高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊《8 空間直線、平面的垂直》同步練習(xí)（含解析）

人教A版（2019）必修第二冊《8.6空間直線、平面的

垂直》同步練習(xí)

-、單選題（本大題共12小題，共70分）

1.（6分）在長方體ABCD-4ιBιG5中，AB=3,AD=4,AA1=2,則異面直線

AC和BCl所成角的余弦值是（）

λ8√So4√5?8√Sr.4√S

A.O.C.U.

255525

2.（6分）如圖圓錐的高So=8，底面直徑AB=2,C是圓。上一點(diǎn)，且AC=I,則

SA與BC所成角的余弦值為（）

AmB.3C-D.i

4343

3.（6分）已知在長方體ABCD-AlBlelDl中，且AB=3,AD=ΛΛ1=4,若M是CCl

的中點(diǎn)，則異面直線4M與AD所成角的余弦值為（）

a√6?>[2L4√29n2√29

A.—D.—V.--------U.-------

29292929

4.（6分）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，已知PAI底面ABCD,且底面ABCD為矩

A.平面PAB_L平面PADB.平面PAB_L平面PBC

C.平面PBC平面PCDD.平面PCDI45F6ffiPAD

5.（6分）正六棱柱ABCDEF-4816。遂10的底面邊長為1,側(cè)棱長為或，則這個(gè)棱

柱側(cè)面對角線ElD與BCl所成的角是（）

A.90oB.60oC.45oD.30°

o

6.（6分）在直三棱柱ABC-&BiCl中，ZABC=90,AB=2,BC=CC1=1,則異

面直線ABl與BG所成角的余弦值為（）

A-一嚕B.一噂C.*D卓

7.（6分）如圖所示的直三棱柱ABC-AlBlCl中，ZIABC為正三角形，。為底面中心,

E,F分別為CC1，的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

A.OE//平面ABClB.0E∕∕AC1C.AB1平面ACGAID.ABJ.FC

8.（6分）AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與4、B重合），過動(dòng)點(diǎn)C的直線

W;垂直于。0所在的平面，D、E分別是匕4、UC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是0

A.直線DE〃平面ABCB.直線DE1平面UBC

C.DE1VBD.DE1AB

9.（6分）底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱

錐.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為1.側(cè)棱長為2,E為PC的中點(diǎn)，則異

面直線PA與BE所成角的余弦值為（）

10.（6分）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面

圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美如圖.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)

截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的

“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是（）

A.30oB.45oC.60oD.120°

11.（5分）將圖①中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起，得到空間四面

體ABCD（如圖②），則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是（）

AΛ

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

12.（5分）已知正方體ABCD-aB1GD1中，異面直線AC和BG所成的角為（）

A.450B.30oC.60oD.90°

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

13.（5分）已知正四面體ABCD中，E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與AD

所成角的度數(shù)為.

14.（5分）如圖，M是正方體ABCD-面對角線AC上任意一點(diǎn)，則RLM與平

面ABCD所成角。的正切值的取值范圍是.

15.（5分）棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，則直

線AM和CD夾角的余弦值為.

16.（5分）對于直線I,平面α和平面p,給出下列三個(gè)論斷：①a；②a1β;（3）l∕∕β.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)正確的命題，則作

為該命題條件的序號為.

17.（5分）已知點(diǎn)4是以BC為直徑的圓O上異于B,C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABe外一點(diǎn)，

且平面PBC□平面ABC,BC=3,PB=2√2,PC=√5,則三棱錐P-ABC夕卜接球的表面積

為.

Ξ、多選題（本大題共5小題，共25分）

18.（5分）正方體ABCD-&BICiDl的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BBl的中

點(diǎn).則

A.直線。ID與直線AF垂直

B.直線&G與平面AEF平行

C,平面AEF截正方體所得的截面面積為J

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

19.（5分）如圖，S是圓鏈的頂點(diǎn)，AB是圓錐底面直徑，點(diǎn)C在圓錐底面圓上，ZlSAB

為正三角形，若AC=2,且tan∕BAC=2,則下列結(jié)論正確的為（）

A.該圓錐的側(cè)面積為10兀B.該圓錐的體積大于6π

C.ACI5PffilSBCD.異面直線AC與SB所成角的余弦值為

√5

IO

20.（5分）已知在三棱錐P-ABC中，AP,AB,AC兩兩互相垂直，AP=5cm,

AB=4cm,AC=3cm,點(diǎn)。為三棱錐P-ABC的外接球的球心，下列說法正確的是

（）

A.球。的表面積為50兀cm2B.異面直線BC與Ao所成角的余弦值為

7√2

50

C.直線Be與平面PAC所成角的正切值為［D.AO1平面PBC

21.（5分）關(guān)于正方體ABCD-AιBιCι5有下列四個(gè)說法，其中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P在直線BCl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-DIPC的體積不變

B.若點(diǎn)P是平面4勺6。1上到點(diǎn)。和CI距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是過公，Dl的

直線

C.當(dāng)點(diǎn)P在線段BCi（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與DC所成角的范圍為［0。,60。］

D.當(dāng)點(diǎn)P在線段BG（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與DlC所成的角一定是銳角

22.（5分）在正方體4BC0-4ιBιG5中，MN分別為4C,AIB的中點(diǎn)，則下列說法

正確的是0

A.MN〃平面4。。遇1B.MN1AB

C.直線MN與平面ABC。所成角為45。D.異面直線MN與。Dl所成角為60。

四、解答題（本大題共6小題，共30分）

23.（5分）如圖1,在平面四邊形ABDC中，AB=2,AC=1,CD=√5,乙4=90。,

⑴求SinO；

(2)將ZBCD沿BC折起，形成如圖2所示的三棱錐。一ABC,AD=2.

(團(tuán))三棱錐D-ABC中，證明：點(diǎn)O在平面ABC上的正投影為點(diǎn)4；

(團(tuán))三棱錐D-ABC中，點(diǎn)E,F,G分別為線段AB,BC,AC的中點(diǎn)，設(shè)平面DEF與平

面DAC的交線為，，Q為I上的點(diǎn).求DE與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍.

24.(5分)如圖，三棱柱ABC-AlBlG中，側(cè)棱1底面ABC,AB=AC=^44=

α,AB1AC,。是棱BBI的中點(diǎn).

(I)證明：平面4DC1平面ADC

(H)求平面&DC將此三棱柱分成的兩部分的體積之比.

25.(5分)在如圖所示的幾何體中，PB∕∕EC,PB=2CE=2,PBI平面ABCD,在平

行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,NBAD=60。.

(I)求證：AC//平面PDE；

(2)求CD與平面PDE所成角的正弦值.

26.(5分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PAJ_底面ABCD,AD∕∕BC,AD=1,

PA=AB=BC=2,M是棱PB的中點(diǎn).

(1)求證：AM//平面PCD；

(2)若NABC=90。，點(diǎn)N是線段CD上一點(diǎn)，且DN=IDC,求直線MN與平面PCD所成

角的正弦值.

27.(5分)如圖，在三棱柱ABC-AlBIG中，側(cè)面441BlBI底面ABC,ZlABC和

AABBi都是邊長為2的正三角形.

(I)過BI作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB,并證明；

(∏)求4G與平面BCClBl所成角的正弦值.

28.(5分)梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD,EF∕∕BD,EF=DE=∣BD,

BD=BC=CD=√2AB=√2AD=2,DE1BC.

(I)求證：DEJL平面ABCD；

(II)求平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值.

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4(4,0,0),C(0,3,0),B(4,3,0),Cl(0,3,2),

—?

.?.AC=(-4,3,0),BCl=(-4,0,2),

→T→—?

ACBC1_16_8√5

cos<AC,BC1>=→→-5×2√5—25

∣AC∣∣FC1∣

二異面直線AC和BG所成角的余弦值是普,

故選：4

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目條件得到點(diǎn)A,C,B,G的坐標(biāo)，再求出后與ZCl夾

角的余弦值，從而得到異面直線Ae和BG所成角的余弦值.

此題主要考查了利用空間向量求異面直線夾角，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A;

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：

/1(0,-1,0),β(0,1,0),S(0,0,√3),C(y,-∣,0),

設(shè)晶的夾角為0,

又A=(0,1,b)，BC=(y,-∣,0),

貝IJCOSe=孕［=一直，

∣AS∣∣BC∣4

即SA與BC所成角的余弦值為名

4

故選：A.

由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及兩空間向量所成的夾角得：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系得：A(O,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,√3),C(y,-∣,0),設(shè)A,辰的夾角為仇又

→→

AS=(0,l,√3).BC=(—,--,0),則COSO=岑￡=一3，即SA與BC所成角的余弦

22∣AS∣∣BC∣4

值為得解.

4

該題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及兩空間向量所成的夾角，屬中檔題.

3.【答案】C:

【解析】解：以。為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為y軸，DDl為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(4,0,0),A(4,0,4),D(0,0,0),C(0,3,0),C1(0,3,4).M(0,3,2)

所以XlM=(-4,3,-2),AD=(-4,0,0),

設(shè)異面直線與AD所成角為0,

→→

則CoSO=默理=4=空竺

HIMIlADlV29×429

???面直線AD與BE所成角的余弦值為鬻.

故選：C.

以D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為y軸，DDl為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則可通過坐標(biāo)

表示出異面直線AlM與AD所成角的余弦值.

此題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間向量的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C;

【解析】

該題考查了面面垂直的判定；一般地，要證面面垂直，只要證線面垂直，進(jìn)一步只要

證線線垂直，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

利用面面垂直的判定定理，對四個(gè)選項(xiàng)分別分析選擇.

解：對于4因?yàn)橐阎狿AJL底面ABCD,且底面ABCD為矩形，

所以PAJ.AB,XAB1AD,PAnAD=4,

所以ABl平面PAD,乂ABU平面PAB,所以平面PABl平面PAD,故A正確:

對于B,已知PAL底面ABCD,且底面ABCD為矩形，

所以PA_LBC,又BC_LAB,PAnAB=4,

所以BCj■平面PAB,BeU平面PBC,所以平面PAB_L平面PBC,故B正確；

對于。，已知PA_L底面ABCD,且底面ABCD為矩形，

所以PAICD,XCD1AD,又PAnAD=4

所以CDI5FffiPAD,又CDU平面PCD,

所以平面PCDL平面PAD,故D正確；

故選C.

5.【答案】B;

【解析】解：連接EiF、FD.

正六棱柱ABCDEF-&BiClDIElFl的底面邊長為1,則EiO=E1F=√3,FD=√3,

則可知NFEm=60°,

故選：B.

由于棱柱側(cè)面對角線ElD與Bel不在同一平面內(nèi)，將兩條直線移到平面內(nèi)，連接EiF、

FD,由EIF〃QB,解三角形即可.

此題主要考查異面直線的角度及余弦值計(jì)算.

6.【答案】C;

【解析】解：如圖所示，連接與AB1相交于點(diǎn)。，取AlCl的中點(diǎn)。，連接OD、

B1D,

???點(diǎn)0和。分別為和ZlCl的中點(diǎn)，??.OD∕∕BC1,

??/DOB1即為異面直線AB】與BCI所成角，

2

在ZoDBl中，OD=卯6=炭BC2+Ccj=OB1=^AB1=∣√∕lβ+BB1=y,

DB1=^A1C1=^,

OD2+o*DBj_

由余弦定理知,cosZ.DOβι=

2.OD.OB1一

???異面直線4當(dāng)與3所成角的余弦值為票

故選：C.

連接&B,與力BI相交于點(diǎn)。，取的中點(diǎn)。，連接OD、當(dāng)0,貝IJoD〃BG，因此

NDOBI即為所求.在AODBl中，結(jié)合勾股定理和余弦定理可求得cos/DOBi，故而得

解.

該題考查異面直線的夾角問題，通過平移的思想，將兩條異面直線平移在一個(gè)平面內(nèi)

是解答該題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D;

【解析】

此題主要考查空間直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)題意作出輔助線，利用線面平行，線面垂直的判定及相關(guān)知識逐一判斷可得.

解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)G,連接GC,GC1,

因?yàn)?。為底面中心，所以。在GC上，且親=2,又因?yàn)镋為CCI的中點(diǎn)，所以最=1,

所以O(shè)E與GCl必相交于一點(diǎn)，從而OE與平面ABCl相交，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€AGu平面ACG4，點(diǎn)Ee平面ACCIOC平面ACCl4],所以O(shè)E與4Q異

面，所以B錯(cuò)誤；

若AB，平面ACCla1，則ABJ.AC,這與ZABC為正三角形矛盾，所以C錯(cuò)誤；

連接GF,由條件知1,AB1GF,AB1GC,所以AB，平面CFG,從而AB，F(xiàn)C,所以

0正確.

故選D

8.【答案】D;

【解析】解：??TB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的動(dòng)點(diǎn)，:4C1BC,

又???VCJL平面4BC,

??.AC1平面VBC,BCjL平面IMC

?：D、E分別是K4,PC的中點(diǎn)，

.-.DE//AC,由線面平行的判定定理，可得。E〃平面4BC,故A正確；

由線面垂直的第二判定理，結(jié)合ACI平面IZBC,DE〃/IC可得DE_L平面UBC,故B正確;

因?yàn)镈EI平面UBC,所以DElyB,所以C正確.故。錯(cuò)誤.

故選：D.

由48是O。的直徑，點(diǎn)C是。。上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圓周角定理可得AC_LBC,又由動(dòng)點(diǎn)C

的直線UC垂直于O。所在平面，可得UC,AC,BC三條直線兩兩垂直，進(jìn)而可得4C1

平面VBC,BCI平面U4C,結(jié)合線面垂直的第二判定定理和線面垂直的性質(zhì)可判斷4,

B的真假；

此題主要考查的知識點(diǎn)雖平面與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面之間的位置關(guān)系，

熟練掌握線面關(guān)系的判定定理及定義是解答的關(guān)鍵.

9.【答案】B;

【解析】解：連接AC,BD,設(shè)ACnBD=。，連接EO,則E0//PA,

.?∕BE0為異面直線PA與BE所成角，

連接PO,可得PO，底面ABCD,貝IJPOJ.BD,

又AC1BD,PO∩AC=0,

??.BDl平面PAC,則BDJ.OE.

:底面邊長為1,OB=4，

???側(cè)棱長為2,二OE=I,

在RtZBOE中，求得BE=Jl2+(y)2=y.

???CosZ-BOE=+=乎.

~2

即異面直線PA與BE所成角的余弦值為日.

故選：B.

連接AC,BD,設(shè)ACnBD=。，連接EO,貝IJEO〃PA,可得NBEO為異面直線PA與BE

所成角，證明BDJ■平面OAC,則BDJ.OE,然后求異面直線PA與BE所成角的余弦值

即可.

該題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

1().【答案】C;

【解析】解：如圖所示，由題可知，四邊形ABEG和CDFE均為正方形，/EFG為正三

角形，

???AB∕∕EG,CD//EF,

??.NGEF或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成角，

???4EFG為正三角形，

?ZGEF=60°.

故選：C.

利用平移的思想，找出異面直線AB與CD所成角，即可得解.

該題考查異面直線夾角的求法，利用平移法找出異面直線所成的角是解答該題的關(guān)鍵,

考查學(xué)生的空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】C:

【解析】此題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、異面直線

的定義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題.解：在四面體ABCD中，AD與BC的

位置關(guān)系是異面垂直.

對于原圖：???AD是等腰直角三角形ABC斜邊BC上的中線，

.?.AD1BC.

在四面體ABCD中，

???AD1BD,ADJLDC,AD∩DC=D,

：.ADI5FffiBCD.

.?.AD1BC.

又AD與BC是異面直線.

綜上可知：在四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是異面垂直.

故選C.

12.【答案】C;

【解析】解：如圖

將BCl平移至ADl處，

NDlAC就是所求的角，乂44DlC為正三角形.

???ZD1AC=60°.

故選：C.

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)兒得到的銳角或直角就是異面直線所成

的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，

屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】45°;

【解析】

根據(jù)正四面體的性質(zhì)，每條棱都相等，相對的棱互相垂直，可借助中位線，平移直線

AD,得到異面直線EF與AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得.

此題主要考查了正四面體中線線位置關(guān)系，以及異面直線所成角的求法，綜合考查了

學(xué)生的識圖能力，作圖能力，以及空間想象力.

解：取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

?.?E,G,F分別為AB,BD,CD的中點(diǎn)，

.?.EG∕∕AD,FG∕∕BC,EG=LAD,FG=iBC,

22

.?.NFEG為異面直線EF與AD所成的角，

四面體ABCD為正四面體，

.?.AD=BC,

?EG=FG,

過點(diǎn)4作AOj_平面BCD,垂足為。，則。為ZBCD的重心，AOlBC,

VDO1BC,AO∩DO=0,

??.BCJ■平面AOD,

???ADU平面AOD,

???BC1AD,

???EG∕∕AD,FG∕∕BC,

???EGJLFG,

在RtAEGF中，vZEGF=90°,且EG=FG,

?ZFEG=45o,

故答案為：45°.

14.【答案】[1,,&];

【解析】

此題主要考查空間中直線與平面所成的角的定義，關(guān)鍵是作出線面角θ,屬基礎(chǔ)題.

解：據(jù)線面角的定義知9=N&MD,而tanθ=笑，

DM

顯然當(dāng)M在A或C點(diǎn)時(shí)，tanθ最小為1.

當(dāng)M在AC中點(diǎn)時(shí)tanθ最大為√Σ,

故答案為[1,,√∑]?

15.【答案】

6

【解析】取BD的中點(diǎn)E,連接AE,ME,易證ME〃CD,所以NAME是直線AM和CD的

夾角，再在/AME中利用余弦定理即可求出結(jié)果.

此題主要考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意空間思維能力的培養(yǎng).

解：取BD的中點(diǎn)E,連接AE,ME,

M,E分別是BC,BD的中點(diǎn)，

?ME∕∕CD,.?.NAME是直線AM和CD的夾角，

???正四面體ABCD的棱長為1,

.?.ME=iCD=?,AE=—,AM=—,

2222

在ZAME中，由余弦定理可得COSNAME=

2A咒M×M了E

即直線AM和CD夾角的余弦值為

6

故答案為：?.

6

16.【答案】①③；

【解析】解：由3α,a?Lβ,得，UB或l∕∕β,即①②不能推出③；

由a,β,l∕∕β,可得ZUa或l〃a或I與a相交，相交也不一定垂直，即②③不能推出①；

由1〃|3,可得0內(nèi)必有直線/〃1,而Zla,則ria,可得β!a,即a1β,即①③能夠推

出②.

故答案為：①③.

由題干中給出的三個(gè)論斷依次取兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論依次分析得答案.

此題主要考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空

間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】10π;

【解析】

該題考查了三棱錐的外接球的表面積，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用正余弦定理

是解答該題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

由。為dABC外接圓的圓心，且平面PBCI平面ABC,過。作面ABC的垂線2,則垂線/

一定在面PBC內(nèi)，可得球心Oi一定在面PBC內(nèi)，即球心Oi也是ZPBC外接圓的圓心，在

4PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半徑R,進(jìn)而求得外接球表面積.

解：因?yàn)椤閆IABC外接圓的圓心，且平面PBCJL平面ABC,

過。作面ABC的垂線則垂線/一定在面PBC內(nèi)，

根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線I上，

即球心Oi也是APBC外接圓的圓心，

在ZPBC中，由余弦定理得CoSZPBC=PBmPC2=乎,

ZDI,?DC2

???sinB=—,

2

由正弦定理得：1?=2R,解得R=",

SinB2

???三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4π∕?2=10π,

故答案為10π.

18.【答案】BC;

【解析】

此題主要考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系與判定，屬于中檔題.

A,D易于判斷，B可以作平面，使平面&MG//平面AEF,由面面平行的性質(zhì)定理即可,

C選項(xiàng)，分析出：截面是梯形至關(guān)重要.

解：?：D1D∕∕CC1,顯然AF與CCl不垂直，故4錯(cuò)誤；

取BICl的中點(diǎn)M,連接GM,A1M,則EF∕∕GM,GMU平面&MG,EFC平面&MG,

故EF//平面A11MG,

同理可得AE〃平面AlMG,又AE∩EF=E,AE,EFU平面AEF,

.?.平面4MG//平面AEF,A1GU平面41MG,二直線4G與平面AEF平行,故B正確；

???平面AEF截正方體所得的截面為AEFDi,

截面面積為1(√2+?)Jl+?-(?)2=乎X壺=￡

故C正確；

選項(xiàng)D,因?yàn)镋為Be中點(diǎn)，所以B,C到平面AEF的距離相等，而B,G到平面AEF的距

離不相等，所以點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離不相等，故D錯(cuò)誤.

故選BC.

19.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查圓錐的體積，側(cè)面積求法，線面垂直的判定與異面直線的夾角，屬于中

檔題.

根據(jù)圓錐的體積，側(cè)面積求法判定力，B,根據(jù)線面垂直的判定判斷C,根據(jù)異面直線

的夾角判斷D?

解：由條件可得NACB=90。，AhanzBAC==2,則BC=4,AB=2遙，

AC

則圓錐的側(cè)面積為兀2花=10兀，體積為工X兀X5X?/T^=見至π>6π,即A,B

33

正確；

SA=2√5,AC=2,SC=√15+5=2√5,故AC與SC不垂直，.??AC與平面SBC不垂直,

即C錯(cuò)誤；

分別取AB,BC,SA的中點(diǎn)O,D,E,連接OD,OE,DE,

則OE∕∕SB,OD//AC,則NDOE或其補(bǔ)角為異面直線AC與SB所成的角，

過E作EF_LAB于F,則尸為OA的中點(diǎn)，EF與底面垂直，且EF=乎，

在ZJBDF中，BD=TBC=2,BF=乎，CoSNABC=等，

貝IJDF2=BF2+BD2-2BF?BD?cosZABC=—,則DE?=EF2+DF2=7,

4

故異面直線AC與SB所成角的余弦值為得，即。正確.

故選ABD.

20.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查了球內(nèi)接三棱錐，球的表面積、體積公式，線面垂直、空間角的求法、

余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

對4,外接球的直徑即為長方體體對角線，即可求得球的表面積.利用異面直線所成角

的定義作出所求角，由余弦定理求解.對C,利用線面垂直找出直線與平面所成的角，

計(jì)算可判斷.對D，用反證法可得結(jié)論.

解：在三棱錐P-ABe中，AP,AB,AC兩兩互相垂直，AP=5cm,AB=4cm,

AC=3cm,

由AP,AB,AC兩兩垂直可知該三棱錐是球。內(nèi)接長方體的一角，

球的直徑即為長方體的體對角線長，體對角線長為√32+的+吐=5√2cm,

???外接球半徑為第cm,所以球。的表面積為4兀?（苧）=50πcm2,故4正確.

如圖，NDOA或其補(bǔ)角即為異面直線BC與AO所成角，（D為棱的中點(diǎn)）.

CCBC5ACAC5√2

DO=—=-cm,ADcm,AO=—cm.

222

φ2+?2-γ_7√2

故CoSZ?D0A=

50

2歲乎

故異面直線BC與Ao所成角的余弦值為黑，B正確.

???AB1AP,AB1AC,APnAC=4,AP,ACU平面PAC,

???ABI5PiEfPAC,

???直線BC與平面PAC所成的角為4ACB,

?tanZ?ACB=券=故C正確.

AC3

連接AE,如圖：

若AO_L平面PBC,則AOIPB,即AF1.PB.

由EFl平面PABE,知PB_LEF,又AF,EF是平面AEF內(nèi)的兩條相交直線,

故PBj_平面AEF,從而PBJ.AE,故四邊形PABE是正方形，矛盾.

故Ao與平面PBC不垂直，D錯(cuò)誤.

故選ABC.

21.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是中檔題.

由BCI〃平面ADlC可知A正確；由P點(diǎn)的軌跡是平面ADZ）IAl與平面4BIClDI的交線

A1D1,說明B正確：取P與G重合，分析可得C與。錯(cuò)誤.

解：

對于A,由BCl〃4名,AClU平面ADIC,BCle平面4。也，

可得BCl〃平面ADlC,

則P到平面力DlC的距離不變，

由ZMDlC的面積為定值，可知點(diǎn)P在直線BCl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐4-DIPC的體積不變,

故4正確；

對于B,若點(diǎn)P是平面AlBlelDl上到點(diǎn)。和G距離相等的點(diǎn)，

則P點(diǎn)的軌跡是平面DA4D1與平面ABIClDl的交線Al￡）「

故B正確；

對于C,直線AP與DC所成角即為乙PAB,

當(dāng)P與Cl重合時(shí)，NPAB最大，

則tan/PAB=&=丑”=√2<√3=tan-,故C錯(cuò)誤；

ABAB3

對于。，當(dāng)P與G重合時(shí)，AP與DlC所成的角為會(huì)

故D錯(cuò)誤.

所以其中說法正確的是4,B.

故選AB.

22.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角、異面直線所

成角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、論證推理能力，屬于中檔題.

連結(jié)BD,A1D,可得MN〃/1以，得到MN〃平面ADD遇1，判定4正確；

證明4BJ■平面4。DI七,^AB1A1D,結(jié)合MN〃Α。，得MNj.AB,判斷B正確；

求出直線MN與平面力BCD所成角，判斷C正確;

求出異面直線MN與DDi所成角，判斷。錯(cuò)誤.

解：如圖，連結(jié)BD,A1D,

由M,N分別為8。，AlB的中點(diǎn)，知MN〃4C,而MNC平面4。。遇1，

A1D（^nADD1A1,■.MN∕∕^ADD1A1,故4正確；

在正方體ABeD-?aBIGDl中，AB-L平面ADZ）I4,則ABlAlD,

?.?MN/∕A1D,.-.MNlAB,故B正確；

直線MN與平面ABCD所成角等于aD與平面ABCD所成角等于45。，故C正確;

而DDl為異面直線MN與DDl所成角，應(yīng)為45。，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

23.【答案】解：(1)在RtZkABC中：BC=√4B2+4/2=花,

在^BCD中由余弦定理：BC=CD=√5,coszBCD=BCZ鬻二BDZ=4，

2BC.CD5

所以BD=2√2,

在ABCD中由正弦定理：當(dāng);=一塔二；SinNBCD=乎，

smDSinzBCD5

所以SinD=誓.

(2)(i)證明：在4DAB中，因?yàn)锳B=2,AD=2,BD=2√2,

所以BD2=AB2+AD?,ADlAB,

在ADAC中，因?yàn)锳C=I,AD=2,CD=√5,

所以CD2=AC2+AD2,AD±AC,

又因?yàn)锳BnAC=A,所以AD_L平面ABC,

所以點(diǎn)D在平面ABC上的正投影為點(diǎn)A.

(ii)因?yàn)镋F/7AC,EFe平面DAC,ACU平面DAC,

所以EF〃平面DAC,平面DEF與平面DAC的交線為1,所以1〃AC,

以A坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AC、AD為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

所以4(0,0,0),D(0,0,2),E(l,0,0),F(l,∣,0),G(0,|,0),

設(shè)Q(0,t,2),設(shè)平面QFG的法向量蔡=(x,y,z),

因?yàn)閚.FQ=(x,y,z).(—1,t—1,2)=0,

(-x+(t-2)y+2z=O

2取解得％=

所以1y=2,0,z=?—t,

I(f--)y÷2z=0

所以，平面QFG的一個(gè)法向量為1=(0,2,i-t),

因?yàn)槠?(1,0,-2),設(shè)DE與平面QFG所成角為。,

所以，SinO=I上咚I=-'1^2tl,

IDELMl√5×l(~t)2+4

若t=：,則sin。=。；

若t≠p則sinθ=手X/11+?-V手，

25q(L)5

所以DE與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍為［0,平).；

【解析】

(1)在RtzABC中：求出BC,在ABCD中由余弦定理求出C的余弦函數(shù)值，在ZIBCD中由

正弦定理求解即可.

(2)(團(tuán))證明AD_LAB,AD1AC,推出ADl平面ABC,得到結(jié)論.

(團(tuán))以4坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AC、AD為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系4一xyz,設(shè)

Q(O,t,2),求出平面QFG的法向量，DE=(1,0,-2),設(shè)DE與平面QFG所成角為0,利

用空間向量的數(shù)量積求解表達(dá)式，然后推出DE與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍

該題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的范圍的求法，考查

空間想象能力，邏輯推理能力，以及計(jì)算能力，是中檔題.

24.【答案】證明：(I)在三棱柱中，WAA1IAC,

XVAB±AC,AB∩AC=A,

.?.AC_L平面ABBιA∣,

:AIDU平面ABBlAΛAC±A∣D,

由AB=ACWAAι=a,AB±AC,D是棱BBl的中點(diǎn).

.?.AD=AiD=y∕2a,AA∣=2a,

則/W?+4]D2=2α2+2α2=4α2=AA∣2,.?.AD±A∣D,

VAD∩AC=A,,AID，平面ADC.

又「AiDu平面AlDC,平面AlDCI.平面ADC.

解：(H)平面A1DC將三棱柱分成上、下兩部分，

其上面部分幾何體為四棱錐A-BiClCD,下面部分幾何體為四棱錐C-ABDA1.

在平面AIBIcl中，過點(diǎn)AI作A∣ELB∣Cι,垂足為E,

則AiEL平面BlCiCD,

.?.AF是四棱錐Al-BiCiCD的高，

在RtAAIBICI中,VA∣B∣=AιC∣=a,.?A1Ea.

BlC∣CD為直角梯形，其面積SBIGCD≈?(BiD+GC)?BιG=苧a?,

∣∣3

四棱錐Ai-BiClCD的體積以LBlGCD=?c1CD-AιE=α.

?.?二棱柱ABC-A∣B∣C1的體積VABC-AIBICl=SABC-4]BICI=SAABC?AAl=aC(2.2a=ɑ?>

所以下部分幾何體C-ABDAi的體積VC-ABCDAl=VABC-41B1C1-?11-B1C1CD=T，

所以兩部分幾何體的體積之比為1：1.;

【解析】

(I)推導(dǎo)出4411AC,AB1AC,從而AC，平面ABBlA「進(jìn)而AC_L&D,再求出

AB1AC,ADl41。，由此能證明為。1平面ADC.

X?.?A1DU平面&DC,.??平面&DC_L平面ADC.

(H)平面4DC將三棱柱分成上、下兩部分，其上面部分幾何體為四棱錐A-BiCiCD,

下面部分幾何體為四棱錐C-ABD&.由此能求出兩部分幾何體的體積之比.

此題主要考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體的兩部分的比值的求法，考查空間

中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想是，是中檔題.

25.【答案】證明：(1)連接BD交AC于O,取PD中點(diǎn)F,連接OF,EF,

因?yàn)?F〃PB,OF=IPB,又PB〃CE,CE=iPB

22

所以0F〃CE,PF=CE,從而AC〃EF,

因?yàn)锳CC平面PDE,EFU平面PDE,

所以AC〃平面PDE.

解：(2)連接PC,因?yàn)镻B〃EC,PB=2CE=2,PBJ_平面ABCD,

在平行四邊形ABCD中，AB=I,AD=2,ZBAD=60o.

所以PD=√7,DE=√2,PE=√5,SAPDE=手，SADCE=}

設(shè)點(diǎn)C到平面PDE的距離為h,

貝∣J由VP-DCE=VD-PDE，VP.DCE=VB-DCE,

得VB-DCE=VC-PDE,

所以由qXBDxS^DCE=[xhxSAPDE,知BX=九X手，所以九=騫,

所以CD與平面PDE所成角的正弦值為親=嚕.；

【解析】

(1)連接BD交AC于。，取PD中點(diǎn)F,連接OF,EF,推導(dǎo)出AC//EF,由此能證明AC〃平

面PDE.

(2)連接PC,設(shè)點(diǎn)C到平面PDE的距離為九，由/_DCE=%-PDE，/-DCE=%-DCE，得

%-DCE=LC-PDE，由此能求出CD與平面PDE所成角的正弦值?

該題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦植的求法，考查空間中線線、線面、面

面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

26.【答案】(1)證明：取PC的中點(diǎn)E,連接ED,ME,

VM,E分別是PB,PC的中點(diǎn)，

.?.MEZZBe,MEJBC,

2

又AD〃BC,AD=?C,

2

ΛADZzME,AD=ME,

，四邊形ADEM是平行四邊形，；.DE〃AM,

又DEU平面PCD,AMc平面PCD,

,AM〃平面PCD.

(2)解：VZABC=90o,ΛAB±BC,

又AD〃BC,故AD_LAB,

以A為原點(diǎn)，以AD,AB,AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(O,O,O),D(1,O,O),B(0,2,O),P(O,0,2),C(2,2,0),

YM是PB的中點(diǎn)，N是DC的三等分點(diǎn)，

ΛM(0,1,1),N(-,0),

33

T41TT

ΛMN=(",-1),PD=(1,0,-2)，PC=(2,2,-2),

33

設(shè)平面PCD的法向量為薪=(x,y,z),則忸1?=°,即fx+2y-jz：0,

PD=O”-2z-U

令