函數(shù)模型的應(yīng)用實例

322函數(shù)模型的應(yīng)用實例冷水江一中楊玉林溫故知新：1、在區(qū)間0,∞上，y=aa>1，y=logaa>1和y=nn>0都是增函數(shù)。2、隨著的增大，y=aa>1的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=nn>0的增長速度。3、隨著的增大，y=logaa>1的增長速度越來越慢，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=nn>0的增長速度。總存在一個0，當(dāng)>0時，就有

loga<n<a例1、一輛汽車在某段路程的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示。1、求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；2、假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004m，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)sm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象。這個函數(shù)的圖像如下圖所示：解(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km

(2)根據(jù)圖形可得：例1一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示：（1）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004m，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)sm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象908070605040302010vt12345例2、人口問題是當(dāng)世界各國普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y=y0er×t期中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的平均年增長率。1、如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率精確到00001，用馬爾薩斯人口模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；2、如果表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？y=y0er×t

例2:

下表是1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207

解：設(shè)1950～1959年的人口增長率分別為r1，r1，…r9．經(jīng)計算得我國人口在這幾年得平均增長率為：

r＝（r1＋r1＋…r9）÷9≈00221．

令y0＝55196，則我國在1950～1959年期間的人口增長模型為：函數(shù)模型應(yīng)用實例

根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖．年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207函數(shù)模型應(yīng)用實例

根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖．年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207函數(shù)模型應(yīng)用實例

解：（2）將y＝130000帶入由計算器可得：

t≈3876．

例2人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)心的問題．認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y＝y(tǒng)0ert其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t＝0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率．

下表是1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207

（2）如果按上表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？

所以，如果按照表中的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達(dá)到13億．由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力．函數(shù)模型應(yīng)用實例

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象判斷問題所適合的函數(shù)模型，利用計算器或計算機(jī)的數(shù)據(jù)擬合功能得出具體的函數(shù)解析式，再用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程．

應(yīng)注意的是，用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題時，由于實際問題的條件與得到已知模型的條件會有所不同，因此往往需要對模型進(jìn)行修正．函數(shù)模型應(yīng)用過程例3、某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價是5元。銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表：

請根據(jù)心上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240例3某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價/元日均銷售量/桶6789101112480440400360320280240請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？分析：由表中信息可知①銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40

桶②銷售利潤怎樣計算較好？解：設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加元后，日均經(jīng)營利潤為y元，則有日均銷售量為

（桶）

而有最大值

只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤。`例4、某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：1、根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重yg與身高cm的函數(shù)