高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)22：函數(shù)綜合運(yùn)用

基礎(chǔ)夯實(shí)練22函數(shù)綜合運(yùn)用

一、利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題

1.己知函數(shù)y(x)=(χ-2)e*.

⑴求為)在［—1,3］上的最值;

(2)若不等式OX2對Xe［2,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2.(2023?鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)y(x)=Hnx~x(a∈R).

⑴求函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)4>0時(shí)，設(shè)g(x)=χ-Inx—1,若對于任意x∣,X2e(0,+o°),均有y(x1)<g(x2),求。的

取值范圍.

3.(2023?福州模擬)已知函數(shù)∕x)=xlnx.

⑴求曲線y=Ax)在點(diǎn)(1,y∪))處的切線方程；

(2)當(dāng)x2l時(shí)，/(x)Wav2—“，求4的取值范圍.

4.已知函數(shù)yU)=e2?r一Or(α∈R),e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求函數(shù)7U)的極值；

(2)若關(guān)于X的不等式x+W∣Wyα)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

I.已知函數(shù)yU)=0x+xlnx,且曲線y="r)在點(diǎn)(e,火?))處的切線與直線4x—y+1=O平行.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，y(x)>4χ-3.

2.(2023?淄博模擬)已知函數(shù)外)=F-χ-l.

(1)求函數(shù)火幻的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當(dāng)x20時(shí)，求證：J(x)+x+1≥2χ2+cosx?

3.己知函數(shù)於)=xlnχ一如

(1)當(dāng)a=-1時(shí)?，求函數(shù)/(x)在(O,+8)上的最值;

12

(2)證明：對一切x∈(O,+∞),都有Inx+1>產(chǎn)一其成立.

4.(2022?新高考全國∏)已知函數(shù)兀O=Xetu-e?

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論犬X)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，火x)<-l,求a的取值范圍；

⑶設(shè)"eN*'證明：√?+√fc+?"+√?7'nω+1^

三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

Inx~?~fix

1.(2023?濟(jì)南質(zhì)檢)已知函數(shù)式X)=T?產(chǎn),a∈R.

(1)若α=0,求人處的最大值；

⑵若0<α<l,求證：信)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

2.函數(shù)凡r)=αr+xlnx在x=l處取得極值.

(1)求y(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若y=/(x)一機(jī)一1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.

3.(2022?河南名校聯(lián)盟模擬)已知./(X)=。-1)e?—孑？+?ɑ(ɑ∈R).

(1)若函數(shù)40在［0,+8)上單調(diào)遞增，求”的取值范圍；

(2)當(dāng)a≤e時(shí)，討論函數(shù)兀V)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4.(2022?全國乙卷)已知函數(shù)y(x)=αχ-1―(α+l)lnx.

(1)當(dāng)α=0時(shí),求式x)的最大值；

(2)若?r)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

四、隱零點(diǎn)與極值點(diǎn)偏移問題

1.已知函數(shù)fix)=^ax2—(2a+l)x+2lnx(a∈R).

⑴當(dāng)AO時(shí)，求函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)〃=0時(shí)，證明：八])<2^一十一4.(其中6為自然對數(shù)的底數(shù))

2.設(shè)fix)=XGx-1W(2,7H∈R.

(1)設(shè)8。)=/(九)一2加￥,當(dāng)〃?>0時(shí)，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)人x)在(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn)X],χ2,證明：χ1+χ2>2.

參考答案

一、利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題

1.解(1)依題意/(x)=(χ-l)ex,

令/(x)=0,解得x=l,

當(dāng)x<l時(shí)，/(x)<0;

當(dāng)Ql時(shí)，/(x)>0,

.?√(x)在［-1,1)上單調(diào)遞減，

在(1,3］上單調(diào)遞增，

而y(l)=-e,火3)=e3,

Λ-i)=-∣

.?√(x)在［―1,3］上的最小值為一e,最大值為e3.

(2)依題意，2(x—2)er+24x≥0χ2在［2,+8)上恒成立.

當(dāng)x=2時(shí)，4a>4a,Λa∈R;

當(dāng)x>2時(shí)，原不等式化為〃片葺=子

令g(χ)=?eq?

.2χ-Iex

則πg(shù)'(x)=-p

?'x>2,.?.g'(x)>O,

...g(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增，

?'?g(x)>g(2)=ei,.*.α<e2,

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是(一如e2］.

2.解(1)函數(shù)TU)=HnX-X("∈R)的定義域?yàn)?0,+∞),

a-χ+a

??∕(χ)=LΜ，

①當(dāng)好0時(shí)，/(x)<O恒成立，

；?函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(O,+∞);

②當(dāng)4>0時(shí)，由/(x)=0,

解得X=G

當(dāng)x∈(0,4)時(shí)，/(x)>O,

當(dāng)xC(α,+8)時(shí)，f(x)<O,

函數(shù)Kr)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,a),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,+∞).

綜上可得，當(dāng)“或時(shí)，人月的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)a>0時(shí)，_Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

a),單調(diào)遞減區(qū)間為(4,+∞).

(2)由己知，

轉(zhuǎn)化為yU)max<g(x)min?

由(1)知，當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)T(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),單調(diào)遞減區(qū)間為(ɑ,+∞).

故iX)的極大值即為最大值，

危)InaX=刎

=Hna—a,

1X—?

?.?g(x)=χ-Inx—1,貝)g'(x)=1—叫=?Y，當(dāng)0<Λ<1時(shí)，g<x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g<x)>0,

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

故g(x)的極小值即為最小值，

?'?g(x)min=g(l)=0,

.".r∕lna-a<0,即Ina-I<0,

解得0<a<e.

.?.α的取值范圍為(0,e).

3.解(1?(X)=InX+1,/(1)=1,

又J(I)=0,

故兀0在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x—1.

(2)當(dāng)XNl時(shí)，令g(x)=xlnx—a(x2-1),

得g(D=O,g,(x)-lnx+1~2ax,

令/?(x)=Inx+1~2ax,

.11~2ax

則mh'(x)=--2a=~~~--.

①若α≤0,得"(x)>0,

則gQ)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

故g'(x)洗'(D=l-2"≥0,

所以g(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞增，

所以g(x)≥g(l)=O,

從而XlnX—α(Λ2-1巨0,不符合題意；

②若”>0,令"(X)=0,得X=/

(i)若0<α<∣,則方>1，

當(dāng)Xe°，方時(shí)，∕7'(χ)>0,

g'(χ)在(1，燈上單調(diào)遞增，

從而g'(x)>g'⑴=1-2a>0,

所以g(x)在［1,上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(x)≥^(l)=O,不符合題意；

(ii)若α≥∣,

則,"(X)W°在U，+8)上恒成立，

所以gU)在［1,+oo)上單調(diào)遞減，g<%)H⑴=1—2把0,

從而g(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞減，

所以g(x)≤g(D=0,

所以JdnX—〃。2—1)Wo恒成立.

綜上所述，〃的取值范圍是仕，+∞).

4.解(1)；/(X)=e2x-0χ,

Λ∕(x)=2e2γ-a,

當(dāng)區(qū)0時(shí)，/(x)>0,於)單調(diào)遞增，函數(shù)段)無極值.

當(dāng)公>0時(shí)，令，(x)=0,得2e2x-α=0,

得X=TIn冬

易知當(dāng)x∈(-8,3n?時(shí)，/(x)<0,危)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(gln令+8)時(shí)，/(χ)>0,/(x)單調(diào)遞增，

ln

?7/W的極小值為/gn?=J22—6∕×∣∣n^=~--ln^,危)無極大值.

綜上,當(dāng)a<0時(shí),左)無極值;

當(dāng)α>0時(shí)，危)的極小值為fin?,7U)無極大值.

(2)E?得，

elx-ax>a?nx-ax+^a,

整理得e2x-Hnx—%≥0.

令Λ(x)=e2r-tz?nχ-^U>0),

則∕z(x)≥O恒成立，h,(x)=2elv—~(x>O),

當(dāng).<O時(shí)，h,(x)>O,MX)單調(diào)遞增,

且當(dāng)χτθ'時(shí)，Λ(x)<O,不滿足題意.

當(dāng)〃=O時(shí)，Λ(x)=e2v>0,滿足題意.

.Inx÷^?

當(dāng)a>0時(shí)，由?(x)>0^?->e2.v.

Inx÷^

令Pa)=~/?一，

[?e2x-2(InX+^Jelv?-21nχ-1

則p,(x)—尹=靜，

令q(%)=1-21nX—l(x>O),

12

則d(X)=-F—1<0,，依)單調(diào)遞減，

又夕(D=0，

故當(dāng)XW(0』)時(shí)，^(x)>0,

即p'α)>o,Pa)單調(diào)遞增，

當(dāng)X∈(l,+8)時(shí)，式尤)<0,

即P3<O,Pa)單調(diào)遞減,

?*?P(X)max=P(I)=2e2,

????,即OVqW2e2.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[0,2et

二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

L⑴解#r)的定義域?yàn)?O,+∞),f(x)=lnx+l+af

由題意知，/(e)=2+4=4,則。=2.

(2)證明由(1)知，J(x)=2x+x?nχ9

令g(x)=∕x)—(4χ-3)=xlnx~2x+3,

則g'(x)=Inx-I,

由Inχ-1>0得x>e,

由InX-I<0得0<r<e,

故g(x)在(O,e)上單調(diào)遞減，

在(e,+00)上單調(diào)遞增，

?,?g(x)min=g(e)=3—e>0,

即g(x)>0,即yζr)>4χ-3.

2.(1)解易知函數(shù)T(X)的定義域?yàn)镽,

VΛx)=e'-χ-l,

,?√(x)=e'-l,

令/(x)>0,解得x>0,7U)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令/(x)<0,解得x<0,KX)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

叩式X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),

???函數(shù)加)的極小值為Ho)=0,無極大值.

(2)證明要證y(x)+x+l≥++cosx,

即證e'-IV2—cosx>0,

設(shè)g(x)=ev-CoSX,要證原不等式成立，即證g(x)K)成立,

,.,?,(x)=ev-x÷sinx,sinx>—1,

/.g,(x)=ev-x÷sinJt>e'-Λ-I

(當(dāng)且僅當(dāng)X=-T+2Aπ,&GZ時(shí)等號成立)，

由(1)知，Μ一乂一吐0。=0時(shí)等號成立)，

.?.∕(x)>0,.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

二在區(qū)間［O,+oo)上，

g(x)≥趴O)=0，

當(dāng)JC>O時(shí)，/(x)÷x÷l≥^x2÷cosJtWiiE.

3.(1)解函數(shù)兀T)=XInx—ax的定義域?yàn)?0,+∞),

當(dāng)”=—1時(shí)，式X)=XlnX+x,

/(x)=Inx+2,

由/(x)=0,得X=/，

當(dāng)O<x<AB't,/(x)<0;

當(dāng)Q玄時(shí)，/(Λ)>0,

所以yu)在(o,J上單調(diào)遞減，在值，+8)上單調(diào)遞增，

因此兀V)在X=A處取得最小值，即y(X)min=/(3)=-E，無最大值.

(2)證明當(dāng)QO時(shí)，

12

lnx+l>Q—不

γ2

等價(jià)于X(Inx+l)>-FT-?,

ec

由(1)知，當(dāng)Q=-I時(shí)，

√U)=xlnX+Λ>-^2，

當(dāng)且僅當(dāng)X=E時(shí)取等號，

X2

設(shè)Ga)=KTXW(0,+∞),

VC

1—Y

則Ga)=GT?，

易知G(x)max=G(l)=一±,

12

當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)取到，從而可知對一切無G(o,+∞),都有於)>G(x),即InX+1>最萬一/

4.⑴解當(dāng)“=1時(shí)，

Λ0=(χ-l)ev,x∈R,

則/(x)=xd,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,

當(dāng)QO時(shí)，F(xiàn)(X)>0,

故式X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+⑼上單調(diào)遞增.

(2)解設(shè)∕?(X)=Xe"-e'+l,

則∕ι(0)=0,

又"(x)=(l+ax)eux-ev,

設(shè)gθ)=(l÷0r)eav-ev,

則g?x)=(2a+a2x)eax~ex,

若W,

則g<0)=2a—1>0,

因?yàn)間。)為連續(xù)不間斷函數(shù),

故存在依￡(0,+s),

使得VX￡(0,XO),總有g(shù)'(x)>0,

故g(x)在(O,Xo)上單調(diào)遞增，

故g(Ag(O)=O,

故∕ι(x)在(0,m)上單調(diào)遞增，

故MX)>∕z(0)=0,與題設(shè)矛盾.

若0<6Z≤^,

則h?x)=(1+czx)ear-ev

—gθΛ÷ln(l÷αv)_gv

下證：對任意x>0,

總有l(wèi)n(l+^)<r成立，

證明：設(shè)Sa)=In(I+x)-χ,x>0,

1~~X

故S3=RT∣=r<0,

故S(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故S(X)<S(0)=0,

即In(I÷x)<x成立.

由上述不等式有片+31+m)-e'<ear+ai-eA=e2αr-ev<0,

故h?x)<0總成立，

即在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以∕7(x)<∕z(0)=0,滿足題意.

若a<0,則h'(x)=eax-ex+axeM<\-1+0=0,

所以∕7(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以∕z(x)<∕z(O)=O,滿足題意.

綜上，a≤2-

(3)證明取a=/

?

則Vx>0,總有其于-ex+KO成立，

?

令Z=/,則Pd,Z2=ex,x=21n6

故2∕lnr<Z2-1,即21n/<7—：對任意的A恒成立.

所以對任意的〃∈N*,

有2卡<行一岳

整理得ln(w+l)-Inn<-j===1

故舟+盧+…+擊"hl2^'n1+ln3^,n2+

.÷ln(n÷1)—Inn

=ln(π+l),

故不等式成立.

三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

1.(1)解若α=0,則XX)=乎，其定義域?yàn)?0,+∞),

1-Inx

.VW=

由/(x)=°,得x=e,

當(dāng)O<x<e時(shí)，/(x)>0;

當(dāng)x>e時(shí)，/(x)C0,

.?√(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

?*?Λx)max=Λe)=∣.

(2)證明/(X)=-T-÷6tJ]χ--ln---χ----a---x=一11^，

由⑴知，於)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

V0<a<l,

.?.當(dāng)x>e時(shí),

C?nx+ax,Inx

fix')=---=〃+丁。λ

故7U)在(e,+8)上無零點(diǎn)；

-Inx+ax

當(dāng)OVX<e時(shí)l，fix)=,

；昭)="-e<0,

Xe)=tz+∣>O,

且y(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

.?√(x)在(0,e)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),

綜上，y(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

2.解(Iv(X)的定義域?yàn)?O,+oo),f(x)=a+?nx+l,

由了(l)="+l=O,解得a=-1.

則式X)=一x+xlnX,

.V(X)=In%,令F(X)>0,解得x>l;令F(X)<0,解得Oa<1.

，府)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)y=∕(x)一機(jī)一1在(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則函數(shù)y=Λx)與)，=加+1的圖象在(O,+oo)內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

由(1)知，人X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,KX)min=ΛD=-1,Xe)=0,

作出兀V)圖象如圖.

由圖可知，當(dāng)一BP—2<w<-1時(shí)，y=yU)與y=，〃+1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

因此實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是(一2,-1).

3.解(1)∕(x)—(χ-1)et-∣tu3+∣a,

則/(x)=x(e*一分).

；函數(shù)人X)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

.?.∕(x)-Xer-a%)≥0在［0,+8)上恒成立，

則ej-ar>0,x>0.

當(dāng)X=O時(shí)，則IK),即a∈R;

當(dāng)x>0時(shí)，貝IJ6F<p

構(gòu)建^(x)=γU>0),

X—?e'

貝Ug'(x)=F-(X>0)，

令gtr)>O,則x>l,

令g,(x)<0,則081,

.?.g(x)在((U)上單調(diào)遞減，

在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)≥g(l)=e,

.*.a<ef

綜上所述，“We.

令段)=0,

則x=I或ex-?ɑ(?2+^+1)=0,

對于ev-^(x2÷x÷1)=0,

x

eI

即RT卞

構(gòu)建貽)j?Γ

LlXr-IeJ

則∕7'(x)=f+χ+12,

令"(x)>0,則x>l或XV0,

令"(x)<0,貝∣Jθ<x<l,

.?.Mx)在(-8,0),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

A(O)=I,Λ(x)>0,

當(dāng)x∈R時(shí)恒成立，

e?r1

則當(dāng)a=e時(shí)，p+t+]=]〃有兩個(gè)根x∣=l,X2<0；

當(dāng)0<?<e時(shí)，w；+]=Ta只有一個(gè)根X3<0;

e'1

當(dāng)‘區(qū)°時(shí)'F+x+I=￥無根.

綜上所述，當(dāng)?<o時(shí)，y(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<4We時(shí)，KX)有兩個(gè)零點(diǎn).

4.解(1)當(dāng)α=0時(shí)，

貝幻=-F-InMX>0)，

所以/(x)='_1='A

當(dāng)x∈(0,l)時(shí)，/(x)>0,KX)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(l,+oθ)時(shí)，/(x)<0,7U)單調(diào)遞減，

所以7(x)max=T(I)=-I.

1〃+1Cix—l?—1

(2)由次X)=OX一(“+I)InX(X>0),得/(x)=。+?-^~=---?------(x>0).

當(dāng)α=。時(shí)，由(1)可知，兀r)不存在零點(diǎn)；

當(dāng)“<0時(shí)，

/(X)=

當(dāng)x∈(θ,i)時(shí)，∕α)>o,yU)單調(diào)遞增，

當(dāng)χ∈(l,+00)時(shí)，f(x)<Q,火x)單調(diào)遞減,

所以“r)max=yθ)=α-1VO，

所以式X)不存在零點(diǎn)；

當(dāng)α>0時(shí)，

F(X)=

當(dāng)α=l時(shí)，/(Λ-)≥0,

犬X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?U)=。-I=0，

所以函數(shù)1X)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>l時(shí)，0<:<l,故y(x)在(0,0，(1,+8)上單調(diào)遞增，在七，1)上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇髄)=α-l>0,

所以刁U)>0,

當(dāng)x-θ+時(shí)，段)一一8,由零點(diǎn)存在定理可知y(x)在(0,上必有一個(gè)零點(diǎn)，所以α>l滿足

條件，

當(dāng)0<“<l時(shí)，3>1,故段)在(0,1),&+oo)上單調(diào)遞增，在(1,0上單調(diào)遞減.

因?yàn)槭絣)=α-l<0,

所以，C)<#)<0，

當(dāng)x?→+oo時(shí)，y(x)一+oo,由零點(diǎn)存在定理可知外)在(1,+8)上必有一個(gè)零點(diǎn)，即0<α<l

滿足條件.

綜上，若"r)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍為(0,+∞).

四、隱零點(diǎn)與極值點(diǎn)偏移問題

1.(1)解九x)的定義域?yàn)?0,+∞),

,2aχ-lx~2

/(x)=6fA-(2α+1)+-=-------------

當(dāng)0<*2,即懸時(shí)，於)在(0,5)，(2，+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)\=2,即a=；時(shí)，/(x)K),?r)在(0,+吟上單調(diào)遞增.

當(dāng)1>2,即0<a，時(shí)，火x)在(0,2),&+—上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)懸時(shí)，段)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,》(2,+∞);

當(dāng)時(shí)，加)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);

當(dāng)0<“<|時(shí)，,/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),&+∞).

(2)證明當(dāng)a=0時(shí)，由βx)<2er-χ-4化簡得er-lnχ-2>0,

構(gòu)造函數(shù)Λ(jt)=ev-InX—2(x>0),

Λ,(x)=ev-?,令g(x)="(x),則gXr)=eλ+J>O,"㈤在(0,十⑹上單調(diào)遞增，

&-2<0,ft,(l)=e-1>0,

故存在w∈Q,1),使得"(M)=0,即e"=?.

當(dāng)x∈(0,沏)時(shí),λ,(x)<O,MX)單調(diào)遞減;

當(dāng)XW(X0，+8)時(shí)，∕7,(χ)>0,〃(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)X=M時(shí)，"(X)取得極小值，也是最小值.

λ(x)min=A(Xo)=e'r°—Inxo-2=7-In——2=J+xo-2>21/l“o—2=0,