2023年北京市東城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2023年北京市東城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列四個(gè)幾何體中，主視圖是三角形的是（）

BCD

眉S?A?O

2.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)發(fā)布的“中華人民共和國(guó)2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)”顯示,

我國(guó)企業(yè)研發(fā)投入繼續(xù)保持兩位數(shù)增長(zhǎng)，2022年全年研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）經(jīng)費(fèi)支出30870

億元，比上年增長(zhǎng)10.4%,將30870用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.3.087×IO3B.3.087×IO4C.0.3087×IO5D.30.87×IO3

3.下面由北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個(gè)圖形中，可看作軸對(duì)稱圖形的是（）

11

1COD

A.2-2-

5.用配方法解一元二次方程/+6x+3=0時(shí)，將它化為（％+m）2=ri的形式，則m-n的

值為（）

A.-6B.-3C.0D.2

6.如圖是甲、乙兩名同學(xué)五次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的折線圖.比較甲、乙兩名同學(xué)的成績(jī)，下列說(shuō)

法正確的是（）

八成績(jī)/分

A.甲同學(xué)平均分高，成績(jī)波動(dòng)較小B.甲同學(xué)平均分高，成績(jī)波動(dòng)較大

C.乙同學(xué)平均分高，成績(jī)波動(dòng)較小D.乙同學(xué)平均分高，成績(jī)波動(dòng)較大

7.如圖，/.AOB=40°,按下列步驟作圖：①在。4邊上取一

點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心、OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)D,連接CD；

②以點(diǎn)C為圓心、C。長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)、E,連接CE,

則NDCE的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

8.如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)4B重合），分別以AB,

AP,BP為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y,線段

AP的長(zhǎng)為X.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)4移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，y隨X的變化而變化，則

表示y與X之間關(guān)系的圖象大致是（）

二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）

9.若分式石匚的值為0,則實(shí)數(shù)X的值為

X

10.分解因式：2——4%+2=.

11.如圖，已知A∕1BC,用直尺測(cè)量AZBC中BC邊上的高約

為cm(結(jié)果保留一位小數(shù)).

12.己知點(diǎn)4(√^,τn),B(∣,n)在一次函數(shù)y=2x+b的圖象上，則n?n(填

或).

13.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,點(diǎn)4B,C是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則4ABC

的外角乙4CD的度數(shù)等于

B

7C

t)

~A

14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是

15.如圖，樹(shù)4B在路燈。的照射下形成投影4C,已知路燈高Po=

5m,樹(shù)影AC=3m,樹(shù)AB與路燈。的水平距離AP=4.5m,則樹(shù)

的高度4B長(zhǎng)是米.

16.一枚質(zhì)地均勻的骰子放在棋盤上，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，相對(duì)兩個(gè)面上

的點(diǎn)數(shù)之和為7.骰子擺放的初始位置如圖所示.骰子由初始位置翻滾一次，點(diǎn)數(shù)為1的面落在1

號(hào)格內(nèi)；再?gòu)?號(hào)格翻滾一次，點(diǎn)數(shù)為5的面落在2號(hào)格內(nèi)；繼續(xù)這樣翻滾……

(1)當(dāng)骰子翻滾到2號(hào)格時(shí)，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為；

(2)依次翻滾6次到6號(hào)格，每次翻滾后骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為.

三、解答題（本大題共12小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題5.0分）

計(jì)算：√^7-3tαn30o+2023°-|-1∣?

18.（本小題5.0分）

f3x~l/?

解不等式組M<2X.

l2x+1≥X—1

19.（本小題5.0分）

已知——3x—1=0,求代數(shù)式（%+2）（x—2）+（x—3）2的值.

20.（本小題5.0分）

下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

21.(本小題5.0分)

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，反比例函數(shù)y=g(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3).

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)X<-1時(shí)，對(duì)于X的每一個(gè)值，函數(shù)y=-x+n的值大于反比例函數(shù)y=Mk≠0)的值，

直接寫出般的取值范圍.

22.(本小題6.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，BD平分乙4BC.

(1)求證：四邊形4BC0是菱形；

(2)連接AC交BD于點(diǎn)0,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,在NDCE的內(nèi)部作射線CM,使得乙ECM=I5。，過(guò)點(diǎn)

。作DF1CM于點(diǎn)凡若N4BC=70o,DF=√^5,求NACD的度數(shù)及BD的長(zhǎng).

23.（本小題5.0分）

某校開(kāi)展了“學(xué)習(xí)二十大”的知識(shí)競(jìng)賽（百分制），七、八年級(jí)學(xué)生參加了本次活動(dòng).為了解兩

個(gè)年級(jí)的答題情況，該校從每個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績(jī)，并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行了

整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

α.七年級(jí)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下

,70≤X<80,80≤X<90,90≤x≤100）：

-2

-1

-0

9

8

7

6

5

4

3

2

—

O

b,七年級(jí)成績(jī)?cè)?0<x<90的數(shù)據(jù)如下（單位：分）：

808185858585858585858889

c?七、八年級(jí)各抽取的30名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表:

年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

七年級(jí)80.4mn141.04

八年級(jí)80.4838486.10

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）表中m=,n=；

（2）下列推斷合理的是；

①樣本中兩個(gè)年級(jí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級(jí)數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校八年級(jí)學(xué)

生成績(jī)的波動(dòng)程度較?。?/p>

②若八年級(jí)小明同學(xué)的成績(jī)是84分，可以推斷他的成績(jī)超過(guò)了該校八年級(jí)一半以上學(xué)生的成

績(jī).

(3)競(jìng)賽成績(jī)80分及以上記為優(yōu)秀，該校七年級(jí)有600名學(xué)生，估計(jì)七年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人

數(shù).

24.(本小題6.0分)

如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C,。在O。上，點(diǎn)。為命的中點(diǎn)，OO的切線DE交B力的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,連接AC,BC,CD.

(1)求證：=?BAC?,

(2)若O。的半徑長(zhǎng)為5,CosE=I，求CD和DE的長(zhǎng).

25.(本小題6.0分)

已知乒乓球桌的長(zhǎng)度為274cm,某人從球桌邊緣正上方高18Cnl處將乒乓球向正前方拋向?qū)γ?/p>

桌面，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線近似是拋物線的一部分.

(1)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過(guò)程中，乒乓球的

2

豎直高度y(單位:CZn)與水平距離x(單位:CZn)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=α(x-∕ι1)+∕c(α<0).

乒乓球的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高

度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；

水平距離工∕C7Π04080120160

豎直高度y/c租1842504218

(2)乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離X近似滿足函數(shù)關(guān)系y=

2

-0.005(x-∕ι2)+8.判斷乒乓球再次落下時(shí)是否仍落在球桌上，并說(shuō)明理由.

26.(本小題6.0分)

已知拋物線y=ax2-2ax(a≠0).

(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含α的式子表示)；

(2)當(dāng)α>0時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)(一Ls),(k,t),若s>t時(shí)，直接寫出k的取值范圍；

(3)若AOn-Ly1)，B(m,y2),C(Jn+3,y3)都在拋物線上，是否存在實(shí)數(shù)小，使得當(dāng)<y3<

y2≤-α恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.(本小題7.0分)

如圖，在AABC中，AB=AC,ΛBAC=a,點(diǎn)。在BC邊上，以點(diǎn)4為中心，將線段4。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)ɑ得到線段4E,連接BE.

(1)求證：B4平分NEBC；

(2)連接OE交48于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG〃/1B,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.補(bǔ)全圖形，用等式表示線段

EF與。G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)M(a,b),將點(diǎn)P向左(a≥0)或向右(a<0)平移k∣a∣個(gè)單位

長(zhǎng)度，再向下(b≥0)或向上(b<0)平移刈例個(gè)單位長(zhǎng)度(k>0),得到點(diǎn)P',再將點(diǎn)P關(guān)于直

線MP'對(duì)稱得到點(diǎn)Q,稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的k倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”,特別地，當(dāng)M與P'重合時(shí)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)

于點(diǎn)M的中心對(duì)稱點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)P(3,0),k=2.

①若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),畫出點(diǎn)P',并直接寫出點(diǎn)P的2倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)；

②若。M=I,直線y=x+b上存在點(diǎn)P的2倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍；

(2)半徑為3的。。上有不重合的兩點(diǎn)M,P,若半徑為1的。。上存在點(diǎn)P的A倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，

直接寫出k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：正方體的主視圖是正方形，

故A選項(xiàng)不合題意，

圓柱的主視圖是矩形，

故8選項(xiàng)不合題意，

圓錐的主視圖是三角形，

故C選項(xiàng)符合題意，

球的主視圖是圓，

故。選項(xiàng)不合題意，

故選：C.

根據(jù)主視圖的定義即可直接選出答案.

本題主要考查三視圖的概念，要牢記常見(jiàn)的幾種幾何體的三視圖，尤其是圓錐和圓柱的三視圖.

2.【答案】B

【解析】解：將30870用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為3.087X103

故選：B.

科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為aXIO71的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成α?xí)r，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，H的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于

10時(shí)，H是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，

這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】

解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以不是軸對(duì)稱圖形.

選項(xiàng)。能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是

軸對(duì)稱圖形.

故選：D.

4.【答案】B

【解析】解：觀察數(shù)軸，可知α<0,b>0,且∣α∣>∣b∣,

所以α+b的結(jié)果為負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值為：Ial-Ibl=-α-b,

將-a在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖，

II：III?IA

-3-2-10I23

由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知0<-a-b<1,

**?-1VQ+b<0,

故選：B.

根據(jù)實(shí)數(shù)加法法則，借助數(shù)軸的直觀性解答.

本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解答時(shí)涉及異號(hào)兩數(shù)相加的法則理解，靈活運(yùn)用加法法則是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：X2÷6x+3=0,

X2+6x=-3,

%2+6%÷9=6,

(x+3)2=6,

所以?n=3,n=6,

所以血—n=3—6=-3.

故選：B.

先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上9,接著把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到

m>九的值，然后計(jì)算n?-n的值.

本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

6.【答案】D

【解析】解：乙同學(xué)的平均分是：卷X(Ioo+85+90+80+95)=90,

甲同學(xué)的平均分是：?×(85+90+80+85+80)=84,

因此乙的平均數(shù)較高；

S；="X[(100-90)2+(85-90)2+(80-90)2+(95-90)2]=50,

22222

S^7=I×[(85-84)+(90-84)+(80-84)+(80-84)+(85-84)]=14,

???50>14,

???乙的離散程度較高，不穩(wěn)定，甲的離散程度較低，比較穩(wěn)定；

故選：D.

分別求出甲、乙的平均數(shù)、方差，比較得出答案.

本題考查平均數(shù)、方差的計(jì)算方法，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)據(jù)，是正確計(jì)算的前提.

7.【答案】B

【解析】解：由作法得OC=。。，CO=CE,

???CO=CE,

???Z.CEO=乙COE=40°,

VOC=OD9

11

??.?OCD=4ODC=其180。-乙CoD)=∣×(180°-40°)=70°,

V?CDO=?CEO+Z-DCE,

???乙DCE=70°-40°=30°.

故選：B.

由作法得OC=OD,CO=CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到NCEO=?COE=40°,

WCD=乙ODC=70°,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出NDCE的度數(shù).

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的

基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)AB=α,AP=X,

則BP=a-x,

.?.y=π-φ2-π■φ2-π?(?)2

πa2ππ,ππ

=———-X7c—~a7L+-ɑx--x7z

44424

=-^X2+?ɑ?,

???y關(guān)于X的函數(shù)圖象是過(guò)原點(diǎn)開(kāi)口向下的拋物線，

故選：C.

設(shè)4B=a,AP=X,則BP=a-x,根據(jù)陰影部分的面積=大半圓的面積減去兩個(gè)小半圓的面積，

列出y與X的函數(shù)解析式，從而判斷圖象的大致形狀.

本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式.

9.【答案】?

【解析】解：???分式生?的值為0,

X

：.2%—1=0且X≠0,

解得：x=?.

故答案為：?.

根據(jù)分式的值為0得出2x-l=0且x≠0,再求出X即可.

本題考查了分式值為0的條件，注意：當(dāng)分子力=0且分母B≠0時(shí)，分式2的值為0.

10.【答案】2(%-1)2

【解析】解：2∕-4x+2,

-2(X2—2x+1),

=2(x-l)2.

先提取公因數(shù)2,再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點(diǎn)在于需要進(jìn)行二次分解因

式.

11.【答案】2.6

【解析】解：測(cè)量A48C中BC邊上的高約為2.6cm?

故答案為：2.6.

先確定高是哪一條線段，再測(cè)量即可.

本題考查了三角形高線，近似數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解三角形高的定義.

12.【答案】<

【解析】解：???k=2>0,

???y隨X的增大而增大，

又?.?4(q,τn),B&n)在一次函數(shù)y=2κ+b的圖象上，且，7<|,

：?m<n.

故答案為：V?

由k=2>0,利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨X的增大而增大，結(jié)合，9<|,可得出m<n.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0,y隨X的增大而增大；k<0,y隨X的增大而減小”是

解題的關(guān)鍵.

13.【答案】135

【解析】解：由勾股定理可知，AB=BC=√I2+22=V-5，AC=√I2+32=√10,

.?.AB2+BC2=AC2,

.?.△4BC是直角三角形，48=90。，

?：AB=BC,

.?./.ACB=45°,

.?.?ACD=180°-45°=135°,

故答案為:135.

根據(jù)勾股定理得出4B,BC,AC,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB,BC,力C解答.

14.【答案】?

【解析】解：畫樹(shù)狀圖如下:

共有4種等可能的結(jié)果，其中2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的結(jié)果有1種，

???2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率為中，

故答案為：

4

畫樹(shù)狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的結(jié)果有1種，再由概率公

式求解即可.

本題考查了樹(shù)狀圖法求概率以及概率公式，正確畫出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】2

【解析】解：?.'AB//OP,

.???CABfCPO,

.ABAC

??,

OPPC

tAB_3

?T=3+4.5'

?AB=2(m),

答：樹(shù)的高度4B長(zhǎng)是2m,

故答案為：2.

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用.測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角

形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決.

16.【答案】221

【解析】解(1)?；骰子的相對(duì)兩個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)之和為7,

???點(diǎn)數(shù)為5的面落在2號(hào)格內(nèi)，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為2.

故答案為：2；

(2)?；骰子依次翻滾6次到6號(hào)格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同，骰子的相對(duì)兩個(gè)面上的

點(diǎn)數(shù)之和為7,

二每次翻滾后骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為7X3=21,

故答案為：21.

(1)由骰子的相對(duì)兩個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)之和為7,即可得到答案；

(2)由骰子依次翻滾6次到6號(hào)格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同，即可求解.

本題考查正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字，規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是明白骰子依次翻滾6次到6號(hào)

格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同.

17.【答案】解：原式=3門—3x?+l—1

=3√^3-√^3+l-l

=2y∕~3.

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)器的性質(zhì)分別

化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.【答案】解：由拶<2x得：x>-l,

由2x+l≥x-1得：X≥-2,

則不等式組的解集為無(wú)>-1.

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：原式=X2-4+X2-6x+9

=2X2—6x+5,

X2—3x-1=0,

X2—3x=1,

原式=2(x2—3%)+5

=2×l+5

=7.

【解析】直接利用乘法公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，把已知整體代入得出答案.

此題主要考查了整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用乘法公式計(jì)算是解題關(guān)鍵.

20.【答案】方法一：

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF〃4B,交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

點(diǎn)￡是^ABC的邊AC的中點(diǎn)，

???AE=EC,?AED=乙CEF,Z.DEA=乙FEC,

CEF(ASA)9

?CF—AD,EF—DE,

???點(diǎn)。是△ABC的邊48的中點(diǎn)，

AD=DB=CF1

???四邊形BDFC為平行四邊形，

.?.DF/∕BC,DF=BC,

■■■EF=DE=；DF,

.?.DE//BC5.DE=^BC.

方法二

證明：如圖，延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接尸C、DC、AF,

???點(diǎn)。、E分別是ZMBC的邊48、AC的中點(diǎn),

???AD=BD,AE—EC,

又乙AED=乙CEF,

???△4EDWZkCEF(SAS),

???CF=AD=BD,乙EFC=?ADE1

?CF//AD,

???四邊形BDFC為平行四邊形，

?DF/∕BC,DF=BC,

?：EF=DE=初'

：.DE∕∕BC^.DE=?βC.

【解析】方法一，先證明AAEO三△CEF(ASA),推出CF=4。=BD,CF//AB,得到四邊形BDFC

為平行四邊形，得到Df√∕BC,DF=BC,即可得證.

方法二，證明AAEDmaCEF(SAS),推出CF=AD=BC,CF//AB,得到四邊形BDFC為平行四

邊形，得到。F〃BC,DF=BC,即可得證.

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是證明四邊形BDFC為

平行四邊形.

21.【答案】解：(1)???反比例函數(shù)y=

Mk手0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,3),

??.k=-1X3=-3,

???這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=-|；

(2)把點(diǎn)(一1,3)代入y=-％+n得,3=

1+n,

?n=2,

當(dāng)不<-1時(shí)，對(duì)于％的每一個(gè)值，函數(shù)

y=-%+兀的值大于反比例函數(shù)y=

E(ZcHO)的值，貝舊的取值范圍是幾≥

2.

【解析】(1)把點(diǎn)(—1,3)代入y=^(fc≠0),利用待定系數(shù)法即可求得；

(2)把點(diǎn)(-1,3)代入y=—%+n求得n的值，利用圖象即可求得n的取值范圍.

本題考查了待定系數(shù)法解反比例函數(shù)解析式及函數(shù)和不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵.

22.【答案】⑴證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

??AB//CDf

???Z-ABD=Z.BDC,

???BD^?ABCf

?Z-ABD=?DBCt

?Z-BDC=Z-DBC9

?BC=CD,

??Q∕BO)是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形/BCD是菱形，

1

???BO=DOf?DCA=Z.BCA=/CD,ACIBDfAB//CDf

???Z-BCD=180o-?ABC=180o-70°=110°,乙DCE=?ABC=70°,

??.?DCA=3乙BCD=55°,

???Z.ECM=15°,

???乙DCM=乙DCE-Z-ECM=70°-15°=55°,

?Z-DCA=?DCMf

???DF1CM,BDIAC9

??.Do—DF=V-5,

??.BD=2D0=2yΓ5?

【解析】(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得NBOC=4D8C,則8C=CD,然后由菱形的判

定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得B。=DO,乙DCA=乙BCA=占乙BCD,AC1BD,AB//CD,再證4DC4=LDCM,

然后由角平分線的性質(zhì)得。。=DF=屋,即可得出結(jié)論.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及角平分線的性質(zhì)等知

識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】8385①②

【解析】解：(1)把七年級(jí)30個(gè)學(xué)生的成績(jī)從小到大排列，排在第15和第16個(gè)數(shù)分別是81,85,

故中位數(shù)m-81^85-83；

七年級(jí)30個(gè)學(xué)生的成績(jī)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是85,故眾數(shù)n=85.

故答案為:83；85；

(2)由題意可知，樣本中兩個(gè)年級(jí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級(jí)數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校

八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的波動(dòng)程度較小，故①說(shuō)法正確；

若八年級(jí)小明同學(xué)的成績(jī)是84分，大于八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)，所以可以推斷他的成績(jī)超過(guò)了該校

八年級(jí)一半以上學(xué)生的成績(jī)，故②說(shuō)法正確；

故答案為：①②；

⑶600X甯=340(名)，

答：估計(jì)七年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為340名.

(1)分別根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；

(2)分別根據(jù)方差和中位數(shù)的意義解答即可；

(3)用700乘樣本中達(dá)到優(yōu)秀學(xué)生所占比例即可.

本題考查頻數(shù)分布直方圖、眾數(shù)、中位數(shù)、樣本估計(jì)總體，能夠從統(tǒng)計(jì)圖中獲取必要信息是解答

本題的關(guān)鍵.

24.【答案】(1)證明：???點(diǎn)。為訛的中點(diǎn),

?ODLAC,

???DE為。。的切線，

.?.OD1DE,

：.DE//AC,

??Z-E=Z.BAC↑

(2)解：。。交4C于F點(diǎn)，如圖，

在RtACMDE中，?.?CosE==^,

OE5

??.DE=√OE2-OD2=J(y)2-52=5，

在Rt△Oa/中,Vcos?OAF=cosE==空,

5OA

4

.?.ΛF=ξO?=4,

???OF=√OA2-AF2=√52-42=3，

?DF=OD-OF=5-3=2,

VOD1AC,

.?.CF=AF=4,

在Rt△CDF中，CD=V22÷42=2√-5,

即CD的長(zhǎng)為2門，DE的長(zhǎng)為5

【解析】(1)先根據(jù)垂徑定理得到。。_14C,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODJ.DE,所以。E〃AC,然

后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)。。交4C于尸點(diǎn)，如圖，在RtACMDE中利用余弦的定義求出OE=亭，則利用勾股定理可計(jì)算

4

出。E=苧，再在RtA04F中利用余弦的定義求出AF=4,則利用勾股定理計(jì)算出OF=3,所以

DF=2,接著根據(jù)垂徑定理CF=AF=4,然后利用勾股定理可計(jì)算出CD的長(zhǎng).

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了垂徑定理和解直角三角形.

25.【答案】解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，乒乓球豎直高度的最大值為50cm,∕ι1=80,k=50；

???y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-80)2+50,

把(0,18)代入函數(shù)解析式得：18=αX802+50,

解得α=-0.05,

??.y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.05(x-80)2+50；

(2)令y=0,則—0.05(X-80)2+50=0,

解得X=180或X=-20(舍去)，

???球第一次落在球桌面上的點(diǎn)為(180,0),

2

把(180,0)代入y=-0.005(x-∕ι2)+8得:

2

-0.005(180-∕ι2)+8=0,

解得％2=140(舍去)或無(wú)2=220,

???乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離》近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.005(%-

220)2+8,

當(dāng)y=O時(shí)，O=-0.005(x-220)2+8,

解得％=260或X=180(舍去)，

?.?260<274,

???乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上.

【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，乒乓球豎直高度的最大值，并得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定

系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

(2)先令(1)解析式中的y=0,解方程求出X的值，即為球第一次落地點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入

y=-0.005(x—電)2+8求出殳，再令y=0，求出無(wú)的值與桌面總長(zhǎng)比較即可.

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的解法，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式.

26.【答案】解：(1)拋物線y=ax2-2ax=α(x-I)2-a,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L-a)；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，如圖，

當(dāng)x>l時(shí)，y隨X的增大而增大，當(dāng)x<l時(shí)，y隨X的增大而減小,

?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-a),

???拋物線的對(duì)稱軸為為直線X=1,

???點(diǎn)(一l,s)關(guān)于直線X=1的對(duì)稱點(diǎn)為(3,s),

T點(diǎn)(-l,s),(k,t),s>t,

—1</c<3；

(3)存在實(shí)數(shù)m,使得yι<y3<丫2≤-α恒成立,

???Yi<)z3<72≤-α>拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L-a)，

???拋物線開(kāi)口向下，

JQVO,

如圖，當(dāng)B(7n,y2),C(Tn+3,丫3)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，yn+f+3=1,

解得Tn=-?,

?

??m>-2時(shí)，為<≤-%

當(dāng)火力-1,為)，8(犯乃)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，W也=1,

解得Zn=|,

3

???m<2時(shí)，y1<y2≤一。，

當(dāng)4(m-1,%)，C(m+3,y3)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，“今儂=?,

解得m=0,

:，m<0時(shí)，y1<y3≤—a,

綜上，存在實(shí)數(shù)m,使得當(dāng)<y3<、2W-α恒成立，m的取值范圍為一；<m<0.

【解析1(1)將拋物線y=α∕-2αx化為頂點(diǎn)式，即可求解；

(2)當(dāng)α>0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象以及拋物線的對(duì)稱性即可求解；

(3)由％<y2<y3≤-a可得拋物線開(kāi)口向下，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線X=1,結(jié)合圖象求解.

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象以及拋物線的對(duì)稱性，解

題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

27.【答案】(1)證明：????DAE=?BAC=α,

???Z-DAE-Z-BAD=?BAC-?BADf

即NBAE=Z.CAD,

在△4BE和AACZ)中，

AB=AC

Z-BAE=?CAD^

AE=AD

??.△ABE=?,ACD(SAS),

???Z.ABE=Z.ACD,

-AB=AC9

?Z-ABC=Z.ACD1

?Z-ABC=Z-ABE,

???BA平分NEBC；

(2)解：EF=DG,

證明：如圖，在4C上截取4H=∕F,連接DH,在CG延長(zhǎng)線時(shí)取點(diǎn)/,使C/=CH,連接。/,

在△4EF和△4。H中，

AE=AD

?BAE=?CADJ

AF=AH

AEF=AADH(SAS)f

：.EF=DH,?AFE=Z.AHDi

??.?AFD=乙CHD,

???CG//ABf

?Z.AFD=Z-DGl,

???乙DGl=(CHD,

-AB=AC,

???Z,ABC=?ACD,

???CG//AB,

??ABC=Z-ICDf

：,Z-ACD=/JCD,

在4"C0和4∕C0中，

CH=Cl

(HCD=(ICD,

CD=CD

??△HCD"ICD(SAS),

???Z.CID=乙CHD,DI=DH,

VZ.DGl=乙CHD,

???Z-ClD=Z.DGIf

?DI=DGt

：,DG=DH,

???EF=DH,

??.EF=DG.

【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)得NDAE=NBAC可得乙BAE=乙C4D,然后aSASff可證三△/C。，可

得結(jié)論；

(2)在AC上截取4H=ZF,連接DH,在CG延長(zhǎng)線時(shí)取點(diǎn)/,使C/=C”，連接D/,由“S4S”可證

AAEF任ADH,AHCDZAlCD(SAS),可得EF=D〃，DI=DH9乙ClD=乙CHD,由平行線的

性質(zhì)及等量代換得4C∕D=4DG∕,DI=DG9即可得結(jié)論.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，

作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

28.【答案】解：（1）①如圖,

???M(0,1),k=2,

???點(diǎn)P(3,0)向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P',

.??P'(3,-2),

設(shè)直線MP'的解析式為y=k1x+b1,

"U1=1，

直線MP'的解析式為y=-x+l,

在y=-x+l中，當(dāng)y=OH寸，x=1,即7(1,0)，

ΛOT=OM=1,?PTP'=4。TM=45°,

乙PPT=45°,

???點(diǎn)P關(guān)于直線MP'對(duì)稱得到點(diǎn)Q,

.?.ΛOP'T=ΛPP,T=45o,QP'=PP'=2,

乙QP'P=90°,

???(2(1)-2);

②如圖2-1所示，假設(shè)M在第一象限,過(guò)點(diǎn)M作MT1無(wú)軸于7,分別過(guò)點(diǎn)P作PH1久軸，PH〃y軸,

PH.P'H交于H,連接OM,連接OP,P'M交于4

由平移的性質(zhì)可知PH