2023年安徽省宿州市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考模擬考試(含答案帶解析)

2023年安徽省宿州市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考

模擬考試(含答案帶解析)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.

函數(shù)/(x)="β"一°’在x=0處連續(xù)，則a=()

α÷x,x>0

A.e2B.e^'C.1D.O

2.

下列級數(shù)中絕對收斂的是()

?,?](-i)-?bvi?i

CEl尸備D2I尸(可

甲乙兩門炮彼此獨立地向一架飛機射擊.設(shè)甲擊中的概率為0.3.乙擊中的概率為0.4.

則飛機被擊中的概率為()

A.0.58B.0.46

C.0.42D.0.7

4.

若/(X0)=一3.則Iim上型二色匚^=(

Λ→0h

A.-3B.—6C.-9D.-12

設(shè)3,=cos(sin?),貝IJdy=()

A.—sin(sin?)eos?d?B.—sin(sin?)d?

C.—cos(SinW)CoSjrCLrD.—eos(sin?)d?

6.

函數(shù)/(/)=aresin(?—2)的定義域是

A?[l?3]B.(—8.+OO)

c.[2.以2+為D.(1.3)

7.

設(shè)L=J?n(l+x2-√)dσ?t=(工:+，)匕.則以卜,結(jié)論成立的是

√+,1≤∣∕*∕s口

AJ<ItB.I1>I1

C.Ij=IZDJ與h的大小不能心定

8.

?

f/(j)e^7dj=e^7+CJ∣∣∕(j)-

1

X

A.

_?

X

B.

1

?2

C.

1

9.

微分方程以十g=O的通解是（）

yZ

A.X2+y=25B.31+4N=C

C.√+/=CΓλy2-Xz=7

10.

A「20】2?

,—(-COSZ2)(1/=()

ɑ?jSinr

Λ.—cosr2B.CoS(Sirkr￥cos/

C.?eos?2D.cos(SinM)

11.

,已知P(A)=O.5.P(B)=0.6.P(BIA)=0.8.則P(AUB)=()

A.0.6B,0.7C.0.8D.0.9

12.

.下列說法正確的是()

Λ.函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點B.函數(shù)的駐點一定是函數(shù)的極值點

C.二階導數(shù)非零的駐點一定是極值點D.以上說法都不對

13.

函數(shù)》=√2-?2+arcsint—"的定義域是（）

A.(11B._—1,>∕2]

c.(—1.y?」D.[_—1

14.

設(shè)函數(shù)z=ejy,則上-=()

(1.0)

A.1B.0C.eD.e-?

15.

.設(shè)/Q)在(0,+8)上連續(xù).且/(Jr)=Jln(3產(chǎn)+l)ck?則/'(D=()

A.-21n2B.2ln2

C.-ln(??2+1)D——

2

16.

不定積分卜O*才/'(12sina)d^—()

A.2/(1—2sinjr)÷CB.-?-/(l—2sirκr)÷C

C.—2/(1—2sin∕)÷CD.—?/(1—2sina)÷C

17.

定積分『「一也的值是

()

Jo1十工

A.21n-BJn2-1C.4?ln2D.1-ln2

18.

二12

級數(shù)MK)是()

A.調(diào)和級數(shù)B,等比級數(shù)C麻級數(shù)D.二級數(shù)

19.

6.交換I=Celj7；/(x,y)&+J：Gji'?f(x,y)dx的積分次序,則下列各項正確的

是()

A」“J；J(XJ)辦J"。/(XJ)辦

c?f：純"(P)辦D.「小泗’

20.

.aresin?+areeos?=()

A.0B.I7D.π

21.

設(shè)j/(z)dz=ze'+C則/(?)=()

A.xeτB.H-xer

C.?e?÷?D.(r+De^

22.

若當①一0時,人+2xi+3r,與?是等價無窮小，則常數(shù)A=()

A.0B.1C.2D.3

23.

過點AO(2?0,-1)?且垂直于平面N—2V+3s+2=0的直線方程是()

A=?=￡±1B=:?=Z-1

1-23-12-3

?r+2?≡一12_+_1

cr=-=D.i?==?=

?^^12^~3~一?2-3

24.

極限Iim2?rsin—=()

r→J-

A.6區(qū)3C2D.0

25.

CJT2-1,才V0,

/3=1lim∕X,r)存在，則a=()

12彳+0?.z?>0.3

Λ.一1B.0C.1D.2

26.

函數(shù)Λχ)s=χ-士3/-的極值點的個數(shù)是（)

2

A.0B.1C.2D.3

27.

.已知曲線∕Q?)=M與g(.r)=?/.當它們的切線相互垂直時.自變量.r的值應為

28.

交換二次積分次序［dyjj∕(H.Wd?r=

A.Jdz?7(*,y)d.yB.??d?^f(?^)d^

C.JD<1ΓJf(τ,y)dyD.［dj∫'jQ,y)dy

29.

已知當.rfO時?2—2cos?~ar2,則a的值是()

A.1B.2C?D.-1

30.

極限Iimln(M+a)Tna?=J,α>0.則α的值是()

LOX

；

A.1B.

C.2D.√2

二、填空題(20題)

微分方程Λ'y,--3y=?2的通解為_______________.

31.

32.

函數(shù)/(?)=M—X--2在區(qū)間［0.2］上使用拉格朗日中值定理時.結(jié)論中的

33.

已知/(z)=J若函數(shù)/(i)在?r=1處連續(xù)，則ɑ

Iln?,?≥1.

微分方程`a'-3y=?2的通解為^

34.'--------------------------

設(shè)/(z)=√ei-+1.則J,rCi)=

35._____________________

曲線在Y=r?-在(2?2)點處的切線方程為

36.1+?

ln1+

r(?).

XT8areeot?

37.____

'111「201.

二階方陣/滿足4=.則l4.

121111

38.ljlj=

39.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,8)內(nèi)連續(xù)，并且［/。)山=5乂3+40,(C為某個常數(shù))

Xf(x)=?C=?

lim(√r?,÷1—4n)x/n—\=

40.—

莒，一1≤]VO,

設(shè)/（]）=，2,O≤N?≤1,則/（O）=.

?—1,IV/V3,

41.

42.

（0,?<Ot

設(shè)連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為FQ）=JAr2.0≤j?<1,R∣JA=

1,a?≥1,

43微分方程k'=VIny的通解為?=.

將/(x)=L展開成x-l的第級數(shù)，則展開式為

44.X

設(shè)函數(shù)/（?）=4w+],貝U/[/（/）—1]=

46已知函數(shù)/(〃)=xfii,u=1—Cosr?則復合函數(shù)/(?)=

（X=t-YSin

曲線1在點％=O處的切線方程為___________

47.V=3e<

48.

已知函數(shù)f(x)=?n?為可導函數(shù)?則/(?)在點I=1.Ol處的近似值為.

49.已知事件滿足P(AB)=P(式巨).且P(A)=0.4.則P(B)U

dx

5o交換累次積分的積分次序：fE"xj)dy=.

三、計算題(15題)

COon

求級數(shù)Z-Xn的收斂半徑和收斂域.

51.“0八+1

52.

2

設(shè)函數(shù)Z=/(?-3-,y-工)，其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導數(shù),求魯.

?χdy

53判定級數(shù)與(舟)的斂散性.

求吧?n(l+?).

54.

55.

dτdy.其中D為圓/+y?=1及/+必=9所國成的環(huán)形區(qū)域.

56.

1-eosɑ?

?<O,

X2

1,

設(shè)/(N)=<“在r=O處連續(xù),試求常數(shù)0,6.

丁

6sinτ+cos/2ck

Jo

，?>O

I

57.

設(shè)Λ,=/(1)是由方程σr>,+j;ln.r=sin2.r確定的隱函數(shù).求史

CLr

計算定積分

58.

fdi

59J?ln?lnln?"

60.

試確定曲線f(x)=axi+bx2+cx+16中α,b,c,使得曲線在x=-2及x=4處有

水平切線，且點(1,-10)在曲線上.

e?.求微分方程y÷y-2y=1%，的通解.

62.

設(shè)2=y?z(y)1Zg(D其中/?)")分別為可微函數(shù).，嚙奈

求定積分(①+，2a—)d?.

63.JoV'

64.

fl7-I11

(2O-1]

設(shè)A=.β=423.C=-23.計算ar+(AB)。

132

O1JO2

65.

22

已知y=?n(l+?)+sin(2JC+2,)，求dy.

四、證明題（10題）

并由此證明］」一=L

的麥（馬）克勞林展開式,

≈（?+1）!

求由拋物線y=1—〃及其在點（1,0）的切線和y軸所圍成的平面圖形的面積.

68.

證明不等式：彳>0時J+*n(w+√1÷.r2)>√l÷τ2.

69.

設(shè)?(?)在區(qū)間[0,用上連續(xù)，證明：「/(√)dx=2p∕(x2)dr.

J—0J0

設(shè)0V“≤〃?證明不等式與里≤In2≤匕幺

70.ba

71.

已知方程???一以一X3+==0有一正根才=1.證明方程ILrK）-7χt-3√+1=0

必有一個小于1的正根.

72.

設(shè)“>>O,利用拉格朗日中值定理證明：紇心≤In9≤三a.

abb

證明不等式：當w>；時,e>ι>2工

73.L

證明：IXG(Oj)時，(1+x)ln2(l+x)<X2.

74.

75證明：當OVz≤式時，∕sinzI2cos∕<2.

五、應用題(10題)

平面圖形。由曲線)=石?直線),=①-2及N軸所圍成.

(1)求此平面圖形的面積；

“(2)求此平面圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

76.

77.

將長為。的鐵絲切成兩段L段圍成正方形,另一段雕圓形洞這兩段帙絲長各是多

少時.正方形與圓形的面積之和最小？

78.

某公司有50套公寓要出租.當月租金定為2000元時,公寓會全部租出去，當月租金每

增加100元時?就會多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花費200元的維修

費.試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

79.

由曲線y=Q-l)Q-2)和工軸圍成一平面圖形,求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

80.

曲線？=工3（工＞0）,直線Hrry=2以及3軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞

5?軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=200-4p,其中P為價格，。為需求量，求邊際收入函

數(shù)，以及0=50和100時的邊際收入，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義.

82.

曲線.y=J?3（H2O）,直線=2以及、軸圍成一平面圖形D.試求平面圖形D繞

3,軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

83.

用薄鐵板做一體積為。的有蓋圓柱形桶，問桶底直徑與桶高應有怎樣的比例，才能

使所用材料最省.

立某產(chǎn)品的成本函數(shù)：

e（?）=-?-?2+6ι+IOO（元/件）

銷售價格與產(chǎn)品的函數(shù)關(guān)系為=-3p÷138

（1）求總收入函數(shù)R（H）;

（2）求總利潤函數(shù)/??）;

（3）為使利潤最大化，應銷售多少產(chǎn)品？

14）最大利潤是多少？

85.

某工廠按現(xiàn)有設(shè)備每月生產(chǎn)X個商品，總費用為25+x+（萬元）.若將這些商

4

品以每個11萬元售出，問每月生產(chǎn)多少個商品時利潤最大？最大利潤是多少？

六、綜合題(2題)

標平面圖形D的面積；

86.

已知函數(shù)/(?)=zr~r+??

(D求/Cr)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/Q)的奇偶性；

(3)證明：當7>1時/(/)一2,VO恒成立.

87.

參考答案

1.C

C

【評注】根據(jù)連續(xù)定義，可知極限值=函數(shù)值，Iime2x=l=lim(α+x)=α,所以

x→0^x→0ψ

a≈?.

2.D

【精析】A、B項均為條件收斂;C項中Iim?=1≠0,發(fā)散；D項中

-PnI1

H9-A.O-9

∑(-1尸仔)=∑(J,)為等比級數(shù),公比L當Vl,收斂,故D項絕對收斂.

3.A

［答案1A

【精析】設(shè)飛機被擊中為事件A,則

F(A)=0.3×0.6+0.7×0.4+0.3×0.4=0.58.

或P(A)=1-0.7×0.6=0.58.

4.D

［精析］Iim/Qb+人)一/(工。)+八小)一/(*-3∕ι)=∣jm/5+1)-/(*)+

Λ→0hΛ→0h

3Iim八"一嗎「八’?)=4/(Z0)=-12.故應選D.

Λ→0—oh

5.A

【精析】dy=dQcos(sin?)］=一sin(sin?)eos?d?.

6.A

L答案」?

【精析】要使函數(shù)有意義?則須一1≤才一2≤1.即1≤.r≤3.故函數(shù)的定義域為U4」.

7A【解析】當/+J≤1時，In。+/+/)V/卜丁故選A.

/,r?

8.C

【精析】然/⑴Uir=一+C兩姍1求導得,/⑴F=F微/⑴二

T

［≡M

I

9.C

【精析】由@十業(yè)=O,得必?=-匕,分離變量得一?d?=>dy.

yXy.T

2

兩邊積分,得+C1=9,即/+V=C為原微分方程的通解，故應選C.

10.B

［答案］B

【精析】原式=—［―eos(sin?)2］?(sin?)'=COS(Sini)?CoS.τ,應選B.

11.B

［答案］B

【精析】P(A)=0.5.P(BIA)=窄黑=0?8,所以P(AB)=0.4.則P(AUB)=

P(A)+P(B)-PGlB)=0.5+0.6-0.4=0.7.故選B.

12.C

［答案1c

【精析】函數(shù)的極值在駐點或?qū)?shù)不存在的點處取得3=11I在1=0處取得極小

值,但在該點導數(shù)不存在.A項不正確：_r=O是）=r3的駐點.但不是極值點.故B項

不正確；C選項正確.

［答案］B

2-J2≥().

【精析】由題可知

1...?-2解得一l≤?r≤√z

???:Q1?

【評注】^-=exy-y,所以包

（10）=°，所以選B.

14.BSXdx

15.A

【精析】由于/O=ln(3z24-Ddz=—ln(3/2+1)d∕.

J-rJO

所以/(?)=-In(??2+1),/"(1)=~ln4=-2ln2.故應選A.

16.D

【精析】∣cosj∕(l-2siιu?)dj??--?-/(l-2siιιr)d(l-2sinj)=-^-∕(l-2siar)÷C.

JLJL

17.D

【精析】1+?)]=1—ln2.

?I211

【精析】2（5）=2與為2=2的。級數(shù).故選D.

1\/Jt-I"

CD解：由題意畫出積分區(qū)域如圖:故選B.

20.C

21D【精析】兩邊同時求導，得/(?)=(?+DeL故選D.

22.B

kx

【精析】Iim+2>+3〉=1?mA+"+9/=R=1.故應選B.

j→QJC,r→(∣?

23.A

L答案」A

【精析】由題意可知平血的法向位為〃(1.2.3).因直線與該平面垂宜.故該宜我的

方向向量可取S-(1?—2.；§)?乂該直線過點打￠2.0.一13故所求直線方程為工，

yzI1

≡I3'

24.A

3

?SIn—

【精析】Iim2ιsinJ=Iim—÷?-?6=6.

.f→?A-*3

T

25.A

L答案」A

【精析】由于Hπ√3存在.則liπ√(?r)-lim∕(?r).由題可知Iimf(存Iim(M-I)--I.

LOk(τk獷D-D一

Iim/(Jc)=Iim(ZJC?a)=U,故a--1.

>ε-*0+

26.C

C

【評注】r(χ)=>j=,x=i為駐點；X=O為不可導點,函數(shù)/(x)在X=I與X=O

處左右單調(diào)性均改變，所以函數(shù)有兩個極值點.

27.B

［答案］B

【精析】/(?)=2∕?g'Q)=3/,兩曲線的切線相互垂直?即

28.D

［答案］D

【精析】如圖所示.積分區(qū)域可表示為J交換積分次序后積分區(qū)域可表

≤j≤7y?

fθ≤?≤1.rir√?fiρ

示為1,故可得d.vjf(x,y)dx=jCLrJ?/(?,j)dy.

I?-≤y≤彳，

［答案］A

J_二

【精析】Km2-2*=Um'(1一。。丫):2［而T=1,故“=1.

I-Ha.r^j-Oar-a，?“.r-a

30.C

［答案］C

【精析】IimInQ+。)—lnα=+")=J_=5.故)=2.所以選C

LO?LoXaL

一?a

a

31.

y—Cr3一?2

【精析】方程化為y'--.y=?,p(?)=——,Q(j)=?.

XX

y=e∫^dz(J①e~^+C)

*

=e3lar(WeTardl+C)

,r1

=?3(-d?÷C)=Cr3—?2.

32.

,［答案］1

【精析】由拉格朗日中值定理.知

/，(E)=/⑹一/((，)=/⑵一/(O)

b—a2

_0—(-2)=1

1∕z(G=21-1，當工=1時，有/'(1)=1,故S=1.

33.1

【精析】Iini/(?)=Iirn(I—〃)=1—a,Iim/(?)=Iimln?=Inl=0=/(I),由

,r-*l.r-*lJfl,r-?I

/(?)在工=1連續(xù)，得1一a=0.即a=L

34.

y=Cr3-xz

【精析】方程化為“一口=才,尸（.=一,。父）=才,

y=e∫^dτ(］\"一」di+C)

=e31lιr(IeTInZdi+C)

=I,(J^?d?τ÷C)=Cr3-?2.

35.

［答案］ie-1

,i1

je-ι【精析】√"(z)=2ze'+de"i.故/"(i)=2ie—ie'=?eL

36.

_1,4

yy+w

33

【精析】.所以k又因為過點(2.2),

(1+?)2(1+?)2

所以切線方程為y=S+]

?o

37.1

In/1÷??—1

一√

【精析】Iim----------=Iim——----------Iim-----1--=1.

?T8areeot???*+°°areeot?'-*÷∞

^l+x2

2

11..20

【評注】M=I.?.∣∕1∣=2.

121

38.2

39.

15X2,-2

【評注】方程兩邊對X求導數(shù)得/(x)=15∕,代入原方程得

23

p5∕d∕=5x+40,或5也=5/+40,即5X3-5C3=5X3+40.解得c=-2.

40.

T

〃+1-〃

Iim(+1-5)?/n—1=Iim?Jn—1

ff-→<X>Fj-?00+1+G

41.

2由/(?)的表達式可知，當①=O時?八0)=2.

42.1

【精析】IIIF(,r)的連續(xù)性.有IiInF(.Q="(1).即IimArz=1.得?=]

Λ,-?lZ-*l

43.

eCx

0

【評注】分離變量得：一生一=如，Inlln>>1=InIxI+C1>Λ?≡e.

?ln?X

44.

￡(Ty(XT)",其中0<x<2

W=O

11?1

【評注】因f(x)=-==y(-i),,(x-ιy,從而將/a)=一展開成％-1的幕級

XI-(I-X)方X

數(shù)，當∣1-Λ∣<1時級數(shù)收斂，解得0<x<2.

45.

lβ,r+1

[答案116才+1

【精析】/-Ey(J?)-Ij=/(4j?÷1-1)=f(4x)=4?4x÷1=16Jf+1.

46.

√f1—cos.r.

,

由題有/(“)=y∕u.U=1—eos?.則/(.r)=/(u(?))=√M(.Z)=√1—COS.Z'.

47.

-j-?r—?+3=O

【精析】累L=I?=*當-。時，L3,則切線方程為，=f?+3.

48.

0.01

【精析】由/(?o+??)Q/(?o)+/“(才0)???故/(l+0.Ol)/(1)+1)?O.Ol=

Inl+(?I=J?0.01=0.01.

49.0

[答案10.6

【精析】P(.4B)=P(AB)=P(AUB)=I-P(AUB).乂P(A∪B)=P(A)+

P(B)—P(AB).所以P(A)+P(B)=1.所以P(B)=I-P(A)=1-0.4=0.6.

50.

W/,加

51.

解:這是標準的嘉函數(shù)，收斂半徑R=L,

P

而P=Iiml/=IimjHL."1]=3IimKtI=3,故收斂半徑R=L

…α"Λ→X^W+23Λ)Λ→B0W+23

當X=L時級數(shù)為中一這是調(diào)和函數(shù)，發(fā)散，

3?M+1

當X=-J時級數(shù)為中且匚，是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨定理條件，收斂，故所給級

3Zo?+1

數(shù)的收斂域為LIL35I3Y；

52.

【精析】*=八?2ι一/‘2，

a：；,=?(D÷∕*i2,2刊-LAi(―D+/Z?2y]

v,

=-2xfil-(4卬+1)∕,2-2yf?Afiz=∕21).

53.

【精析】(WaT)"=Tv(/)”,又級數(shù)百廿『為q=/Vl的幾何級

數(shù)，收斂,

故由比較審斂法知之(而言，也收斂.

54.

［格析］原式=Iim=IimIn(I")一?

χ→o?ln(l÷X)?*

----------1

,.I-X∣.-11

=?-2^---------?2ατT)=--2?

55.

【精析】畫出區(qū)域D如圖所示，由積分區(qū)域的對稱性及被

積函數(shù)關(guān)于1軸和》軸都是偶函數(shù),故有

其中D為區(qū)域D在第一象限的部分,即

i

D1={(χ,y)I1≤χF√≤9,x≥0,j≥0}.

利用極坐標變換，"可表示為O≤0≤手，1≤r≤3,故

(rcos∕?)2?rdr

r3dr

=20∫;LM2?此

=20?}(6+?^sin26

=5w.

因此=420π.

DDj

56.

【精析】由f(?r)在R=O處連續(xù)，則lim∕(?r)=Iim/(?)=/(O).

.r-?υ.—J-O、+

1_J"(g"1

BPIirn-----=Iim---------------?----=-a~=1?得〃=±√r2.

」一)Xl,→()?乙

6sin.r÷cos/'d/

Iim------------------------=Iim(fteos?+eos?^)=〃+1=1.得〃=0.

D+?Lt)+

57.

【精析】兩邊同時對才求導?得

ejrjr(3>+xyf)+上+y'Ini=2COS2JΓ,

∣∣1∣∣，=2wcog?—QeQ一—

x2e^+?ln?

58.

【精析】令Jr=Sin,.da^=cosrdr.則

59.

dτ]

d(lnln?)=Inlnln?÷C.

?ln?lnln?Inln?

60.

解：∕,(x)=30x2+2fex+c.又?.?/(-2)=/'(4)=0且(1,-10)點在曲線上,

12。-4b+c=0,

48α+8?+c=0,解得α=1,6=-3,c=-24.

(a+6+c+16=-10,

61.

【精析】對應齊次方程的特征方程為r2+r-2=0,

特征根為r1=-2,r2=1,

對應齊次方程的通解為Y=Ge-2,+GeJ

入=—2是特征單根，故設(shè)原方程的特解為=Are-2",

j

3)'=(A-2AcL,(,y?Y=(-4A+4Aι)e-S

代人原方程得A=-I

?

即原方程的一個特解為y=——1?eTr.

?

從而原方程的通解為N=GeF+Qe，一黃e汽

62.

z,

【精析】∣+g(f)+^(7)(^)

*仔口仔)7?”介

7f)β(^7)+v(?)??

=伸U，,/信)+g'(D

63.

-2_________?2r2_________

(?+χ/2J—a:2)d?=N也+χ/2JC—X2d?

?0*0Jo

22r2

?--√rl—(1—.r)2d(1—?)

ZoJ0

c2_______________

=2-√1-(1--Λ)2d(l-?)

J0

令/=1—?r?

----------2+√1—∕2d∕

J—1

=2+(?aresinz+fk)L=2+5?

64.

17-1

20-1014-3

【精析】AB=423=

132171310

1201

017

(AB)7=1413

-310

17

BC=42

20

-1337

BC1(AB)丁=1429

—114

65.

【精析】dy=[Ind+?2)+sin2(2?+2')]'dr

=-2~r-clr+2sin(2,r+2,)CoS(2z+2r)(2+2'ln2)dι

1+z'

+(2+2'ln2)sin(4?z+2f)]cLr.

1+?-

66.

,2

1d1xx3XΛ]

證明：f(x)=--(ex-l)=—?l+x+-+-----F???d------1????-11

dxxdx2!3!M!J

=A1+3XX,212^-X2+???+TXl+…

?^?.?.,-^?...=-I—x+x∈(-oo,+oo).

dx(2!3!〃！2!3!4!w!

123

由上展開式知/⑴=，+勺+1+…+-------十???=7----------

5+1)!tf(w÷l)!

▽由〃、d(e*-l)ezx-(ex-l)-ljf

又由/(X)=石匕J=~√一(x-l)e+l

r,得/Q)=1>故有￡G：“=L

67.

【精析】由題意知，拋物線在點(1.0)處切線的斜率/=y'∣=—2/=-2.

I(i.o>I(1.0)

故切線方程為了一0=—2(H-I),即y=—2工十2,易知切線與》軸交點為(0,2),故

所求面積

S=[[-2z+2-(1-?2)jd?=f(x?-2N十1)d?=f=-?-.

J0J0303

68.

【證明】令f(?)二1I.rl?i(?I?/1?.r2)—√zlI?2.

1I——二

f'(.z?)=ln(.z'?y/l^^I.r')(??------=~,∣'Jr----------=In(?f>∕1-J.r2).

.r?J?^~■.r~2√fJ^^I.r2

當才時?∕(-r)與0,故函數(shù)/(r)在(0.t工)上單調(diào)增加.

則有/(?)>?(θ)=0.即1+?ln(?+√Γ+7r)>√1+.τ2.得證.

69.

【證明】PIf(.x2')dx=f0/(√)d?+[f(j?2)cLr,

J-aJ-aJO

令?=—t.則

f0/(xz)dx=?∕L(-z)23d(-r)=—?f(F)df

/(Z2)d∕=f(jc2)d?.

2

則]/(x)djr/(?2)cLr÷/(?2)d?=2/(?2)d?.

70.

71.

【證明】令/(?)=?"-X7-13+1則根據(jù)題意可知JX1)=0.

因為/(?)在［0.1］上連續(xù).在(OJ)內(nèi)可導?且/(O)=/(1)=0.

故由羅爾定理可知(0.1).使得/'(。=O,即11￡°-7:一3$+1=0.

故方程ll?*0-7√-3√+1=0必有一個小于1的正根.

72.

【證明】當a=〃時,不等式明顯成立.

當a>/>時,不等式等價于工≤匣二理≤1,

aa-bb

構(gòu)造函數(shù),f(?r)=ln?,∕y(x)="?",當a>6>0時,?τ∈(.b,a'),fr(x')>0,∕<x)為

增函數(shù)，

又/(才)=In］在上連續(xù).且在(以〃)內(nèi)可導.則根據(jù)拉格朗日中值定理.在(〃,a)

上存在一點已使得/'(￡)=&一=?二手=?.

a-粵Oa-Oξ

所以相當于要證明L≤4≤，又OVbVEVa,所以

aξD

有L<4=皿二乎V即不等式成立.

綜上a≥6>0時，紇心≤In：≤三二2

abb

73.

【證明】構(gòu)造函數(shù)/(.r)e"-2八在!_4.I)上連續(xù)./(#=2ei≈ι-2.

當.r>」時./(,r)>O/(.r)在(4?T工)上單調(diào)增加.

即/(.r)∕∕(})=0.即當時.e->2x.

74.

t證明】令函數(shù)f(x