2023年中考數(shù)學(xué)考前練習(xí)：圓綜合壓軸解答題 高頻壓軸題（含答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓綜合壓軸解答題高頻壓軸題

1.如圖，在aABC中，BA=BC.以AB為直徑作Oo分別交BC、AC于。、F兩點(diǎn)，點(diǎn)E

為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)A。、BE,若NE=ND4C.

(1)求證：XADCsXEBA?,

(2)求證：AF=CF↑

(3)若CE=CF,BD=I,求C)O半徑.

2.如圖，AB是。。的直徑，弦C￡＞，AB于”，G為OO上一點(diǎn)，連接AG交CO于K,在

CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：E尸是O。的切線；

(2)連接。G,若AC〃EF時(shí).

①求證：/\KGDsAKEG；

②若CoSC=2，AΛT=√Tθ.求BF的長(zhǎng).

5

3.如圖，在四邊形A8C。中，AD∕∕BC,ADlCD,AC=AB,Oo為AABC的外接圓.

(1)如圖I,求證：AO是。。的切線；

(2)如圖2,CO交C)O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AGLBE,垂足為F,交Be于點(diǎn)、G.

①求證：AG=BG-,

②若Az)=2,CD=3,求FG的長(zhǎng).

4.如圖1,A8為半圓。的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CQ切半圓于點(diǎn)。，BElCD,交

CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交半圓于點(diǎn)尸，已知BC=5,BE=3,點(diǎn)P,Q分別在線段AB,BE

上(不與端點(diǎn)重合)，且滿足竺■=$.設(shè)8Q=χ,CP=y.

BQ4

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PRJ_CE于點(diǎn)R,連結(jié)PQ,RQ.

①當(dāng)APQR為直角三角形時(shí)，求X的值.

②作點(diǎn)尸關(guān)于QR的對(duì)稱點(diǎn)F',當(dāng)點(diǎn)F'落在BC上時(shí)，求駕一的值.

BF

5.如圖，Z?ABC內(nèi)接于。0,AB=BC,A為CD中點(diǎn)，CD與AB相交于點(diǎn)E.過(guò)B作B尸〃

AC,交CZ)延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：Z?ACEsz?ABC;

(2)求證：BF=FE-,

(3)延長(zhǎng)尸B交Ao延長(zhǎng)線于若tan/F=旦，CD=8√3.求BM的長(zhǎng).

M

6.(1)【學(xué)習(xí)心得】

小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用

圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易.

例如：如圖1,??ABCφ,AB=AC,NBAC=90°,。是AABC外一點(diǎn)，且AQ=AC,

求NBOC的度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓?A,則點(diǎn)C、D必在OA上，

/84C是G)A的圓心角，而NBOC是圓周角，從而可容易得到NBoC=°.

(2)【問(wèn)題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ABAD=ΛBCD=9^,NBOC=25°,求N84C的度數(shù).

小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問(wèn)題快速解決，他是這樣思考的：的

外接圓就是以的中點(diǎn)為圓心，工80長(zhǎng)為半徑的圓；ABCO的外接圓也是以8。的中

2

點(diǎn)為圓心，工8Z)長(zhǎng)為半徑的圓.這樣A、B、C、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓

2

周角的性質(zhì)求出NBAC的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問(wèn)題.

(3)【問(wèn)題拓展】

如圖3,在AABC中，∕B4C=45°,AO是BC邊上的高，且BD=6,CD=2,求

的長(zhǎng).

7.如圖，AB為。。的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，。為劣弧前的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線

與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡A。與BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：BC//PFi

(2)若C)O的半徑為√g,OE=I,求AE的長(zhǎng)度；

(3)在(2)的條件下，求aDCP的面積.

P

8.【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,。。是等腰AABC的外接圓，AB=AC,在同上取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,BP,

CP.求證：ZAPB=ZPAC+ZPCA；

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)條件下，若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，AB=6,PB=5,求的值;

【拓展延伸】

(3)如圖3,Oo的半徑為5,弦BC=6,弦CP=5,延長(zhǎng)AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

且∕ABP=∕E,求AP?PE的值.

（Sl）（圖2）（圖3）

9.如圖CO是G)O直徑，A是OO上異于C,。的一點(diǎn)，點(diǎn)B是OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連43、

AC、AD,且NBAC=/ADB.

(1)求證：直線48是Oo的切線；

(2)若BC=20C,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的條件下，作/C4。的平分線AP交。。于P,交CD于E,連尸C、PD,

若AB=2娓,求AE?AP的值.

10.如圖，AB為圓。的直徑，C為圓。上一點(diǎn)，。為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC=CO,CE1

AD于點(diǎn)E.

(1)求證：直線EC為圓。的切線；

(2)設(shè)8E與圓0交于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P,

①求證：PCi=PF?PA

②若尸C=5,PF=A,求SinNPEF的值.

11.如圖，。。的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,AB=10,CQ=6,點(diǎn)P是CQ延長(zhǎng)線上異

于點(diǎn)。的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP交OO于點(diǎn)°,連結(jié)C。交AB于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的位置隨著

點(diǎn)P位置的改變而改變.

(1)如圖1,當(dāng)。P=4時(shí)，求tan/尸的值；

S

如圖連結(jié)DQ,在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)。AQAC

(2)2,AC,P=x,=y.

SZkQDC

①求證：ZACQ=ZCPA；

②求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

12.如圖①，在RtZ?4BC中，∕C=90°,Z)是AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，以A為

圓心，AD長(zhǎng)為半徑作C)A交AB于點(diǎn)E,連結(jié)BD并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)F,連結(jié)ED,EF,

AF.

(1)求證：NEAF=2NBDE；

(2)如圖②，若NEBD=2NEFD,求證：DF=ICD-,

(3)如圖③，BC=6,AC=S.

①若NEAF=90°,求0A的半徑長(zhǎng)；

②求8E?OE的最大值.

13.如圖，點(diǎn)A在y軸正半軸上，OA=I,點(diǎn)8是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以AB為直徑的圓交

X軸于D,C兩點(diǎn)，D,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程/-4x+3=0的兩個(gè)根，0C>0。，連接

BC.

(1)如圖(1),連接BD

①求NABO的正切值；

②求點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)如圖(2),若點(diǎn)E是血的中點(diǎn)，作EFJ_BC于點(diǎn)凡連接EB,ED,EC,求證:

2CF=BC+CD.

14.已知，在AABC中，ZACB=90o,BC=6,以BC為直徑的。。與AB交于點(diǎn)，，將

△ABC沿射線AC平移得到XDEF,連接BE.

(1)如圖1,OE與G)O相切于點(diǎn)G.

①求證：BE=EG;

②求8E?CZ)的值；

(2)如圖2,延長(zhǎng)”。與OO交于點(diǎn)K,將AOEF沿OE折疊，點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)尸恰好

落在射線BKh.

①求證：HK//EF'；

②若KF'=3,求AC的長(zhǎng).

圖1

15.如圖1,Z?ABC中，NABC的平分線和外角NACD的平分線交于點(diǎn)E,我們把NE叫做

△ABC中NA的好望角.

⑴如圖1,已知aABC,點(diǎn)。是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，NE是AABC中/4的好望角,

ZABC=60o,NACB=80°,求NE的度數(shù);

(2)如圖2,四邊形ABCZ)內(nèi)接于。0,且AC是。。的直徑，點(diǎn)E是弧AZ)上的動(dòng)點(diǎn),

弧AO=弧B。，Cc和BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接。E,AE,當(dāng)/產(chǎn)是AABC中NBAC

的好望角時(shí).

①求/EAC的度數(shù)；

②求證：AE=EF-,

③若AB=8,CD=5,求。。的直徑.

16.如圖，。。是AABC的外接圓，AB為直徑，弦平分/BAC,過(guò)點(diǎn)。作射線AC的

垂線，垂足為M,點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：MQ是。。的切線；

(2)若/8=30°,AB=8,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)

求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到/ACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)F,交AO

于點(diǎn)P,連接AF,Cp=3,EF=4,求4尸的長(zhǎng).

17.如圖1,Oo的兩條弦4B,CO互相垂直，垂足為E,直徑CF交線段BE于點(diǎn)G,且正

=AF,BG=xAE(l<x<2).

C

圖2備用圖

(1)求證：AB=CD-,

(2)當(dāng)點(diǎn)E是AG的中點(diǎn)時(shí)，求前的度數(shù)和X的值；

(3)設(shè)巫=y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連結(jié)BF,若ACEG的面積是ABGF面積的3倍，求tanNBFG的值.

18.【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在AABC中，。為AB上一點(diǎn)，AC2=AD?AB.求證：NACD=NB.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在回ABCO中，E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC,EC.已知4E=4,AC=6,CD

=9.求證：2AD=3EC.

【拓展提高】

(3)如圖3,四邊形ABC。內(nèi)接于。0,AC、8。相交于點(diǎn)E.已知。。的半徑為2,AE

=CE,AB=近AE,BD=2∕j,求四邊形ABCO的面積.

19.如圖1,AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3作OO的切線，與AC的延長(zhǎng)線相

交于點(diǎn)D,E是BO的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)AB、CE相交于點(diǎn)P；

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)如圖2,若CHj_A8于“，連接AE與交CH于N,求證：N是HC的中點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下，若BE=EM且2H=2,求。。的半徑.

20.如圖1,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從。點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)，

B(4,2),以BE為直徑作。M,?！迸cX軸另一交點(diǎn)為A,連接AB,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t(0≤∕≤4).

(1)如圖1,當(dāng)OM與y軸相切于點(diǎn)C時(shí)，求，的值；

(2)如圖2,在(1)的條件下，延長(zhǎng)到H,使得BH=AE,。是血的中點(diǎn)，連接

DH,求期?的值；

DH

(3)如圖3,若點(diǎn)E先出發(fā)2秒，點(diǎn)尸再?gòu)摹｜c(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿y軸正

方向運(yùn)動(dòng)，連接A尸交OM于點(diǎn)P,問(wèn)AP?A尸的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理

由并求其值：若變化，請(qǐng)求其值的變化范圍.

圖1圖2圖3

參考答案

1.證明：(1)u:AB=BC,

：.ZBAC=ZACBf

?.βNE=Ne40,

：?∕?ADC^ΛEBAf

(2)如圖，連接BR

YAB是。。的直徑，

ΛZAFB=90o,

又YAB=BC,

：.AF=CF；

(3)由(2)知，AF=CF9

CE=CF,

：?AE=AF+CF+CE=3AF,

9：AB=BC,ZAFB=90o,

ΛAC=2AF,

?AC2

??—=—，

AE3

由(1)知，2M)CSXEBk,

.DC_AC_2

?怎而虧

YBD=1,AB=BC,

.AB-I2

??-------二—,

AB3

.?.AB=3,

.?.OO半徑為工AB=3.

E

2.解：（1）如圖，連接。G.

E

'JEG=EK,

：.NKGE=NGKE=NAKH,

又OA=OG,

：.ZOGA^ZOAG,

?'CDlAB,

.?ZAKH+ZOAG=90o,

,NKGE+NOGA=90°,

.?.EF是Oo的切線.

(2)?'：AC//EF,

：.ZE=ZC,

又/C=/AGO,

NE=NAGQ,

又NDKG=NGKE,

:AKGDS4KEG；

②連接OG,

'?*cosC=?,AK=7IO,

0

；.CH=4k,AC=5kf則A"=3A,

9CKE=GE,AC//EF,

：.CK=AC=5k,

.?HK=CK-CH=k.

在RtaAHK中，根據(jù)勾股定理得A"2+HK2=AK2,即(3k)2+k2=(√I5)2,

解得k=?,

：.CH=4,AC=5,則AH=3,

設(shè)。。半徑為R,在Rt△(?CH中，OC=R,OH=R-3k,CH=4k,

222

由勾股定理得：OH2+C?"2=OC2,即(R-3)+4=R,

在RtG尸中，COSC=CoSNGoF4

DUΓ

??.0告,

?,.BF=OF-OB=您.

DrUrUD24624

3.(1)證明：如圖1,連接。4,OB,OC.

rAC=AB

??OAC??OΛBΦ,-OA=OA-

OC=OB

ΛΔOAC^ΔOAβ(SSS),

：.ΛOAC=AOAB,

.?.AO平分/BAC,

.?AO±BC.

又，：AD〃BC,

：.ADLAO,

：.AD是。。的切線.

(2)①證明：如圖2,連接AE.

VZBCE=90o,

ΛZBΛE=90o.

XVAF±BE,

ΛZAFB=90o.

VZBAG+ZEAF=ZAEB+ZEAF=90°,

：.ZBAG^ZAEB.

"：ZABC=ZACB=NAEB,

：.ZBAG^ZABC,

：.AG=BG.

'NADC=NAFB=90°

②解：在C和AAFB中，＜ZACD=ZABF

AC=AB

.?.ΛADC^∕?AFB(AAS),

：.AF=AD=2,BF=CD=3.

設(shè)FG=x,在Rtz^BFG中，F(xiàn)G=x,BF=3,BG=AG=X+2,

.?FG2+BF1^BG2,即/+32=(Λ+2)2,

ΛFG=-L.

4

4.解：（1）如圖1,連接0，設(shè)半徑為r,

E

.'.ODl.CD,

,：BELCD,

C.OD//BE,

JXCODsχcBE,

?.O?DC-O,■，

BECB

?

?.r--5----r,

35

解得r=普

.?.半圓O的半徑為生;

8

(2)由(1)得，CA=C8-A8=5-2X9=互,

84

..AP=_5,BQ=x,

,BQ7

.?.AP=Sx，

4

.?.CP=AP+AC,

(3)①顯然NpRQ<90°,所以分兩種情形,

當(dāng)∕RPQ=90°時(shí)，則四邊形RPQE是矩形，

當(dāng)NPQR=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作BE于點(diǎn)”，如圖,

則四邊形PHER是矩形,

：.PH=RE,EH=PR,

.4

*?*C/?=CPecosC=-^-y=x+1>

：?PH=RE=3-x=EQ,

：./EQR=NERQ=45°,

ΛZPQH=45°=ZQPH9

：?HQ=HP=37,

由EH=PR得:(3-x)+(3-χ)=3χ?tΛ,

44

綜上，X的值為旦或紅；

711

②如圖，連接4凡QF,由對(duì)稱可知。廣=。尸,

：.CR=x+\,

：.ER=3-χf

t

?BQ=χf

ΛEQ=3-χf

：?ER=EQ,

；?NFQR=NEQR=45°,

；.NBQF=90°,

A

9

..QF=QF=BQIanB=—x,

3

??,A3是半圓。的直徑，

.ZAFB=90o,

9

?BF=AB9CosB=—,

4

49

?百x+x二不

27

?X=

28

CF'BC-BFz

BFBF

5.證明：（1）;A為CD中點(diǎn),

-AD=AC.

.ZACE=NABC.

9

?ZCAE=ZBACf

，?ACE^ΔABC;

(2)V?ACE<^?ABC,

???—CA=—BA.

CEBC

?：AB=BC,

：.CA=CE.

：.ZCEA=ZCAE.

9JBF//AC,

：.ZFBE=ZCAE.

9

?ZFEB=ZCEAf

：.NFBE=/FEB.

：.BF=FE.

解：(3)連接08,Oe,設(shè)AM與Co交于點(diǎn)H,如圖,

YA為而中點(diǎn)，

.?OA±CDf

：?CH=HD=WCD=4炳,ZAEH+ZEAH=90o.

?：/FEB=/AEH,

：.NFEB+NEAH=90°.

.?ZFBE+ZEAH=90o.

tCOB=OA,

：.ZEAH=ZOBA.

.?.NOBA+N尸8E=90°.

即OBl.bM.

ΛZBOM+ZM=90o.

「OHlCD9

ΛZF+ZM=90o,

：.ZBOM=ZF.

.*.tanZBOM=tanZF=-.

4

uJBF∕∕AC,

：.ZACH=ZF,

3

ΛtanZACH=tanZF=-，

4

?.Tan∕AC"=里

CH

??.AH=3.

CH4

ΛΛW=3√3.

設(shè)圓的半徑為x,則OH=X-3我.

在RtZ?0HC中，

?；Od=OH2+CH2,

?,X2=(x-3λ∕3)2+(4V3)2-

解得:X=25√1.

6

...0B=2^Z1_,

6

在RtZ?0BM中，

VtanZBOA/=-=Λ,

OB4

.BM=2SM

8

6.解：(1)如圖1,'：AB=AC,AD=AC,

以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)8、C、。必在C)A上，

；NBAC是OA的圓心角，而NBDC是圓周角,

ΛZBDC=-ZBAC=45°,

2

同理，當(dāng)點(diǎn)。在弧BC上時(shí)，ZBDC=135°.

故答案是：45°或135；

(2)如圖2,取BO的中點(diǎn)0,連接40、CO.

:NBAD=NBCD=90°,

點(diǎn)A、B、C、。共圓，

N8OC=N8AC,

VZBDC=25o,

.?ZBAC=25°,

(3)如圖3,作AABC的外接圓，過(guò)圓心。作OE_LBC于點(diǎn)E,作。/，Ao于點(diǎn)凡連

接0A、OB.0C.

YNBAC=45°,

ΛZBC>C=90o.

在RtABOC中，BC=6+2=8,

：.Bo=CO=4近.

'JOELBC,。為圓心，

：.BE=—BC=4,

2

ΛDE=OF=2.

在RtZ?BOE中，Bo=4&,BE=4,

：.OE=DF=A.

在RtZkAO尸中，AO=4√2>OF=2,

J.AF=2?Γj,

ΛAD=2√7+4.

為劣弧前的中點(diǎn),

:?CD=BD,

：.ODl.BC.

Y尸尸是。。的切線,

.?.OD上PF,

J.BC∕∕PF↑

(2)連接OO,BD,如圖,

設(shè)AE=JG則Ao=I+x.

???。為劣弧前的中點(diǎn)，

?*?CD=BD>

JCD=BD,ZDCB=ZCAD.

*：ACDE=ΛADC,

ΛΔCDE^?ADC,

??.CD二AD,

DECD

/.CD2=DEMD=IX(1+Λ)=1+X.

ΛBD2=I+x.

YAB為OO的直徑，

ΛZADB=90°,

.?AD2+BD2^AB2.

=OO的半徑為√E,

ΛΛB=2V5.

Λ(1+X)2+(1+X)=(2√5)2'

解得：*=3或工=-6(不合題意，舍去)，

：.AE=3.

(3)連接。。，80,設(shè)。。與BC交于點(diǎn)”，如圖,

P

由（2）知：AE=3,AD=AE+DE=4,

VZADB=90°,

5

TOA=OD,

ΛZDAB=ZADOf

cosZADO=CosZDAB=^^~

5

?：OHLBC,

：.BH=-CH,COSNAoO=更，

DE

.?DH=DE×.

55

/.OH=OD-DH=娓-WL=宜/?

55

.4√5

Λ^=√0B2-0H2

5

5

為。。的直徑,

.?.∕ACB=90°，

由（1）知：OD工PD,OHLBC,

???四邊形C/7QP為矩形，

ΛZP=90°，CP=DH=^DP=CH=,

55

,△DCP的面積=LXCP'DP=-.

25

8.（1）證明：'：AB=AC,

?*?AB=AC?

.?.ZAPB=ZABC.

?：NABC=NABP+NCBP,NABP=NACP,NCBP=∕PAC,

ΛZABC=ZPAC+ZPCA.

：.ZAPB=ZPAC+ZPCA.

(2)解：延長(zhǎng)BP至點(diǎn)。，使PD=PC,連接AO,如圖，

???點(diǎn)P為眾的中點(diǎn)，

???PA=PC.

：.PA=PC,ZABP=ZCBP.

.?PA=PD.

：.ZD=ZPAD.

：.NAPB=NHD+∕D=2N隙D.

VAB=AC,

=AC.

???ZAPB=ZABC.

?.?ZABC=NABP+NCBP=2NABP,

：.ZPAD=NABP.

VZD=ZD,

：.XDAPs叢DBA,

.PDJA^AD

<#AD??=BO,

ZD=ZPAD,ZPAD=ZABP9

：.AD=AABP.

ΛAD=AB=6.

設(shè)B4=x,則Po=JGBD=5+χf

.X_6

65+x

ΛX2+5X-36=0.

解得：x=4或-9(負(fù)數(shù)不合題意，舍去).

二%=4；

(3)連接OP,OC,過(guò)點(diǎn)C作CH，BP于點(diǎn)4,如圖,

J,OP=OC=PC=S,

.?.AOPC為等邊三角形.

.?.NPOC=60°.

ΛZPBC^-ZPOC=30o.

2

在RtZXBC”中，

BH-BC?cos300-6×近=3時(shí)，

2

CH=^BC=3.

2

在RtZ?PC”中，

W=VPC2-CH2=4?

PB=P∕∕+B∕∕=4+3√3.

V四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，

；.NPCE=NBAP.

"：NE=ZABP,

：.[XEPCSiXBPA.

???PE—PC?

BPAP

IAP?PE=PC?BP=5(4+3√3)=20+15?.

9.(1)證明：連接OA,

A

?.?CD是。。的直徑，

ΛZCAD=90o,

ΛZOAC+ZOAD=90°,

又,：OA=OD,

：.ZOAD^ZODA,

又：/BAC=NAQB,

，/BAC+/OAC=90°,

即Na40=90°,

:,ABLOA,

又；0A為半徑，

二直線AB是0。的切線；

(2)解：:NBAC=NADB,/B=ZB,

Λ?BCA^?BΛD,

.ACBC

ADAB

設(shè)半徑OC=OA=r，

?：BC=ZOC,

：.BC=2r,0B=3rf

在RtZJMO中，

^β=√OB2-OA2=√(3r)2-r2=2√2r>

在RtACAO中，

(3)解：在(2)的條件下，ΛB=2√2r=2√6.

ΛCD=2√3,

在RtACAO中，

—z?^?,AC2+AD2=CD1,

AD2

解得AC=2,AD=2√2-

：4尸平分/C4。，

.".ZCAP=ZEAD,

又；/APC=ZADE,

：.IXeAPSEAD,

...-A-C--A-P-,

AEAD

.?AE?AP=AC?AD=2×2√2=4√2.

10.證明：(1)Ao于點(diǎn)E,

ΛZDEC=90o,

PBC=CD,

???。是8。的中點(diǎn)，

又TO是A3的中點(diǎn)，

???。。是48DA的中位線，

.?.OC//AD,

/.ZOCE=ZCED=WO，

：?OC±CEf

又Y點(diǎn)C在圓上，

,CE是圓。的切線；

(2)①連接AG

VOClCE,

ΛZECO=90o,

???AB是直徑,

ΛZACB=90o=NECO,

/.ZECA=ZOCB1

VOC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=ZACEf

?.?ZABF=ZACF,

：.ZOBC-ZABF=ZACE-ZACFf

：.NEBC=NECF,且NEBC=NCAP,

.?.NECF=ZCAP,且/CPF=ZCPA,

：ZCFSIXPAC,

.PCPF

"PA=PC

：.PC1PF*PA

②?.S8是直徑，點(diǎn)尸在圓上，

，NAFB=NPFE=90°=ZCEA,

'：AEPF=AEPA,

：.XPEFsXPAE,

?PEPF

"PA'PE

.'.PE1=PF?PA

IPE=PC

在直角尸中，SinZPFF=-

PE5

11.(1)解：連接0。，如圖，

?.?OO的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,

：.DE=EC=-CD=?),

2

FB=IO,

：.OA=OB=OD=S,

ΛOE=7QD2,DE2=4.

.?AE=OA+OE=9,

"."DP=4,

,PE=DP+DE=7.

'JPEVAE,

AE9

'.tanZP=

EP7

(2)①證明：連接8Q,如圖,

???AB為Oo的直徑，

ΛZAQB=90o,

ΛZβAB+ZB=90o,

PELAE,

.?ZQAB+ZP=90o,

ΛZP=ZB,

λ

:ZB=ZACQ9

：.ZACQ=ZCPA.

@W：λ:CEVAB,

322

ΛΛC=√AECE=√92+32=3√10?

β.?四邊形AQQC為圓的內(nèi)接四邊形，

：.APDQ=ΛQAC,

?.?AACQ=ΛCPA.

???△尸OQSz^C4Q,

s2

?APDQ_(DP)2-X?

SZkcAQAC90

一,s?QAC^^2^s?PDQ,

X

???ZXPQQ與aDCQ是等高的三角形，

.S^DCQCD6

??------=------=---，

SZkPDQDPX

??-Ao

bb,

,,?DCQ-χ?PDQ

..sAQAC_

-7-----=y，

bAQDC

90

C2

._5AQAC_15

?)SZkQDC?X

X

.?.y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=」立.

X

12.(1)證明：在優(yōu)弧EF上任意取一點(diǎn)G,連接GE,GF,

???四邊形EDCG是圓內(nèi)接四邊形,

ΛZEDF+ZG=180o,

?：∕EDB+NEDF=180°,

,NG=NBOE,

VZEΛF=2ZG,

：.ZEAF=2ZBDE；

(2)作/于H,

?：∕EBD=2∕EFD,2/EFD=/BAD,

NEBD=NBAD,

：.BD=AD1

在aBOC和△■￡>”中，

ZZC=ZAHD

<NBDC=NADH,

BD=AD

Λ∕?BDC^∕?ADH(AAS),

：.CD=DHf

：.DF=2DH,

：.DF=2CD；

(3)解：①在RtZVlBC中，由勾股定理得，AB=IO,

VZBDC=ZADF=ZAFD,ZC=ZEAF=90°,

Λ?CDB∞?AFB,

.BCCD

??—-?——，

ABAF

?6_8-r

??―f

10r

解得r=5；

②作EGlAD于G,

③

J.EG//BC,

.?ΔAEG^ΛABC,

.?AG=-,EG=-r,DG=-r,

5r55

在RtAEDG中，由勾股定理得,

ΠF-√10R

LJLL--------------Γ,

5

?BE?DE=(10-r)XS-r=-0Ll?ViM

55

當(dāng)r=-2λ?-=5時(shí)，BE-DE最大值為5√iθ?

2a2X續(xù)

13.(1)解：①以AB為直徑的圓的圓心為P,

過(guò)點(diǎn)P作C于"，作AELP”于凡連接尸。、AD,

則。"=HC=LQC,四邊形A?！睆S為矩形,

2

：.AF=OH,FH=OA=I,

解方程/-4x+3=0,得Xl=1,12=3,

9JOOOD,

：.0D=?,OC=3,

ΛDC=2,

.?DH=lf

：.AF=OH=2,

設(shè)圓的半徑為r,則∕W={PD受DlF=√r二l，

：.PF=PH-FH=NT27-1,

2122222

在Rt八3P尸中，AP=AF+PF,即r=2+Cy∣τ-l-D,

解得：廠=返，

?.?∕AOO=90°,04=00=1,

ΛAD=√2,

'：AB為直徑，

ΛZADB=90o，

λβ°≈√AB2-AD2√(2√5)2-(√2)2=3企,

AD_√2

ΛtanZABD==JL

BD3√23

②過(guò)點(diǎn)B作BE，X軸于點(diǎn)，作AGJ_BE于G,

則OkHPH"BE,

為48的中點(diǎn),

J.OE=2OH=4,BG=2PF=2,

；.BE=BG+GE=3,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,3)；

(2)證明：過(guò)點(diǎn)E作EHJ_犬軸于，，

???點(diǎn)E是血的中點(diǎn)，

?"?ED=EB'

：.ED=ES,

；四邊形EoCB為圓P的內(nèi)接四邊形,

NEDH=NEBF,

在AEHD和AEFB中，

rZEDH=ZEBF

<NEHD=NEFB=90°，

ED=EB

：.叢EHD迫叢EFB(AAS),

.?EH=EF,DH=BF,

在Rt?E∕7C和RtAEFC中,

JEH=EF,

IEC=EC'

，RtZXEHCgRtZSEFC(HL),

J.CH=CF,

:.2CF=CH+CF=CD+DH+Be-BF=BC+CD.

圖(1)

14.(1)①證明：Y將AABC沿射線AC平移得到aOEH

J.BE//CF,

VZACB=90o,

：.ZCBE=ZACB=90o,

連接OG,OE,

?.?QE與。。相切于點(diǎn)G,

ΛZOGE=90o,

：?/OBE=NOGE=90°,

VOB=OG9OE=OEf

?,.RtZXBO催RtZXGOE(HL),

：.BE=GE;

圖2

ΛZDΛ√B=90o,

由（1）知∕C8E=∕8CF=9O°,

四邊形BCQM是矩形，

：.CD=BM,DM=BC,

由（【）可知BE=GE,

同理可證CD=DG,

設(shè)8E=x,CD=y,

在Rt△￡>/￡中，MD2-+EM1=DEL,

二（X-y）2+62=（X+y）2,

.?.xy=9,

即BE?CD=9;

(2)①證明：延長(zhǎng)HK交BE于點(diǎn)Q,

設(shè)乙4BC=α,

?：OB=OH,

：?∕BHO=∕OBH=（x,

：.NBoQ=NBHO+NOBH=2a,

：.ZBQO=90o-2α,

,.?/XABC沿射線AC平移得到△￡>￡r,ADEF沿DE折疊得到

???ZDEF=ZDEF=NABC=CG

：.NBEF=90°-2a,

：.NBQo=NBEF,

J.HK∕∕EF?,

②解：連接Fa交OE于點(diǎn)N,

圖4

,/∕?DEF沿DE折疊，點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)為F,

：.ED±FF,FN=工FF,

2

是。。的直徑.；，

.?.∕HBK=90°,點(diǎn)尸恰好落在射線BK上，

.?.8尸_[_48,

,.?XABC沿射線AC方向平移得到4CEF,

.?AB∕∕DE,BC=EF,

二點(diǎn)8在FF的延長(zhǎng)線上，

=BC是OO的直徑，

.".HK=EF,

在AHBK和△￡7VF中，

'NHBK=NENF

<NBHo=NNEF，

HK=EF

AHBK邇XENF(AAS),

：.BK=NF,

設(shè)BK=x,則BF=βK+KF+FF=x+3+2x=3x+3,

"：OB=OK,

.?.NOBK=NOKB,

又,：NHBK=∕BCF=90°,

：.AHBKsAFCB,

?BKHK

??二，

BCBF

x=6

63x+3

解得：Λi=3,xι=-4(不合題意，舍去)，

.?BK=3,

在Rt2λHBK中，sin/BHK=巡=?=工，

KH62

：.NBHK=3。°,

ΛZABC=30°,

在RtZ^4C8中，tan∕A8C=tan30°=9，

BC

ΛAC-6?tan30o~6×^-=2√3.

3

即AC的長(zhǎng)為2√5.

15.(1)解：VZABC=60°,ZACB=80°,

二/4=180°-ZABC-ZACB=40o,

；8E是NABC的平分線，

NEBC=工/ABC,

2

：CE是NACQ的平分線，

：.ZECD^-ZACD,

2

JNBEC=NECD-ZEBC=-ZACD--ZBAC=-ZA=20°,

222

即NE=20°；

(2)①?.?AC是。。的直徑，

ΛZABC=90°,

,/NF是AABC中NBAC的好望角，

.?.2F平分/4BC,

.?.NCBE=工N48C=45°,

2

.?.∕E4C=NCBE=45°；

②證明：；AC是。。的直徑，

ΛZADC=90o,

ΛZADF=90°,

V四邊形AEDC是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZFDE^ZCAE^45Q,

：.NADE=NFDE=45°,

VZF是aABC中NBAC的好望角,

.?.ZF=AZBAC,

2

,/ZBDC=ZBAC=ΛF+ADBF,

：.NF=ZDBF,

JDF=DB,

NDE=DE,

.".Δ,FED^Δ,AED(SAS),

：.AE=EFi

③聯(lián)結(jié)AF,過(guò)點(diǎn)A作AH垂直于FB于點(diǎn)H,

VAB=8,

ΛAW=^ΛB=4√2?

'：∕?FED^∕?AED,

JAD=FD,

：,∕?ADF是等腰直角三角形，

ΛZ∕?D=45o,

VZMD=ZEAC=45o,

ZFAE=ZDAC,

又FE=EF,ZFAE=ZAFE,

：./AFE=ZDAC,

.".SinZAFE=SinZDAC,

設(shè)AD=x,則AF=&X，

.AHCD

AFAC

,?√2_5

,,近X"+25'

.20

：.AD^—,

3

VCZ)=5,

.MC=也D2+AD2=#2+(^^=李

16.證明：(1)連接?！?gt;,交.BC于點(diǎn)、N,如圖,

VAB為直徑，

ΛZACB=9O°.

ΛZBCM=90°.

平分NBAC,

?'?CD=BD.

ΛOTVlBC.

"JDMVAC,

二四邊形CNDM為矩形.

.,.OD±MD.

?.?oo為圓的半徑，

二M。是C）O的切線；

解：（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM存在最小值.理由：

過(guò)點(diǎn)C作CF±AB,并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)F,連接MF,交AB于點(diǎn)E,連接EC,則此時(shí)

VZB=30°,NAC8=90°,

.?ZCAB=60Q.

?.?4￡＞平分/a4。，

：.ZCAD=ZDAB=30°.

；.而與曲的度數(shù)為60°.

；AB是直徑，

???宛的度數(shù)為60°.

:?AC=CD=BD-

?'ABLCF9A3是直徑，

ΛAC=AF.

+AC+CD=180°.

???奇為半圓.

???q。為圓的直徑.

由（1）知：MQ是OO的切線，

：.FDLMD.

由題意：A3垂直平分尸C,

：.EC=EF.

：.EC+EM=EF+EM=FM.

*：/CFD=/DAB,ZDAB=30o,

ΛZCFD=30Q.

?.?AB=8,

ΛFD=8.

由（1）知：四邊形MCND為矩形，

JMD=NC.

uCONLBC,

：.CN=工BC.

2

在RtΔACB中,

VsinZCAS=-,

AB

ΛBC-Aβ?sin60o~8×^β-=4√3?

MD=CN=LBC=2冊(cè).

2

在Rt△FDM中,

22

Λ∕F=√DF2+HD2=√8+（2√3）=2√Iξ.

；?EC+EM的最小值為MF=2√19?

解：（3）如圖，

VFCWZACB,ZACB=90O,

ΛZACF=ZβCF=45o.

,NBAF=NBCF=45°.

?「AO平分NBAG

J.ZCAD=ZBAD.

,/ZPAF=NBAD+NBAF,NAPF=ZACF+ZCADf

：.ZPAF=NAPF,

.?AF=FP.

.??FC=FP+CP=AF+3.

*：ZFAB=ZACF=45o,ZF=ZF,

?FAFE

??—>

FCFA

.?.∕?2=尸E?FC=4（AF+3）.

.?AF2-4AF-12=0.

解得：A5=6或AF=-2（不符合題意，舍去），

：.AF=6.

17.解：（1）如圖1,連結(jié)BC,AD,OA,

?.?CF是直徑，且眾=赤，

.?.∕AOC=90°,

ΛZCBA=ZCDA=-ZAOC=45°,

2

,：ABLCD,

,NOCB=NABC=45°,NDAE=NAoC=45°,

：.BE=CE,AE=DE,

J.AE+BE=CE+DE,

即AB=CDi

(2)如圖2,連結(jié)。4,CA,CB,過(guò)點(diǎn)G作G"LCB于點(diǎn)兒

"ABLCD,

：.ZCEA=ZCEG=90°,

；點(diǎn)E是AG的中點(diǎn)，

J.AE=GE,

"：CE=CE,

ΛRt?CAf^RlΔCGE(HL),

：.ZACE=ZGCE,

VΛACF^-ZAOF=45°，

2

：.NACE=NGCE=225°,

ΛZCAB=67.5°,

.?.前的度數(shù)為135°,

'：ZGCE=22.5o，ZCBA^ZCDA=45Q,

.?.CG是NECB的角平分線，ABHG是等腰直角三角形，

,AE=GE=GH=BH==BG,

2

x=√2?

(3)①如圖3連結(jié)Ao交CE于點(diǎn)P,DF,

：/A0C=/AoF=90°,NOPC=NAPE,

：.ZOAG=AOCP,

"：OC=OA,

.?∕?OAG^∕?OCP(ASA),

ΛCP=AG,

又；NAEP=NCEG=90°,

XAEPsχcEG,

--

.AEPE0∏AECE-CPBEAGBG-AExAEAE

CEGEBEGEGEBE-BGBE-XAE

■]XT

BEBE-XAE

化簡(jiǎn)得型=2_i，

BEX

?.?CF是直徑，

ΛZCDF=90o=NCEB,

J.EG//DF,

?.?DE=FG=v?

CECGy

"CAE=DE,BE=CE,

?..AE

BE

②如圖4,連結(jié)4C,過(guò)點(diǎn)尸作尸BG于點(diǎn)

..AE2,

BEX

O-YQ-γ

:?AE=BE(EG+xAE)，

XX

2

???EG忍XZAE,

?：NCEG=NFQG=90°,ZCGE=ZFGQf

：.XCEGsXFQG,

?FQFG

??----=-----=v?

CECGy

；ACEG的面積是ABG尸面積的3倍，

：.EG*CE=3BG?FQ,即

3BGCE

2

X-XAE

.2-χ_x-l=2,

3XAE6-3xX

解得X[=∣?,X2=4(舍)，

.AE211

BEX3

CEBE

ΛtanZBFG=tanZCΛE=-=^=3

AEAE

圖3

圖1

18.(1),.'AC2=AD?AB,

..?AC—AD,

ABAC

又?..∕A=NA,

Λ?ACD^?ABC,

.?.∕4Cf>=∕B.

(2)