2023年北京市東城區(qū)中考數(shù)學一模試卷

2023年北京市東城區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列四個幾何體中，主視圖是三角形的是（）

BCD

眉S?A?O

2.據(jù)國家統(tǒng)計局官網(wǎng)發(fā)布的“中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報”顯示,

我國企業(yè)研發(fā)投入繼續(xù)保持兩位數(shù)增長，2022年全年研究與試驗發(fā)展（R&D）經(jīng)費支出30870

億元，比上年增長10.4%,將30870用科學記數(shù)法表示應為（）

A.3.087×IO3B.3.087×IO4C.0.3087×IO5D.30.87×IO3

3.下面由北京冬奧會比賽項目圖標組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（）

11

1COD

A.2-2-

5.用配方法解一元二次方程/+6x+3=0時，將它化為（％+m）2=ri的形式，則m-n的

值為（）

A.-6B.-3C.0D.2

6.如圖是甲、乙兩名同學五次數(shù)學測試成績的折線圖.比較甲、乙兩名同學的成績，下列說

法正確的是（）

八成績/分

A.甲同學平均分高，成績波動較小B.甲同學平均分高，成績波動較大

C.乙同學平均分高，成績波動較小D.乙同學平均分高，成績波動較大

7.如圖，/.AOB=40°,按下列步驟作圖：①在。4邊上取一

點C,以點。為圓心、OC長為半徑畫弧，交OB于點D,連接CD；

②以點C為圓心、C。長為半徑畫弧，交OB于點、E,連接CE,

則NDCE的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

8.如圖，動點P在線段AB上（不與點4B重合），分別以AB,

AP,BP為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y,線段

AP的長為X.當點P從點4移動到點B時，y隨X的變化而變化，則

表示y與X之間關系的圖象大致是（）

二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）

9.若分式石匚的值為0,則實數(shù)X的值為

X

10.分解因式：2——4%+2=.

11.如圖，已知A∕1BC,用直尺測量AZBC中BC邊上的高約

為cm(結(jié)果保留一位小數(shù)).

12.己知點4(√^,τn),B(∣,n)在一次函數(shù)y=2x+b的圖象上，則n?n(填

或).

13.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,點4B,C是網(wǎng)格線交點，則4ABC

的外角乙4CD的度數(shù)等于

B

7C

t)

~A

14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是

15.如圖，樹4B在路燈。的照射下形成投影4C,已知路燈高Po=

5m,樹影AC=3m,樹AB與路燈。的水平距離AP=4.5m,則樹

的高度4B長是米.

16.一枚質(zhì)地均勻的骰子放在棋盤上，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，相對兩個面上

的點數(shù)之和為7.骰子擺放的初始位置如圖所示.骰子由初始位置翻滾一次，點數(shù)為1的面落在1

號格內(nèi)；再從1號格翻滾一次，點數(shù)為5的面落在2號格內(nèi)；繼續(xù)這樣翻滾……

(1)當骰子翻滾到2號格時，朝上一面的點數(shù)為；

(2)依次翻滾6次到6號格，每次翻滾后骰子朝上一面的點數(shù)之和為.

三、解答題（本大題共12小題，共68.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題5.0分）

計算：√^7-3tαn30o+2023°-|-1∣?

18.（本小題5.0分）

f3x~l/?

解不等式組M<2X.

l2x+1≥X—1

19.（本小題5.0分）

已知——3x—1=0,求代數(shù)式（%+2）（x—2）+（x—3）2的值.

20.（本小題5.0分）

下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

21.(本小題5.0分)

在平面直角坐標系Xoy中，反比例函數(shù)y=g(k≠0)的圖象經(jīng)過點(-1,3).

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；

(2)當X<-1時，對于X的每一個值，函數(shù)y=-x+n的值大于反比例函數(shù)y=Mk≠0)的值，

直接寫出般的取值范圍.

22.(本小題6.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，BD平分乙4BC.

(1)求證：四邊形4BC0是菱形；

(2)連接AC交BD于點0,延長BC到點E,在NDCE的內(nèi)部作射線CM,使得乙ECM=I5。，過點

。作DF1CM于點凡若N4BC=70o,DF=√^5,求NACD的度數(shù)及BD的長.

23.（本小題5.0分）

某校開展了“學習二十大”的知識競賽（百分制），七、八年級學生參加了本次活動.為了解兩

個年級的答題情況，該校從每個年級各隨機抽取了30名學生的成績，并對數(shù)據(jù)（成績）進行了

整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

α.七年級成績的頻數(shù)分布直方圖如下

,70≤X<80,80≤X<90,90≤x≤100）：

-2

-1

-0

9

8

7

6

5

4

3

2

—

O

b,七年級成績在80<x<90的數(shù)據(jù)如下（單位：分）：

808185858585858585858889

c?七、八年級各抽取的30名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

七年級80.4mn141.04

八年級80.4838486.10

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）表中m=,n=；

（2）下列推斷合理的是；

①樣本中兩個年級數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校八年級學

生成績的波動程度較??；

②若八年級小明同學的成績是84分，可以推斷他的成績超過了該校八年級一半以上學生的成

績.

(3)競賽成績80分及以上記為優(yōu)秀，該校七年級有600名學生，估計七年級成績優(yōu)秀的學生人

數(shù).

24.(本小題6.0分)

如圖，AB是O。的直徑，點C,。在O。上，點。為命的中點，OO的切線DE交B力的延長線

于點E,連接AC,BC,CD.

(1)求證：=?BAC?,

(2)若O。的半徑長為5,CosE=I，求CD和DE的長.

25.(本小題6.0分)

已知乒乓球桌的長度為274cm,某人從球桌邊緣正上方高18Cnl處將乒乓球向正前方拋向?qū)γ?/p>

桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分.

(1)建立如圖2所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的

2

豎直高度y(單位:CZn)與水平距離x(單位:CZn)近似滿足函數(shù)關系y=α(x-∕ι1)+∕c(α<0).

乒乓球的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高

度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關系式；

水平距離工∕C7Π04080120160

豎直高度y/c租1842504218

(2)乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離X近似滿足函數(shù)關系y=

2

-0.005(x-∕ι2)+8.判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由.

26.(本小題6.0分)

已知拋物線y=ax2-2ax(a≠0).

(1)求該拋物線的頂點坐標(用含α的式子表示)；

(2)當α>0時，拋物線上有兩點(一Ls),(k,t),若s>t時，直接寫出k的取值范圍；

(3)若AOn-Ly1)，B(m,y2),C(Jn+3,y3)都在拋物線上，是否存在實數(shù)小，使得當<y3<

y2≤-α恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

27.(本小題7.0分)

如圖，在AABC中，AB=AC,ΛBAC=a,點。在BC邊上，以點4為中心，將線段4。順時針

旋轉(zhuǎn)ɑ得到線段4E,連接BE.

(1)求證：B4平分NEBC；

(2)連接OE交48于點F,過點C作CG〃/1B,交ED的延長線于點G.補全圖形，用等式表示線段

EF與。G之間的數(shù)量關系，并證明.

在平面直角坐標系Xoy中，已知點M(a,b),將點P向左(a≥0)或向右(a<0)平移k∣a∣個單位

長度，再向下(b≥0)或向上(b<0)平移刈例個單位長度(k>0),得到點P',再將點P關于直

線MP'對稱得到點Q,稱點Q為點P的k倍“對應點”,特別地，當M與P'重合時，點Q為點P關

于點M的中心對稱點.

(1)已知點P(3,0),k=2.

①若點M的坐標為(0,1),畫出點P',并直接寫出點P的2倍“對應點”Q的坐標；

②若。M=I,直線y=x+b上存在點P的2倍“對應點”，直接寫出b的取值范圍；

(2)半徑為3的。。上有不重合的兩點M,P,若半徑為1的。。上存在點P的A倍“對應點”，

直接寫出k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：正方體的主視圖是正方形，

故A選項不合題意，

圓柱的主視圖是矩形，

故8選項不合題意，

圓錐的主視圖是三角形，

故C選項符合題意，

球的主視圖是圓，

故。選項不合題意，

故選：C.

根據(jù)主視圖的定義即可直接選出答案.

本題主要考查三視圖的概念，要牢記常見的幾種幾何體的三視圖，尤其是圓錐和圓柱的三視圖.

2.【答案】B

【解析】解：將30870用科學記數(shù)法表示應為3.087X103

故選：B.

科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為aXIO71的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原

數(shù)變成α時，小數(shù)點移動了多少位，H的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于

10時，H是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

此題主要考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關鍵.

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】

解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以不是軸對稱圖形.

選項。能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是

軸對稱圖形.

故選：D.

4.【答案】B

【解析】解：觀察數(shù)軸，可知α<0,b>0,且∣α∣>∣b∣,

所以α+b的結(jié)果為負數(shù)，其絕對值為：Ial-Ibl=-α-b,

將-a在數(shù)軸上表示出來，如圖，

II：III?IA

-3-2-10I23

由數(shù)軸上點的位置可知0<-a-b<1,

**?-1VQ+b<0,

故選：B.

根據(jù)實數(shù)加法法則，借助數(shù)軸的直觀性解答.

本題考查實數(shù)與數(shù)軸，解答時涉及異號兩數(shù)相加的法則理解，靈活運用加法法則是解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：X2÷6x+3=0,

X2+6x=-3,

%2+6%÷9=6,

(x+3)2=6,

所以?n=3,n=6,

所以血—n=3—6=-3.

故選：B.

先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上9,接著把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到

m>九的值，然后計算n?-n的值.

本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關

鍵.

6.【答案】D

【解析】解：乙同學的平均分是：卷X(Ioo+85+90+80+95)=90,

甲同學的平均分是：?×(85+90+80+85+80)=84,

因此乙的平均數(shù)較高；

S；="X[(100-90)2+(85-90)2+(80-90)2+(95-90)2]=50,

22222

S^7=I×[(85-84)+(90-84)+(80-84)+(80-84)+(85-84)]=14,

???50>14,

???乙的離散程度較高，不穩(wěn)定，甲的離散程度較低，比較穩(wěn)定；

故選：D.

分別求出甲、乙的平均數(shù)、方差，比較得出答案.

本題考查平均數(shù)、方差的計算方法，從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據(jù)，是正確計算的前提.

7.【答案】B

【解析】解：由作法得OC=。。，CO=CE,

???CO=CE,

???Z.CEO=乙COE=40°,

VOC=OD9

11

??.?OCD=4ODC=其180。-乙CoD)=∣×(180°-40°)=70°,

V?CDO=?CEO+Z-DCE,

???乙DCE=70°-40°=30°.

故選：B.

由作法得OC=OD,CO=CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到NCEO=?COE=40°,

WCD=乙ODC=70°,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算出NDCE的度數(shù).

本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的

基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

8.【答案】C

【解析】解：設AB=α,AP=X,

則BP=a-x,

.?.y=π-φ2-π■φ2-π?(?)2

πa2ππ,ππ

=———-X7c—~a7L+-ɑx--x7z

44424

=-^X2+?ɑ?,

???y關于X的函數(shù)圖象是過原點開口向下的拋物線，

故選：C.

設4B=a,AP=X,則BP=a-x,根據(jù)陰影部分的面積=大半圓的面積減去兩個小半圓的面積，

列出y與X的函數(shù)解析式，從而判斷圖象的大致形狀.

本題考查動點問題的函數(shù)圖象，關鍵是求出函數(shù)解析式.

9.【答案】?

【解析】解：???分式生?的值為0,

X

：.2%—1=0且X≠0,

解得：x=?.

故答案為：?.

根據(jù)分式的值為0得出2x-l=0且x≠0,再求出X即可.

本題考查了分式值為0的條件，注意：當分子力=0且分母B≠0時，分式2的值為0.

10.【答案】2(%-1)2

【解析】解：2∕-4x+2,

-2(X2—2x+1),

=2(x-l)2.

先提取公因數(shù)2,再利用完全平方公式進行二次分解.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于需要進行二次分解因

式.

11.【答案】2.6

【解析】解：測量A48C中BC邊上的高約為2.6cm?

故答案為：2.6.

先確定高是哪一條線段，再測量即可.

本題考查了三角形高線，近似數(shù)，解題的關鍵是正確理解三角形高的定義.

12.【答案】<

【解析】解：???k=2>0,

???y隨X的增大而增大，

又?.?4(q,τn),B&n)在一次函數(shù)y=2κ+b的圖象上，且，7<|,

：?m<n.

故答案為：V?

由k=2>0,利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨X的增大而增大，結(jié)合，9<|,可得出m<n.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0,y隨X的增大而增大；k<0,y隨X的增大而減小”是

解題的關鍵.

13.【答案】135

【解析】解：由勾股定理可知，AB=BC=√I2+22=V-5，AC=√I2+32=√10,

.?.AB2+BC2=AC2,

.?.△4BC是直角三角形，48=90。，

?：AB=BC,

.?./.ACB=45°,

.?.?ACD=180°-45°=135°,

故答案為:135.

根據(jù)勾股定理得出4B,BC,AC,進而利用勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

此題考查勾股定理的逆定理，關鍵是根據(jù)勾股定理得出AB,BC,力C解答.

14.【答案】?

【解析】解：畫樹狀圖如下:

共有4種等可能的結(jié)果，其中2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的結(jié)果有1種，

???2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率為中，

故答案為：

4

畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中2次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的結(jié)果有1種，再由概率公

式求解即可.

本題考查了樹狀圖法求概率以及概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵.

15.【答案】2

【解析】解：?.'AB//OP,

.???CABfCPO,

.ABAC

??,

OPPC

tAB_3

?T=3+4.5'

?AB=2(m),

答：樹的高度4B長是2m,

故答案為：2.

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

本題考查中心投影以及相似三角形的應用.測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角

形的性質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.

16.【答案】221

【解析】解(1)?；骰子的相對兩個面上的點數(shù)之和為7,

???點數(shù)為5的面落在2號格內(nèi)，朝上一面的點數(shù)為2.

故答案為：2；

(2)?；骰子依次翻滾6次到6號格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同，骰子的相對兩個面上的

點數(shù)之和為7,

二每次翻滾后骰子朝上一面的點數(shù)之和為7X3=21,

故答案為：21.

(1)由骰子的相對兩個面上的點數(shù)之和為7,即可得到答案；

(2)由骰子依次翻滾6次到6號格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同，即可求解.

本題考查正方體相對兩個面上的數(shù)字，規(guī)律型：圖形的變化類，關鍵是明白骰子依次翻滾6次到6號

格，每次翻滾后骰子朝上一面的數(shù)都不相同.

17.【答案】解：原式=3門—3x?+l—1

=3√^3-√^3+l-l

=2y∕~3.

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)器的性質(zhì)分別

化簡，進而得出答案.

此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

18.【答案】解：由拶<2x得：x>-l,

由2x+l≥x-1得：X≥-2,

則不等式組的解集為無>-1.

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

19.【答案】解：原式=X2-4+X2-6x+9

=2X2—6x+5,

X2—3x-1=0,

X2—3x=1,

原式=2(x2—3%)+5

=2×l+5

=7.

【解析】直接利用乘法公式化簡，再結(jié)合整式的混合運算法則計算，把已知整體代入得出答案.

此題主要考查了整式的混合運算一化簡求值，正確運用乘法公式計算是解題關鍵.

20.【答案】方法一：

證明：如圖，過點C作CF〃4B,交OE的延長線于點尸,

點￡是^ABC的邊AC的中點，

???AE=EC,?AED=乙CEF,Z.DEA=乙FEC,

CEF(ASA)9

?CF—AD,EF—DE,

???點。是△ABC的邊48的中點，

AD=DB=CF1

???四邊形BDFC為平行四邊形，

.?.DF/∕BC,DF=BC,

■■■EF=DE=；DF,

.?.DE//BC5.DE=^BC.

方法二

證明：如圖，延長DE到F,使EF=DE,連接尸C、DC、AF,

???點。、E分別是ZMBC的邊48、AC的中點,

???AD=BD,AE—EC,

又乙AED=乙CEF,

???△4EDWZkCEF(SAS),

???CF=AD=BD,乙EFC=?ADE1

?CF//AD,

???四邊形BDFC為平行四邊形，

?DF/∕BC,DF=BC,

?：EF=DE=初'

：.DE∕∕BC^.DE=?βC.

【解析】方法一，先證明AAEO三△CEF(ASA),推出CF=4。=BD,CF//AB,得到四邊形BDFC

為平行四邊形，得到Df√∕BC,DF=BC,即可得證.

方法二，證明AAEDmaCEF(SAS),推出CF=AD=BC,CF//AB,得到四邊形BDFC為平行四

邊形，得到。F〃BC,DF=BC,即可得證.

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì).解題的關鍵是證明四邊形BDFC為

平行四邊形.

21.【答案】解：(1)???反比例函數(shù)y=

Mk手0)的圖象經(jīng)過點(一1,3),

??.k=-1X3=-3,

???這個反比例函數(shù)的解析式為y=-|；

(2)把點(一1,3)代入y=-％+n得,3=

1+n,

?n=2,

當不<-1時，對于％的每一個值，函數(shù)

y=-%+兀的值大于反比例函數(shù)y=

E(ZcHO)的值，貝舊的取值范圍是幾≥

2.

【解析】(1)把點(—1,3)代入y=^(fc≠0),利用待定系數(shù)法即可求得；

(2)把點(-1,3)代入y=—%+n求得n的值，利用圖象即可求得n的取值范圍.

本題考查了待定系數(shù)法解反比例函數(shù)解析式及函數(shù)和不等式的關系，數(shù)形結(jié)合是解題關鍵.

22.【答案】⑴證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

??AB//CDf

???Z-ABD=Z.BDC,

???BD^?ABCf

?Z-ABD=?DBCt

?Z-BDC=Z-DBC9

?BC=CD,

??Q∕BO)是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形/BCD是菱形，

1

???BO=DOf?DCA=Z.BCA=/CD,ACIBDfAB//CDf

???Z-BCD=180o-?ABC=180o-70°=110°,乙DCE=?ABC=70°,

??.?DCA=3乙BCD=55°,

???Z.ECM=15°,

???乙DCM=乙DCE-Z-ECM=70°-15°=55°,

?Z-DCA=?DCMf

???DF1CM,BDIAC9

??.Do—DF=V-5,

??.BD=2D0=2yΓ5?

【解析】(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得NBOC=4D8C,則8C=CD,然后由菱形的判

定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得B。=DO,乙DCA=乙BCA=占乙BCD,AC1BD,AB//CD,再證4DC4=LDCM,

然后由角平分線的性質(zhì)得。。=DF=屋,即可得出結(jié)論.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及角平分線的性質(zhì)等知

識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

23.【答案】8385①②

【解析】解：(1)把七年級30個學生的成績從小到大排列，排在第15和第16個數(shù)分別是81,85,

故中位數(shù)m-81^85-83；

七年級30個學生的成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是85,故眾數(shù)n=85.

故答案為:83；85；

(2)由題意可知，樣本中兩個年級數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，八年級數(shù)據(jù)的方差較小，由此可以推斷該校

八年級學生成績的波動程度較小，故①說法正確；

若八年級小明同學的成績是84分，大于八年級成績的中位數(shù)，所以可以推斷他的成績超過了該校

八年級一半以上學生的成績，故②說法正確；

故答案為：①②；

⑶600X甯=340(名)，

答：估計七年級成績優(yōu)秀的學生人數(shù)大約為340名.

(1)分別根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；

(2)分別根據(jù)方差和中位數(shù)的意義解答即可；

(3)用700乘樣本中達到優(yōu)秀學生所占比例即可.

本題考查頻數(shù)分布直方圖、眾數(shù)、中位數(shù)、樣本估計總體，能夠從統(tǒng)計圖中獲取必要信息是解答

本題的關鍵.

24.【答案】(1)證明：???點。為訛的中點,

?ODLAC,

???DE為。。的切線，

.?.OD1DE,

：.DE//AC,

??Z-E=Z.BAC↑

(2)解：。。交4C于F點，如圖，

在RtACMDE中，?.?CosE==^,

OE5

??.DE=√OE2-OD2=J(y)2-52=5，

在Rt△Oa/中,Vcos?OAF=cosE==空,

5OA

4

.?.ΛF=ξO?=4,

???OF=√OA2-AF2=√52-42=3，

?DF=OD-OF=5-3=2,

VOD1AC,

.?.CF=AF=4,

在Rt△CDF中，CD=V22÷42=2√-5,

即CD的長為2門，DE的長為5

【解析】(1)先根據(jù)垂徑定理得到。。_14C,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODJ.DE,所以。E〃AC,然

后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)。。交4C于尸點，如圖，在RtACMDE中利用余弦的定義求出OE=亭，則利用勾股定理可計算

4

出。E=苧，再在RtA04F中利用余弦的定義求出AF=4,則利用勾股定理計算出OF=3,所以

DF=2,接著根據(jù)垂徑定理CF=AF=4,然后利用勾股定理可計算出CD的長.

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了垂徑定理和解直角三角形.

25.【答案】解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，乒乓球豎直高度的最大值為50cm,∕ι1=80,k=50；

???y與X的函數(shù)關系式為y=a(x-80)2+50,

把(0,18)代入函數(shù)解析式得：18=αX802+50,

解得α=-0.05,

??.y與X的函數(shù)關系式為y=-0.05(x-80)2+50；

(2)令y=0,則—0.05(X-80)2+50=0,

解得X=180或X=-20(舍去)，

???球第一次落在球桌面上的點為(180,0),

2

把(180,0)代入y=-0.005(x-∕ι2)+8得:

2

-0.005(180-∕ι2)+8=0,

解得％2=140(舍去)或無2=220,

???乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離》近似滿足函數(shù)關系y=-0.005(%-

220)2+8,

當y=O時，O=-0.005(x-220)2+8,

解得％=260或X=180(舍去)，

?.?260<274,

???乒乓球再次落下時仍落在球桌上.

【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，乒乓球豎直高度的最大值，并得出拋物線的頂點坐標，然后用待定

系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

(2)先令(1)解析式中的y=0,解方程求出X的值，即為球第一次落地點的坐標，然后把坐標代入

y=-0.005(x—電)2+8求出殳，再令y=0，求出無的值與桌面總長比較即可.

本題考查二次函數(shù)的應用及一元二次方程的解法，關鍵是求出函數(shù)解析式.

26.【答案】解：(1)拋物線y=ax2-2ax=α(x-I)2-a,

.??拋物線的頂點坐標為(L-a)；

(2)當a>0時，如圖，

當x>l時，y隨X的增大而增大，當x<l時，y隨X的增大而減小,

?拋物線的頂點坐標為(1,-a),

???拋物線的對稱軸為為直線X=1,

???點(一l,s)關于直線X=1的對稱點為(3,s),

T點(-l,s),(k,t),s>t,

—1</c<3；

(3)存在實數(shù)m,使得yι<y3<丫2≤-α恒成立,

???Yi<)z3<72≤-α>拋物線的頂點坐標為(L-a)，

???拋物線開口向下，

JQVO,

如圖，當B(7n,y2),C(Tn+3,丫3)關于拋物線對稱軸對稱時，yn+f+3=1,

解得Tn=-?,

?

??m>-2時，為<≤-%

當火力-1,為)，8(犯乃)關于拋物線對稱軸對稱時，W也=1,

解得Zn=|,

3

???m<2時，y1<y2≤一。，

當4(m-1,%)，C(m+3,y3)關于拋物線對稱軸對稱時，“今儂=?,

解得m=0,

:，m<0時，y1<y3≤—a,

綜上，存在實數(shù)m,使得當<y3<、2W-α恒成立，m的取值范圍為一；<m<0.

【解析1(1)將拋物線y=α∕-2αx化為頂點式，即可求解；

(2)當α>0時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象以及拋物線的對稱性即可求解；

(3)由％<y2<y3≤-a可得拋物線開口向下，根據(jù)拋物線對稱軸為直線X=1,結(jié)合圖象求解.

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的圖象以及拋物線的對稱性，解

題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系.

27.【答案】(1)證明：????DAE=?BAC=α,

???Z-DAE-Z-BAD=?BAC-?BADf

即NBAE=Z.CAD,

在△4BE和AACZ)中，

AB=AC

Z-BAE=?CAD^

AE=AD

??.△ABE=?,ACD(SAS),

???Z.ABE=Z.ACD,

-AB=AC9

?Z-ABC=Z.ACD1

?Z-ABC=Z-ABE,

???BA平分NEBC；

(2)解：EF=DG,

證明：如圖，在4C上截取4H=∕F,連接DH,在CG延長線時取點/,使C/=CH,連接。/,

在△4EF和△4。H中，

AE=AD

?BAE=?CADJ

AF=AH

AEF=AADH(SAS)f

：.EF=DH,?AFE=Z.AHDi

??.?AFD=乙CHD,

???CG//ABf

?Z.AFD=Z-DGl,

???乙DGl=(CHD,

-AB=AC,

???Z,ABC=?ACD,

???CG//AB,

??ABC=Z-ICDf

：,Z-ACD=/JCD,

在4"C0和4∕C0中，

CH=Cl

(HCD=(ICD,

CD=CD

??△HCD"ICD(SAS),

???Z.CID=乙CHD,DI=DH,

VZ.DGl=乙CHD,

???Z-ClD=Z.DGIf

?DI=DGt

：,DG=DH,

???EF=DH,

??.EF=DG.

【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)得NDAE=NBAC可得乙BAE=乙C4D,然后aSASff可證三△/C。，可

得結(jié)論；

(2)在AC上截取4H=ZF,連接DH,在CG延長線時取點/,使C/=C”，連接D/,由“S4S”可證

AAEF任ADH,AHCDZAlCD(SAS),可得EF=D〃，DI=DH9乙ClD=乙CHD,由平行線的

性質(zhì)及等量代換得4C∕D=4DG∕,DI=DG9即可得結(jié)論.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識，

作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵.

28.【答案】解：（1）①如圖,

???M(0,1),k=2,

???點P(3,0)向下平移2個單位長度得到點P',

.??P'(3,-2),

設直線MP'的解析式為y=k1x+b1,

"U1=1，

直線MP'的解析式為y=-x+l,

在y=-x+l中，當y=OH寸，x=1,即7(1,0)，

ΛOT=OM=1,?PTP'=4。TM=45°,

乙PPT=45°,

???點P關于直線MP'對稱得到點Q,

.?.ΛOP'T=ΛPP,T=45o,QP'=PP'=2,

乙QP'P=90°,

???(2(1)-2);

②如圖2-1所示，假設M在第一象限,過點M作MT1無軸于7,分別過點P作PH1久軸，PH〃y軸,

PH.P'H交于H,連接OM,連接OP,P'M交于4

由平移的性質(zhì)可知PH