曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值．

22.(12)隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國(guó)擁有世界上最大的快遞市場(chǎng).某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，在收費(fèi)10元的基礎(chǔ)上，每超過（不足，按計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，其余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？

答案和解析1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.D8.B9.C10.A11.B

12.C

【解析】解：∵（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），

∴2×2017（12x）2016=a1+2a2（x1）+…+2017a2017（x1）2016，

令x=0，則4034=a12a2+3a34a4+…2016a2016+2017a2017，

故選：C．

對(duì)（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），兩邊求導(dǎo)，取x=0即可得出．

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.【答案】14.【答案】15.【答案】18

16.【答案】1

【解答】

根據(jù)題意可得廣義楊輝三角第5行為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,

故(1+ax)(x2+x+1)5的展開式中,x7項(xiàng)的系數(shù)為30+45a=75,得a=1.

故答案為1.17.【答案】解：（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則由，得，即a=0．

（2）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則a23a+2=0，得a=1或a=2．

（3）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

則，

即，解得a＜0或a＞2．

【解析】18.【答案】（Ⅰ）解：∵1+＜，1+＜，1++＜，∴一般性結(jié)論：1++…+＜;

（Ⅱ）證明:①時(shí)，左右，猜想成立；②假設(shè)時(shí)猜想成立，即則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，猜想也成立.綜上:由①②可知，猜想成立.

【解析】本題考查歸納推理及用放縮法和數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

（Ⅰ）根據(jù)題意可猜想出1++…+＜;

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法，放縮法即可證明.19.【答案】解：（Ⅰ）設(shè)M（ρ，θ），則P（2ρ，θ）

又點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ

∴2ρ=8cosθ，

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，，k∈Z．

（Ⅱ）直線OA的直角坐標(biāo)方程為

點(diǎn)（2，0）到直線的距離為：，

∴△OAB面積的最大值．

【解析】

（Ⅰ）設(shè)M（ρ，θ），則P（2ρ，θ），由點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ，能求出點(diǎn)M的軌跡C的極坐標(biāo)方程．

（Ⅱ）直線OA的直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)（2，0）到直線的距離為：，由此能求出△OAB面積的最大值．

本題考查點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．20.【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)質(zhì)城市單車品牌優(yōu)質(zhì)城市非優(yōu)質(zhì)城市合計(jì)甲品牌（個(gè)）325乙品牌（個(gè)）235合計(jì)5510所以,

所以沒有85%的理由認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)潛力城市”與共享單車品牌有關(guān);

（Ⅱ）(i)令事件C為“

城市

Ⅰ被選中”；事件D為"城市

Ⅱ被選中”，

則,

所以;

(ii)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，

故X的分布列為：X123P∴數(shù)學(xué)期望.

【解析】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用及超幾何分布,分布列和數(shù)學(xué)期望及條件概率．

(Ⅰ)根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測(cè)值，利用觀測(cè)值同臨界值表進(jìn)行比較，K2=0.4＜2.706，即可得結(jié)論;

(Ⅱ)(i)由條件概率公式求解即可;(ii)由題意求得X的取值1，2，3，運(yùn)用排列組合的知識(shí)，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式計(jì)算即可得到（X）．

21.【答案】解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+3y2=12，即．

∴曲線C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為．

∵在直線l上，

∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．

將直線l的參數(shù)方程代入x2+3y2=12得：t22t2=0，

∴|FA|?|FB|=|t1t2|=2．

（2）由曲線C的方程為＋＝1，

可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P(2cosθ，2sinθ)，

則以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為:

4×(2cosθ＋2sinθ)＝16sin，

因此該內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為16.

【解析】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，函數(shù)的最值，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．

（1）求出曲線C的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出；

（2）可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P(2cosθ，2sinθ)，則以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為:4×(2cosθ＋2sinθ)＝16sin?，求出此函數(shù)的最大值．22.【答案】解：（1）樣本中包裹件數(shù)在101～300之間的天數(shù)為36，頻率f==，

故可估計(jì)概率為，

顯然未來5天中，包裹件數(shù)在101～300之間的天數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

即X～B，故所求概率為=；

（2）①樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：kg）（0，1](1,2](2,3](3,4](4,5]快遞費(fèi)（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為：=15，

故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元．

②根據(jù)題意及①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加15（元），

若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：

包裹件數(shù)范圍

0～100101～200

201～300

301～400

401～500

包裹件數(shù)（近似處理）

50

150

250

350

450

實(shí)際攬件數(shù)

50

150

250

350

450

頻率

0.1

0.1

0.5

0.2

0.1

EY

50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為26