高中同步新教材選擇性必修第一冊（人教A版）數(shù)學 第三章 圓錐曲線的方程 拋物線的簡單幾何性質(zhì)

第三章圓錐曲線的方程

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

基礎過關練

題組一拋物線的簡單幾何性質(zhì)

1.若拋物線）2=2〃%（p>0）上任意一點到焦點的距離恒大于1,則p的取

值范圍是（）

A.p<lB.p>l

C.p<2D.p>2

2.（2023四川成都月考）已知拋物線戶2〃%（〃〉0）上一點M到其準線及

對稱軸的距離分別為3和2√I,則P=（）

A.2B.2或4

C.1或2D.1

3.等腰直角三角形AoB的三個頂點均在拋物線y2=2*（p>0）上,O為

拋物線的頂點,且。4?L03,則440B的面積是（）

A.8p2BAp2

C.2p2D.p2

4.（2022江蘇鎮(zhèn)江中學期中）已知產(chǎn)為拋物線y2=2p%（p>0）的焦點，過尸

作垂直于％軸的直線交拋物線于MN兩點，以MN為直徑的圓交y

軸于C,。兩點,且ICQI=3,則拋物線的標準方程為（）

A.γ2=2xB.y2=2y∕3x

C.y2=4-?∕3xD.γ2=6x

5.(2023安徽巢湖第一中學月考)已知拋物線Cγ2=2p%(p>0)的焦點為

R。為C上一點,M為C的準線/上一點且QM〃％軸.若。為坐標原

點,P在對稱軸上,且在點F的右側(cè),∣OP∣=4,∣QF1=∣QP∣,ZMQP=120°,

則準線/的方程為()

.16C2

A.x=-——B.X——

55

C.%=--D.x=--

55

6.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸且經(jīng)過點(4,1),則其準線

與對稱軸的交點坐標是.

題組二直線與拋物線位置關系的簡單應用

7.已知過點P(0,1)的直線/與拋物線V=4%相交于不同的兩點,k為

直線/的斜率,則2的取值范圍為()

A.(-∞,0)U(0,1)B.(-∞,1)

C.(-∞,0)D.(0,1)

8.(2022四川成都七中期中)若過點P(0,2)的直線/與拋物線C?.y2=2x

有且只有一個公共點,則這樣的直線/共有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

9.(2023江蘇揚州中學月考)已知拋物線C?.y2=4x,過點尸⑵1)的直線

/與拋物線C交于A,8兩點,若點P是線段AB的中點，則直線I的斜

率為()

A.4B.2

1

C.lD.-2

10.(2022浙江寧波鎮(zhèn)海中學期中)已知斜率為8的直線I經(jīng)過拋物線

V=2p%(p>0)的焦點F,并與拋物線交于A,B兩點,且|四=8,則P=

(

A.lB.2

C.3D.4

11.已知拋物線V=4%的焦點為點F,過焦點廠的直線/交該拋物線于

A、3兩點,O為坐標原點,若AAOB的面積為2√Σ,則直線1的斜率

為(

A.+-

2B.±l

C.±2D.±√2

12.(2023河南鄭州外國語學校期中)已知拋物線y2=2px(〃>0)的焦點

為E點A⑵y0)為拋物線上一點,且IA用=4.

(1)求拋物線的方程；

⑵不過原點的直線/:》=%+相與拋物線交于不同兩點P,Q,若。尸1_

OQ,求相的值.

13.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與％軸交于點M,過點M的直線I

與拋物線交于A、B兩點，設4(為,yι)到準線的距離為d.

⑴若y=d=3,求拋物線的標準方程；

(2)若2加=AB,求直線I的斜率.

14.已知拋物線Cy2=2p%(p>0)與直線y=χ+2相切.

(1)求C的方程；

(2)過C的焦點方的直線/與C交于A,8兩點,A3的中垂線與C的

準線交于點P,若IPAl=手明,求I的方程.

題組三拋物線的綜合應用

22

15.雙曲線G之一裔=1(。>。)的漸近線與拋物線C2-.x2=2py(p>O)相交

于點O,A,B(O為坐標原點)，若40A3的垂心為C2的焦點E求。的

值.

16.已知拋物線y2=2p%(p>0)的焦點方與曲線χ2+2y2=i的右頂點重合,

過點尸(0,-4)的直線Z與拋物線交于A,B兩點.

(1)求拋物線的方程；

(2)若麗=4PA,且A在入軸的下方,3在入軸的上方,求AOAB的面

積.

17.(2023黑龍江哈三中月考)以拋物線γ2=2p%(p>0)的焦點弦AB為直

徑的圓與準線切于點(-2,-3).

(1)求這個圓的方程；

(2)求AAOB的面積.

能力提升練

題組一拋物線的幾何性質(zhì)

1.（2023重慶部分學校聯(lián)考）設。為坐標原點,P是以尸為焦點的拋物

線y2=27u（p>0）上任意一點,且點P在第一象限是線段Pb上的點,

若IPM=3∣MF則直線OM的斜率的最大值為（）

2.（多選題）（2023浙江Z20聯(lián)盟期中聯(lián)考）已知拋物線Cy2=2〃X（P>0）

的焦點為F,準線方程為x=-?,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,

過A,3兩點分別作準線的垂線,垂足分別為Al,BLP為線段A3的中

點,O為坐標原點,則（）

A.線段AB長度的最小值為4

B.NAFB為銳角

CA,O,B三點共線

D.P的坐標可能為（3,-2）

3.（多選題）（2023遼寧大連第二十四中學月考）已知拋物線

C.,y2=2px（p>0）,C的準線與％軸交于K,過焦點廠的直線/與C交于

A、B兩點,A在第一象限,連接AK、BK,設AB的中點為尸,過P作

AB的垂線交％軸于。,下列結(jié)論正確的是（）

A.?AF?-?BK?=?AK???BF]

B.tanZAKF=CosZPQF

2

C.AAKB面積的最小值為勺n

D.?AB?=2?FQ?

4.一條光線從拋物線γ2=2p%（p>0）的焦點尸射出，經(jīng)拋物線上一點B

反射后,反射光線經(jīng)過點A⑸4）,若IAB1+尸3|=6,則拋物線的標準方

程為.

題組二拋物線的焦點弦、相交弦

5.已知尸為拋物線Cy2=敘的焦點，過/作兩條互相垂直的直線∕l,∕2,

直線∕∣與C交于A,8兩點,直線/2與C交于Q,E兩點,則∣A8∣+∣QE∣的

最小值為（）

A.16B.14

C.12D.10

6.（2023河南平頂山月考）過拋物線y2=2pχ（p>0）的焦點尸作傾斜角為

押直線,交拋物線于A,B兩點,若高+自產(chǎn),則實數(shù)p的值為（）

1

A：B.1

2

C.-D.√3

2

7.（2023遼寧省實驗中學段考）已知過拋物線γ2=2p%（p>0）的焦點廠的

直線與拋物線交于A、B兩點,且而=2FB,拋物線的準線/與X軸

交于點C,44」/于點4,若四邊形AAiCF的面積為5√2,則準線I的

方程為（）

A.Λ=-Λ∕2B.X=-2√f2

C.x=-2D.%=-l

8.(2023河南鄭州四中期中)已知拋物線C-.y2=4x的焦點為F,過點F

且斜率為1的直線與拋物線C交于點48兩點，以線段AB為直徑的

圓E上存在兩點P,Q,使得以PQ為直徑的圓過點Q(-2"),則實數(shù)t

的取值范圍為()

A.(-8,-1]U[3,+8)

B.[-l,3]

C.(-∞,2-√7]U[2+√7,+∞)

D.[2-√7,2+√7]

9.已知點廠為拋物線Cy2=4%的焦點.若過點廠的直線/交拋物線C

于A,8兩點,交該拋物線的準線于點M,且為？二λlAF,MB=λ2BF,

則Ai+方=()

A.2B.1

1

C.0D.--2

10.(2023河南鄭州回民高級中學期中)已知直線1:2kx-2y-kp=0與拋物

線Cγ2=2PX(P>0)相交于4、3兩點，點M(-l,-1)是拋物線C的準線

與以AB為直徑的圓的公共點，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.p=2

Bh-2

C.Z?MA3的面積為5百

D.∣AB∣=5

11.（多選題）（2023江蘇南京一中期中）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點

為E過點廠的直線/交拋物線于A、3兩點，以線段A3為直徑的圓

交y軸于M、N兩點,設線段AB的中點為尸,則（）

A.OA-OB=-^

4

B.若∣ATη?∣3F∣=4p2,則直線AB的斜率為百

C若拋物線上存在一點E（2"）到焦點廠的距離等于3,則拋物線的方

程為y2=Sx

D.若點尸到拋物線準線的距離為2,則SinNPMN的最小值為

題組三直線與拋物線位置關系的應用

12.（多選題）已知點M（l,0）,直線/:%=-2,若某直線上存在點P,使得

點P到點M的距離比其到直線I的距離小1,則稱該直線為“最遠距

離直線”,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點P的軌跡是一條線段

B.點P的軌跡與直線X=-I沒有交點

C.y=2x+6不是“最遠距離直線”

DJ=IX+1是“最遠距離直線”

13.在平面直角坐標系Qxy中，拋物線的頂點是原點,對稱軸為％軸，

且經(jīng)過點A（l,2）.過點A作直線人/2分別交拋物線于點C,ZX異于點

A）,直線∕ι,Z2的斜率分別為M,k2,且滿足M+近=4

⑴求該拋物線的方程；

⑵試判斷直線CQ是否過定點.若過定點,求出該定點的坐標;若不過

定點,請說明理由.

2

14.如圖，已知橢圓G%v+V=l,拋物線Q：y=2*(p>0),點4是橢圓

Ci與拋物線G在第一象限的交點,過點A的直線/交橢圓G于點B,

交拋物線G于M(SM不同于4).

⑴若p*求拋物線C2的焦點坐標;

(2)若存在不過原點的直線/使M為線段AB的中點,求P的最大值.

15.(2023遼寧省實驗中學期中)已知拋物線Cy2=4%,點P(4,4).

⑴設斜率為1的直線/與拋物線C交于4,8兩點,若△尸AB的面積

為2√Σ,求直線I的方程；

⑵是否存在定圓M-(%-m)2+y2=4,使得過曲線C上任意一點。作圓

M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點A,B時,總有直線AB也與圓

M相切?若存在,求出機的值;若不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析

第三章圓錐曲線的方程

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

基礎過關練

1.D2.B3.B4BZc7.A∑C9J

10.C11.B

1.D取拋物線上任意一點P,則P到焦點的距離等于其到準線V

的距離，

顯然當P為拋物線的頂點時,P到準線的距離取得最小值*.?}>1,即

p>2.故選D.

2.B因為拋物線γ2=2p%(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分

別為3和2√2,

所以［叫即Py初；2噂代入拋物線方程可得8=

%+鼻=3,{XM=^--,

2p(3一與，

整理得p2-6p+8=O,解得p=2或p=4.故選B.

3.B不妨設點A在入軸上方，由拋物線的對稱性及題意可知kθA=l,

,

故直線OA的方程為y=%,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故5ΔAOB=∣×2p×

4p=4∕A

4.B不妨設M、C在入軸上方，如圖，連接CF,由題意可知

IMNl=2p(p>0),所以圓的半徑為p,由對稱性知IoqWlCDl=|,在Rt

ACOF中，ɑ)2+(∣)2=p2,解得p=√5(負值舍去)，所以拋物線的標準

方程為γ2=2j獲故選B.

5.C根據(jù)拋物線的對稱性,不妨設點。在第一象限,如圖,

由題知尸(4,0),βM±Z,

由拋物線的定義知I。Fl=IQMIQW=IQPI,

'??QP?=?QM?,

又NMQ尸=120。，QM//X?,ΛNQPf=60°,.,.APFQ為等邊三角形,

/.點Q的橫坐標%Q=W+4=2+%

LZ4

???I2M=2H+%

又IQM=IQPl=尸尸|=4看，.?.2+空=4—最解得p=∣,，準線Z的方程為

X=-M故選C.

6.答案(0,-4)

解析依題意設拋物線的方程為42內(nèi)(p〉0),則42=2PX1,即p=8,

所以拋物線的方程為％2=i6y,其準線為直線y=-4,則準線與對稱軸的

交點坐標是(0,-4).

7.A直線/的方程為y=kx+l,聯(lián)立丸二#+1'化簡得k2x2+(2k-

U=4x,

4)X+1=0,

Y直線/與拋物線V=4x相交于不同的兩點，

,北>O?13{-16fc+16>0,ΛK1且MS

.?.斜率1的取值范圍是(-8,o)u(0,1).

8.C(1)當直線I的斜率不存在時,直線I的方程為x=0,與拋物線

V=2%有且只有一個公共點,符合題意.

⑵①當直線I與拋物線V=2%的對稱軸平行，即直線I的方程為產(chǎn)2

時,與拋物線y2=2%有且只有一個公共點,符合題意；

②當直線I的斜率存在且不為O時,設直線方程為y=京+2GWO),代

入到拋物線方程V=2%中，消去y,得FΛ2+2(2%-1)尤+4=0,則∕=4(2k

l)2-16R=0,解得鳥,故直線I的方程為γ?+2.

綜上,符合題意的直線/共有3條.故選C.

9.B設AG],y1),5(x2,y2),???尸是線段AB的中點，.?.y1+y2=2,由題得

H=竽'兩式相減得比-羽=(Wy2)8+竺)=4(g),所以直線I

{yi=4%2，

的斜率七左二及=，=2,故選B.

Xi-X2yι+y2

方法技巧點差法在中點弦中的應用

設直線與拋物線V=2pχS≠o)的交點為A(%ι,yι)乃線段AB

的中點為MaOM)),則由點差法可得心B=左二及=?-=?=J即

工1一%2y1+3z22J,Oyo

心片與同理,對于拋物線％2=20^≠O),有心產(chǎn)=爭="

y02p2pP

10.C解法一：易得Fg,0),則直線I的方程為γ=√3{x-號，與拋物

2

線方程y=2px聯(lián)立，得3-§=2px,整理得3Λ2-5∕ZX+號-=0.設

A(%ι,yι),8(x2,)2),

則x?+x2=^?,所以∣A3∣=%ι+%2+p=F+P=F=8，

所以p=3.故選C.

解法二：因為直線I的斜率為遮，所以直線I的傾斜角0=≡.

由焦點弦的性質(zhì)得|力8|=磊=急=8,所以p=3?故選C.

?3

11.B解法一:拋物線產(chǎn)4%的焦點為尸(1,0),

當直線I的斜率不存在時,XAoB的面積為如1X4=2,不合題意；

當直線/的斜率存在時'，設其方程為y=%(%-l)(%≠0),

聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去工,可得/-^-4=0,

16

貝(J/+?=*MyB=-4,M-∕∣=λ∕QA+犯)2—4%油=J,+>

由aAOB的面積為2√I,可得T∣%4-yB?=2√2,即聆+16=4√2,

解得仁士1.

.?.直線/的斜率為±1.故選B.

解法二：設直線I的傾斜角為a則由拋物線焦點弦的性質(zhì)，得5Δ

AOB=-p-=2√2,EP-?-=2√2,.,.sin。=±竺，，直線I的斜率Gtan

2∣sιnθ∣ISInel2

θ=±1.故選B.

12.解析⑴由拋物線y2=2p%(p>0)過點A(2,yo),∣AF∣=4,得2+舁4,

所以拋物線方程為γ2=8x.

聯(lián)立圣-Qm，得X2+(2m-8)x+m2=0,

(2)設PGi,yι),Q(X2,"),x

所以x↑+x2=^>-2m,x↑X2=ιn2,由題意知J=(2m-8)2-4∕w2=64-32m>0,所以

m<2,

因為OPj_OQ,所以麗?麗=0,則

x?x2+yιy2=x?x2+(jc∣+m)(x2+m)=2x?X2+m(%1+x2)+m2=0,

.*.2m2+m(8-2m)+m2=0,m2+Sm=O,解得m=0或m=-8,

當m=0時,直線過原點,不符合題意,故舍去.

所以m的值為-8.

13.解析⑴記拋物線y2=2px的焦點為E則尸(},0),準線方程為

x=-p則IAFI=d,

由yi=d=3,可得AF±x軸，貝IJl產(chǎn)今即有d=1+^3,即p=3,則拋物線

的標準方程為γ2=6x?

⑵設B(X2,y2),l-.y=k{x+9(%≠0),將直線方程代入拋物線的方程,

j>22

可得22∕+p(R-2)x+乎rι=0,

貝IJzl=p2(F-2)2-k4p2>O,即F<l且％≠0,

由2祈I=荏可知A在B的左側(cè)，則

_-p(/c2-2)-2pVl-fc2_-p(Zc2-2)+2pVl-Zc2

汨=汨，'2=汨，

由2M√4=AB,?/(一?,0),可得2卜1+θ=X2~xι,

即有p=%2-3汨=迎七等五,解得k=±^?.

故直線/的斜率為±f?

14.解析⑴聯(lián)立圣："：；'消去％得y2-2py+4p=0,

?；拋物線C與直線y=x+2相切，.?∕=(-2p)2-4X4p=0,解得p=4或

P=O(舍去)，

故拋物線C的方程為γ2=8%?

⑵由⑴知F(2,0).設/的方程為x=my+2,A(孫yι),B(X2,y2),則線段

AB的中點為(巖,空),記M(詈,中)，

過M作拋物線的準線%=-2的垂線,垂足為N,

1

則依現(xiàn)=%1+%2+4,∣W∣=^∣^+2,即∣A3∣=2∣W∣=2∣MA∣,

'：?PA?=^-?AB?,.,.?PA?=V3?MA?,則IPM=√Σ∣MΛ∣,即IPM=d?IMNI,，

IPNl=IMN],

聯(lián)立廣+2'消去％得產(chǎn)8叱16=0,

貝IJJ=64m2+64>0,γ∣+γ2=8m,

則M(4m2+2,4加，NQ2,4ιn),AB的中垂線的方程為mx+y-4m3-6m=0,

P(-2,4m3+8m),則IPNl=I4/+4網(wǎng)，∣MNI=4/+4,

即∣4∕+4詞=44+4,解得m=±1,

故I的方程為％+y-2=0或x-γ-2=0.

15.解析如圖，不妨設A在第二象限.

2

h（x=2py,（X=-pb,

易得雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)士?工由b得fe?

2（y=-產(chǎn)?y=~?

故/（-pb,等），同理,B（Pb,字）.

易得拋物線的焦點為方（0,力，

所以都=（Pb/一早）,訪=（P4早）.

因為點F為Δd）AB的垂心,所以而，而，

所以（Pz—亭）?（P4字）=0,所以b=E

16.解析（1）曲線x2+2∕=l為焦點在X軸上的橢圓，其右頂點為

（1,0）,則由題意可得拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F（l,0）,：.p=2,所

以拋物線的方程為產(chǎn)=4%.

⑵設A陷后）,5（學,如），

由PB=4PA,得(岸,YB+4)=4(WyA+4),

即伴=4步,

'+4=4(%+4),

結(jié)合A,B的位置,解得M=-2,?=4,故A的，-2),B(4,4),

直線I的斜率仁Ym=2,則直線I的方程為y=2x-4,直線I與X軸相交

于點(2,0),

所以△OAB的面積S^OAB=1×2×(γβ-γλ)=∣×2×6=6.

17.解析(1)由拋物線的方程知其準線方程為x=-^,設焦點弦AB的

中點為M(%o,yo),由以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切于點(-

2,-3),可知「9二-2,.?JP=4,所以焦點為⑵0),拋物線方程為

Iy0=-3,仇=-3,

y2=Sx,記尸(2,0).

設弦AB所在直線的斜率為2,A(孫yι),B(%2,>2),則直線AB.,y=k(x-

2),

與拋物線方程聯(lián)立，得。T:—2)，=>ky2-Sy-↑6k=0,所以

8

γ∣+y2=K-=2γo=-6,yιy2=-?6,

.?.^=4Λ直線AB-y=-^x+*將γ0=-3代入,得x0=γ,則這個圓的圓心

為①一3),半徑為日,

2

故所求圓的方程為(％—9)+(y+3)2=矍.

2

(2)5?A0β=5?A0F÷5?B0F=∣∣OF∣×∣^1-γ2∣=∣×2√(y1+y2)-4y1y2=?θ?

能力提升練

LB2.ACD3.BD5.A6.B7.D8.D9.C

10.C11.AD12.BCD

1.B由題可知鳴0),設P點坐標為卷,yo)(yo>O),則麗=次+

FM=OF+-FP=OF+-(OP-OF)=-OP+-OF=(^-+

44144?8p

yp_

空),kθM=-2^-==V，當且僅當羽=3p2,即^o=√3p時，

oτ,zJoLJP----十—??

而+τp

等號成立.故選B.

2.ACD由題意知,拋物線C的方程為>2=4%,線段AB長度的最小值

為2p=4,A正確;

易知∣AΛ∣=∣A∕η,44∣"%軸，.?.ZAFA↑=ZAAiF=ZA↑FO,同理N3FB=

∕B?FO,：.ZA↑FB↑=90°,B錯誤；

設直線AB?x=my+?,與拋物線方程聯(lián)立并整理，得γ2-4mγ-4=0,設

A(%],yι),B(%2,y2),

貝IJy+y=4m,??72=-4,koA=-=~=-yι,

l2xι3zι

??"(I,γ2),：.kOB=-y2=koA,故A,O,Bl三點共線,C正確；

設P(xo,yo),則yo=丐也=2叫xo=myo+l=2m2+l,當m=-l時，尸⑶-2),D

正確.

故選ACD.

3.BD設直線AB的傾斜角為α,即NAFx=a,設

A(XI,yι),B(%2,y2),P(?o,yo),

若∣A∕ψ∣8K∣=∣4K]?∣3F1,則黑=黑,則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知,％軸

IBFl?BK?

應平分N4K3,但尤軸不一定平分NAK3,故∣Af]?∣B2=∣4N?∣8F∣不一定

成立,故A錯誤；

過A作AO軸，垂足為。，則tanZAKF=^-ι=?,cosZ

IKDlx1+^

PQF=CoSC—α)=Sina=?^?=ΛtanZA∕fF=cosZPβF,故B

正確；

S^AKB=S^AKF+S∕?BKF=^??KF??(??-?l)=Y(^1-)^2)20?2p=p2,當且僅當γ∣-

y2=?AB?=2p,即ABVx軸吐取等號,故AAKB面積的最小值為p2,但

此時Q不存在,不符合題意,故C錯誤；

對于D:但(P/'≠>(yi+>2)。1-”)=2〃3-%2),則tana=八二%=

[72=2p%2^'''XlT2

2p_P

,

yι+y2yo

.?.直線PQ的方程為y-yo=-彳(%-%()),令尸0,得-yo=*(%-%o)=Λ=p+%o,

Q(p+xo,O),.,.?FQ?=p+xo-^=^+ΛO,.,.?AB?=xι+x2+p=2xo+p=2?FQ?,故

D正確.故選BD.

4.答案y2=4x

解析拋物線具有光學性質(zhì)，即從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反

射后，反射光線沿平行(或重合)于拋物線對稱軸的方向射出，???

?AB?+?FB?=6,.?XA-XB+XB+1=6,即5+舁6,.?p=2,六拋物線的標準方程

為y2=4x.

5.A因為直線∕∣過尸,且尸(1,0),所以設∕∣的方程為盯+1,聯(lián)立

'y2=4x,

?得產(chǎn)4沖-4=0,設A(Xl,yι),B(X2,y2),故y↑+y2=4m,y↑y2=-

X=my+

4,則?AB?=y∕m2+lV16m2+16=4(m2+l).同理可得IjD￡]=4(*+1),

所以|4引+儲石|=4(2+血2+*)216,當且僅當m=±l時,取“=”,故選

6.B易得尸(々,0),設直線方程為y=N%A(xι,y),3(孫義)，聯(lián)

立y=k(x-ι)'得以2(2p+2p)%+W=0,所以

y2=2px,

Ii

%∣+%2=/P,即尤2=?,又?AF]=xι+3,∣BF∣=Λ2+§,所以高+馬荷=

κz422∣ΛFIIBFI

x+x+Pk2p+2p小定?代入得篇+六=；=所以

12把X1+X2=2,

,

XiX2?ι÷x2)÷?

P=L

導師點睛AB是拋物線γ2=2p%(p>0)的焦點弦，A在第一象

限,AG"ι),3G"2),弦AB所在直線的傾斜角為α,則有下列結(jié)論

成立:

2

(l)x∣X2=y,y?y2=-p.

l+cosα

(2)?AF]=x?+^=P??BF?=X+3=PIAFl-----1-----

l-cosα2l+cosa,?BF?l-cosα?ΛF??BF?

2

V

⑶IA8IF+%2+p=^?

7.D解法一：由題意知Fg,0),準線/的方程為x=-l,設

A(%ι,y),3(%2,>2),

則而二（1％1，一%）,而=G24，%），由9=2而，Wf-Xl=

212-即％2=[（3p-2xι）,①

由題意知直線AB的斜率存在且不為0,

設直線AB的方程為產(chǎn)M％—與GWO）,代入拋物線方程,消去X得

“2?2

d%2-（好p+2p）x+n-=0,

所以X1X2—②

4

聯(lián)立①②,得2*-3∕zxι+p2=0,

解得％ι=P或X名（舍去），所以IylI=V?,

因為S四邊形A&CF=沿1+/p）?Wl=5√Σ,

將孫M的值代入,解得P=2（舍負），所以準線I的方程為X=-1,故選

D.

解法二:不妨設A在第一象限,A（%ι,yι）,8（%2,》2）,ZxFA=θ,

貝”AFl=j,∣M=y,

7I-CoSeτl+τcosθ

因為Q=2FB,所以丁q=2X[J,解得cosF貝!Jsinθ邛,

I-COSel+cosθ33

因為四邊形AAiCF是直角梯形，其中ICFl=P,IAAIl=IA∕η=τ^=?,

I-COStzz

高為∣AF∣sinQ∣p?竽=√∑p,所以四邊形AAiCF的面積為

；（p+汨?√∑p=乎p2=5√Σ,解得p=2（舍負），所以準線I的方程

2\2/4

為x=-l,故選D.

8.D由題得直線AB的方程為γ-O=x-l,即y=x-l,設

A(?i,yι),B(X2,yι),

cV-X?

聯(lián)立)24'可得Λ2-6x+l=0,.?.%l+%2=6,%1?%2=1,

U=4x,

1

.,.^γ^=3,=亂二產(chǎn)=2,IABl=√1+12?√36-4=8,

/.以線段AB為直徑的圓E的圓心為(3,2),半徑為4,

.?.圓E的方程為(X-3)2+(y-2)2=16,

.?.點。恒在圓E外，

若圓E上存在兩點P,Q,使得以尸。為直徑的圓過點0(-2"),即圓E

上存在兩點P,。,使得DPLDQ,顯然當DP,。。均與圓E相切時一，Z

PDQ最大,此時應滿足NPDQ考,所以震=?7=?=≥y,整理

得Λ4z-3≤0,

解得2-√7≤f≤2+√7,故選D.

9.C解法一：(特值法)取I的傾斜角為?=p不妨設8在A上方,聯(lián)立

(_1

忙孩…得二獨咪之故心食皿?

k?3

又M(-l,-2√3),F(1,O),ΛMA==(4,4√3),AF=

Q,^),βF=(-2,-2√3),.?.2ι=2"2=-2,.?.九+七=0.故選C.

解法二：如圖，易知九<0"2>0.過B作BNLl于點N,由麗=

42麗=COSα=制=盟=搟，

由加=/11而=∣M4∣=-九IAFI=(I+22)?BF?+?AF?=-λ↑?AF?^^?=1+22

,

IBFl1+Λ1

又"I=一,所以-當產(chǎn)吧=上孕,化簡得為+22=0,故選C.

乂IBFl

l-cosαl+λ1l-cosα1--

10.C由題意知,拋物線C的準線方程為x=-i,即畀1,解得〃=2,故選

項A中結(jié)論正確；

因為p=2,所以拋物線C的方程為V=4%,其焦點為(1,0),記F(l,0),

又直線l??2kx-2y-kp=0,即y=Z(%-l),所以直線/恒過拋物線的焦點

F(l,0),

設點AabyI),3(%2,”)，因為A、3兩點在拋物線C上，

所以仍=’1'兩式相減并整理可得,上及=-=k,設AB的中點

(光=4X2,XlT2yι+y2

為Q(xo,yo),則yo="詈=p

ZK

因為點Q(%o,yo)在直線/上,所以yo=Z(%o-l),所以％o=??+l,所以點

K

。(高+1,￡),易知。是以?B為直徑的圓的圓心，

由拋物線的定義知，圓Q的半徑廠”=%1+%2+2=筌"=?+2?

222KΔ

因為IQM=(?+2)2+ɑ+1)2=A所以信+a)?+佞+1?=

(?+2)；解得k=-2,故選項B中結(jié)論正確；

因為k=-2,所以IABl=5,直線∕I>,+2(Λ-1)=0,即2x+y-2=0,

由點到直線的距離公式可得,點M到直線/的距離^Z=??1=√5,

所以S^MAB=1-d-?AB?=并而*5=乎,故選項C中結(jié)論錯誤,D中

結(jié)論正確.故選C.

11.AD若直線/_Ly軸,則直線I與拋物線y2=2∕*(p>0)有且只有一

個交點,不符合題意.

設ACX1,yι),3(x2,”),直線AB的方程為x=my+^,

Λ∕2=2T)X

X_Myp整理可得yλ-2pmy-p1=Q,

{+

2242

貝(jJ=4m2p2+4p2>0,yι+y2=2pm,yιy2=-p2,%的嗡?=?=γ,

.,.OA?OB=xlx2+yly2—p2=—jp2,A正確；

12

∣AF∣?∣BF]=(x1+θ(x2+9=(W+P)(陽2+p)=my↑y2+mp(y1+y2)+p=~

m2p2+2m2p2+p2=(m2+l)p2=4p2,解得m=÷V3,

所以直線AB的斜率為工=±”,B錯誤；

m3

若拋物線上一點Ed0到焦點的距離為3,則2+f=3,可得p=2,故拋

物線方程為γ2=4x,C錯誤；

拋物線的焦點廠到準線的距離為2,則p=2,所以拋物線的方程為

y2=4x,

所以y?+yι=^m,yy2=-4,x↑+x2=m(γ1+γ2)+2=4m2+2,

所以圓尸的直徑為|4用=%1+%2+2=4/+4,則半徑r=野?=2/+2,

點P到y(tǒng)軸的距離d=&產(chǎn)=2/+1,

2病+12m2+2-l.1

.?.sinN≡vq=---------?--------

2τn2+22m2+22m2+2,

V2m2+2≥2,

1.-

.

-.

—∈O,2.

2

2m+2一

.?.sinZPW∈[∣,l),

即(SinNPMN)mi∏=∣,D正確.

故選AD.

12.BCD點P到點M的距離比其到直線I的距離小1,等價于點P

至U點M的距離等于其到直線Γ-.x=-?的距離，故點P的軌跡是以

M(1,0)為焦點,直線Γ?.x=-?為準線的拋物線，其方程是y2=4%,故A

錯誤；

點P的軌跡是拋物線y=4x,它與直線「沒有交點,故B正確；

要成為“最遠距離直線”，則必須滿足其與拋物線∕=4Λ有交點，把

y=2x+6代入拋物線方程y2=4%中，消去γ并整理得Λ2+5Λ+9=0,因為

J=52-4×1×9=-11<0,無解，

所以y=2x+6不是“最遠距離直線”,故C正確；

把γ?+l代入拋物線方程戶4%中，消去y并整理得PI2X+4=0,因

為/=(-12)2-4X1X4=128>0,有解,所以γ?+l是“最遠距離直線”,

故D正確.故選BCD.

13.解析⑴設拋物線的方程為y2=2p%(p>0),

由拋物線經(jīng)過點A(1,2),得p=2,

.?.拋物線的方程為γ2=4x.

⑵設c(xι,j?),D(X2,y2),%l≠l,%2≠l.

若直線CD的斜率存在,設直線CD的方程為y=kx+t(k≠Q(mào)).

由？~KX\,消去％,得^y2-4>'+4∕=0,

Iy—Kx十tf

r144￡

則y?+y^~,y1y2=-.

K.Zv

?.?h+22=及二十及==曳左a+竺竺衛(wèi)

—1%2—14%]—44%2—4

_4(為一2)4(72-2)_44_/

-------------T-----------------------T---------—Z-L

光-4據(jù)-4y1+2y2+2

.?y+2+y2+2=-(y]+2)(”+2),

.,.3(y1+y2)+y1y2+8=O,

—+竺+8=0,即t=-2,k-3,

kk

直線CD'.y=kx-2k-3,即y=k(Λ-2)-3,

，直線CQ過定點⑵-3).

若直線CQ的斜率不存在,則C3,y),ZX%ι,-y),

.,.k?+k2=^~+yι=——=-4,.,.xι=2.

x1-lx1-lX1-I

.,,直線CD.x=2,此時直線CD過點(2,-3).

綜上所述，直線CD過定點(2,-3).

方法點睛在圓錐曲線綜合題的運算中，參數(shù)的選擇很重要,在有關

拋物線的問題中巧妙運用拋物線方程的特點進行變量的轉(zhuǎn)化能夠很

大程度降低運算量.

14.解析⑴當p=?時-，C2的方程為∕?,故拋物線C2的焦點坐標

168

為(?,0)?

⑵解法一(根與系數(shù)的關系+基本不等式法)：設

A(%ι,yι),3(%2,>2),MeXO,yo),l'.x=λy+m(m≠0),

%2

2+'—1'得(2+%2)y2+22ZWy+/I=。，

{X=λy+m

?-2λm-λmA2m

?.6+?=?，*=而，^=λyo+m=-,

由M在拋物線上,可得W?=黑,即碧=4p,①

2

又{；二μ'rn=y2=2p(力+㈤^y-2pλy-2pm=Q,

.??y+yo=?U,

.?.%I+X()=2Vl+m+λyo+m=2p}}+2m,

.*.x∣=2^>λ2+2∕n-^τ.(2)

2+/L,

∕γ2

土-I-V2=1

由2y'得χ2+4px-2=0,

y2=2px

.,.x?=~4p+^6p+8=—2p+J4p2+2,③

由①②③得-2p+j4p2+2=2pλ2+2m?翳=2pλ2+墨+8pN16p,

當且僅當λ2=2時,2=√Σ時取“=”,

.,.?/4p2+2≥18p,即Py擊,故0<pW^^,

：.P的最大值為當,此時2=√2,m=^?.

405

解法二(直接法):設直線l?.x=my+t(m≠0,∕≠0),A(%o,yo).

2

將直線I的方程代入橢圓G的方程γ尹戶1,

得O+2)y