復(fù)合型法-罰函數(shù)法

工程中的大量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，都是約束優(yōu)化問(wèn)題，它的一般數(shù)學(xué)模型為：

求解這類問(wèn)題的方法稱約束優(yōu)化方法，最優(yōu)點(diǎn)X*稱為約束最優(yōu)點(diǎn)。。約束優(yōu)化算法大致可歸納為兩大類：●直接解法●間接解法（2-59）

約束優(yōu)化方法復(fù)合形法是適用于具有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一種直接算法。

該法的基本思路是：在n

維優(yōu)化設(shè)計(jì)空間的可行域D內(nèi)，構(gòu)造具有k

個(gè)頂點(diǎn)的多邊形(或多面體)，稱作復(fù)合形。復(fù)合形的每個(gè)頂點(diǎn)都代表一個(gè)設(shè)計(jì)方案。然后，計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值并逐一進(jìn)行比較，取函數(shù)值最大者為最壞點(diǎn)，最小者為最好點(diǎn)。再以去掉最壞點(diǎn)的其余各點(diǎn)的中心點(diǎn)為映射軸心，在最壞點(diǎn)和其余各點(diǎn)的中心點(diǎn)的連線上，尋找一個(gè)既滿足約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)值有所改善的壞點(diǎn)映射點(diǎn)，并以該映射點(diǎn)替換壞點(diǎn)而構(gòu)成新的復(fù)合形。

按照上述步驟重復(fù)多次，不斷地去掉最壞點(diǎn)，這樣不斷調(diào)整復(fù)合形的頂點(diǎn)，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點(diǎn)靠攏，最后搜索到約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。一、復(fù)合形法1.復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)K的選擇

小取大值,

大取小值建議:2)為避免降維,K應(yīng)取大些;但過(guò)大,計(jì)算量也大.

1)為保證迭代點(diǎn)能逼近極小點(diǎn),應(yīng)使二、初始復(fù)合形的產(chǎn)生對(duì)于二維問(wèn)題，復(fù)合形法的搜索原理，如圖2-33所示。圖2-33

復(fù)合形法原理

映射軸心壞點(diǎn)映射點(diǎn)

所以，復(fù)合形法的迭代過(guò)程實(shí)際就是通過(guò)對(duì)復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算與比較，反復(fù)進(jìn)行點(diǎn)的映射與復(fù)合形的收縮，使之逐步逼近約束問(wèn)題最優(yōu)解的。（2-60）根據(jù)上述復(fù)合形法的基本思想，對(duì)于求解的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，采用復(fù)合形法來(lái)求解，需分兩步進(jìn)行：

第一步是在設(shè)計(jì)空間的可行域

內(nèi)產(chǎn)生k個(gè)初始頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則的多面體，即生成初始復(fù)合形。一般取復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)為：。

第二步進(jìn)行該復(fù)合形的調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算。通過(guò)對(duì)各頂點(diǎn)函數(shù)值大小的比較，判斷下降方向，不斷用新的可行好點(diǎn)取代壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，使它逐步向約束最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)、收縮和逼近，直到滿足一定的收斂精度為止。1.初始復(fù)合形的生成

通常，初始復(fù)合形的生成方法主要采用如下兩種方法：生成初始復(fù)合形，實(shí)際就是要確定k個(gè)可行點(diǎn)作為初始復(fù)合形的頂點(diǎn)。

(1)人為給定k個(gè)初始頂點(diǎn)

可由設(shè)計(jì)者預(yù)先選擇k個(gè)設(shè)計(jì)方案，即人工構(gòu)造一個(gè)初始復(fù)合形。k個(gè)頂點(diǎn)都必須滿足所有的約束條件。

(2)給定一個(gè)初始頂點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生其它頂點(diǎn)

在高維且多約束情況下，一般是人為地確定一個(gè)初始可形點(diǎn)

，其余個(gè)頂點(diǎn)可用隨機(jī)法產(chǎn)生，即(2-61)式中，——復(fù)合形頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)；

——設(shè)計(jì)變量的標(biāo)號(hào)，表示點(diǎn)的坐標(biāo)分量；

——設(shè)計(jì)變量的解域或上下界；

——[0，1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布偽隨機(jī)數(shù)。

用上述方法隨機(jī)產(chǎn)生的k-1個(gè)頂點(diǎn)，雖然可以滿足設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件，但不一定是可行點(diǎn)，所以還必須逐個(gè)檢查其可行性，并使其成為可行點(diǎn)。

設(shè)已有q(1≤q≤k)個(gè)頂點(diǎn)滿足全部約束條件，第q+1點(diǎn)X(q+1)不是可行點(diǎn)，則先求出q個(gè)頂點(diǎn)的中心點(diǎn)(2-62)然后將不滿足約束條件的點(diǎn)向中心點(diǎn)

靠攏，即(2-63)

若新得到的仍在可行域外，則重復(fù)上式(2-63)進(jìn)行調(diào)整，直到點(diǎn)成為可行點(diǎn)為止。

然后，同樣處理其余諸點(diǎn)，使其全部進(jìn)入可行域內(nèi)，從而構(gòu)成一個(gè)所有頂點(diǎn)均在可行域內(nèi)的初始復(fù)合形。

這個(gè)新點(diǎn)X(q+1)實(shí)際就是X(s)與原X(q+1)兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)，如圖。若新的X(q+1)點(diǎn)仍為非可行點(diǎn)，按上式再產(chǎn)生X(q+1)，使它更向X(s)靠攏，最終使其成為可行點(diǎn)。

按照這個(gè)方法，同樣使X(q+2)、X(q+3)、……X(K)都變?yōu)榭尚悬c(diǎn)，這K個(gè)點(diǎn)就構(gòu)成了初始復(fù)合形。2.復(fù)合形法的調(diào)優(yōu)迭代

初始復(fù)合形生成后，其調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算按下述步驟進(jìn)行：(1)計(jì)算初始復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值，選出好點(diǎn)、壞點(diǎn)、次壞點(diǎn)：

(2)計(jì)算除壞點(diǎn)X(H)外其余k-1個(gè)頂點(diǎn)的幾何中心點(diǎn)(映射軸心）：

并檢驗(yàn)映射軸心X(S)點(diǎn)是否在可行域內(nèi)。如果X(S)是可行點(diǎn)，則執(zhí)行下步(3)

；否則轉(zhuǎn)第(4)步。

(3)沿X(H)

和X(S)

連線方向求映射點(diǎn)X(R)：

(2-64)

式中，稱映射系數(shù)，通常取。然后，檢驗(yàn)X(R)可行性，若為非可行點(diǎn)，將減半，重新計(jì)算，直到成為可行點(diǎn)。

(次壞點(diǎn))X(R)X(R)X(R)

(4)若X(S)在可行域外（非可行點(diǎn)），此時(shí)D可能是非凸集，如圖2-34所示。此時(shí)利用映射軸心X(S)和X(L)重新確定一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)重新隨機(jī)產(chǎn)生k個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成復(fù)合形。圖2-34可行域?yàn)榉峭辜?/p>

重新構(gòu)成復(fù)合形后，重復(fù)第(1)、(2)步，直到成為可行點(diǎn)為止。

(2-66)若

則取

(2-65)新的區(qū)間如圖中虛線所示：其邊界值若則取

始終取小

(5)計(jì)算映射點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值f(X(R))，若f(X(R))<f(X(H))，則用映射點(diǎn)替換壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算，并轉(zhuǎn)向第(1)步；否則繼續(xù)下一步。

(6)若f(X(R))>f(X(H))，則將映射系數(shù)α減半，重新計(jì)算映射點(diǎn)。如果新的映射點(diǎn)X(R)既為可行點(diǎn)，又滿足f(X(R))<f(X(H))，即代替X(H)，完成本次迭代；否則繼續(xù)將α減半，直到當(dāng)α值減到小于預(yù)先給定的一個(gè)很小正數(shù)

(例如)時(shí)，仍不能使映射點(diǎn)優(yōu)于壞點(diǎn)，則說(shuō)明該映射方向不利，應(yīng)改用次壞點(diǎn)X(G)替換壞點(diǎn)再行映射。(7)進(jìn)行收斂判斷。

若滿足

時(shí)可結(jié)束迭代計(jì)算。此時(shí)復(fù)合形中目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點(diǎn)即為該約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。為復(fù)合形所有頂點(diǎn)的點(diǎn)集中心，即(2-67)(2-68)

復(fù)合形法的迭代計(jì)算框圖，如圖2-35所示。圖2-35復(fù)合形法的計(jì)算框圖

懲罰函數(shù)法是一種用來(lái)求解約束優(yōu)化問(wèn)題的間接解法。

該算法的基本思想是：將約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型改造成為無(wú)約束的數(shù)學(xué)模型，然后按無(wú)約束問(wèn)題進(jìn)行一系列的無(wú)約束最優(yōu)化求解，直到求得原問(wèn)題的最優(yōu)解?！?/p>

內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法（內(nèi)點(diǎn)法）●外點(diǎn)懲罰函數(shù)法（外點(diǎn)法）●混合懲罰函數(shù)法（混合法）二、懲罰函數(shù)法根據(jù)所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)的形式不同，決定了搜索點(diǎn)是在可行域內(nèi)、或在可行域外，因而該算法又分為如下三種：——懲罰項(xiàng)——懲罰因子懲罰函數(shù)一系列則構(gòu)造的新目標(biāo)函數(shù)為：式中：為懲罰因子，它是一遞減正數(shù)序列，即其中，c為遞減系數(shù)，0<c<1；為以gu(X)為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，或稱與不等式約束有關(guān)的懲罰項(xiàng)。

1.內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法（內(nèi)點(diǎn)法）

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法適合于求解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，即:

對(duì)于內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法，求解過(guò)程要求保證：

(1)初始點(diǎn)和所求得的序列最優(yōu)點(diǎn)

，都應(yīng)是可行點(diǎn)；

(2)求解到最后，序列最優(yōu)點(diǎn)應(yīng)逼近最優(yōu)點(diǎn)X*?？偟膩?lái)說(shuō)，內(nèi)點(diǎn)法的迭代過(guò)程始終限制在可行域內(nèi)，所求得的系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化解總是可行解，是從可行域內(nèi)部逐漸逼近原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。由于等式約束優(yōu)化問(wèn)題不存在可行域空間，不適用。在求解過(guò)程中，針對(duì)不同的

，就有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的極小值點(diǎn)，隨著

的減小，使求得的也逐步向原問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)逼近。所以該方法也稱為“序列無(wú)約束極小化”方法。然后對(duì)新目標(biāo)函數(shù)按無(wú)約束問(wèn)題求解，即圍墻函數(shù)(3)構(gòu)造懲罰函數(shù)

(4)求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，得；

(5)進(jìn)行收斂判斷，若滿足或則令，停止迭代計(jì)算，輸出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)下步；

(6)取，以作為新的初始點(diǎn)，置轉(zhuǎn)步驟(3)繼續(xù)迭代。

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟如下：

(1)在可行域內(nèi)確定一個(gè)初始點(diǎn)；（最好不要鄰近任何約束邊界）

(2)給定初始罰因子、懲罰因子遞減系數(shù)C和收斂精度ε；置k=0；

內(nèi)點(diǎn)法的程序框圖，見圖2-36。

圖2-36內(nèi)點(diǎn)法程序框圖

在內(nèi)點(diǎn)法中，初始罰因子的選擇很重要。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般可取=1~50，但多數(shù)情況是取=1。也有建議按初始懲罰項(xiàng)作用與初始目標(biāo)函數(shù)作用相近原則來(lái)確定值，即

遞減系數(shù)C一般取為：C=0.1～0.5，常取0.1。

例2-1

試用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法求解如下優(yōu)化問(wèn)題：解：此題的標(biāo)準(zhǔn)解為：。根據(jù)內(nèi)點(diǎn)法的基本思想，首先構(gòu)造罰函數(shù)，按式（2-71）可寫出：可以看出由兩部分組成，即，其中：內(nèi)點(diǎn)法例題即：是原目標(biāo)函數(shù)，為一直線；

是一族倒數(shù)曲線，當(dāng)。對(duì)求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)數(shù)為零，即可求得其無(wú)約束極值點(diǎn)：：懲罰函數(shù)值為：當(dāng)選用不同的懲罰因子時(shí)，可得到不同的極值點(diǎn)及Φ曲線。取遞減數(shù)列，由上式可得序列如下：

上圖表示出取值不同時(shí)所得到的約束最優(yōu)點(diǎn)逐步逼近原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)的情形。

由上圖可以看出，當(dāng)懲罰因子為一個(gè)遞減數(shù)列時(shí)，無(wú)約束極值點(diǎn)

離約束最優(yōu)解愈來(lái)愈近，當(dāng)即得到了真正的約束最優(yōu)解。此時(shí)，罰函數(shù)也收斂于原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，即

外點(diǎn)罰函數(shù)法適用于具有等式和不等式約束優(yōu)化問(wèn)題。

該算法搜索策略與內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法相似，不同點(diǎn)是將懲罰函數(shù)的定義在可行域的外部，從可行域外部逐漸逼近原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。對(duì)于不等式約束問(wèn)題：取外點(diǎn)罰函數(shù)的形式為其懲罰項(xiàng)的含義如下：(2-73)

上式說(shuō)明，當(dāng)X是可行點(diǎn)時(shí)，懲罰項(xiàng)為零。也就是說(shuō)當(dāng)極小化懲罰函數(shù)時(shí)，X由不可行點(diǎn)迭代成可行點(diǎn)，此時(shí)，懲罰函數(shù)

將與原目標(biāo)函數(shù)

等價(jià)。此時(shí)懲罰函數(shù)的最優(yōu)可行點(diǎn)，也將是原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。2.外點(diǎn)罰函數(shù)法（X是可行點(diǎn)，可行域內(nèi)）（X是非可行點(diǎn)）外點(diǎn)罰函數(shù)中的罰因子是一遞增數(shù)列，即

對(duì)于等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，取外點(diǎn)罰函數(shù)的形式為對(duì)于同時(shí)具有不等式和等式約束問(wèn)題，其罰函數(shù)的表達(dá)式為(2-75)

(2-74)

在外點(diǎn)罰函數(shù)法中，為保證罰因子

為遞增數(shù)列，取式中:c'為遞增系數(shù)，c'>1。外點(diǎn)罰函數(shù)的程序計(jì)算框圖，見圖2-37。

外點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟與內(nèi)點(diǎn)法基本相同。圖2-37外點(diǎn)法的程序框圖

例題看書p75

混合罰函數(shù)法是將內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法的罰函數(shù)形式結(jié)合起來(lái)，解決同時(shí)具有等式和不等式約束的問(wèn)題。其罰函數(shù)的表達(dá)式為(2-76)式中，為遞減的正數(shù)序列；為遞增的正數(shù)序列。

也可將兩個(gè)懲罰因子加以合并，取和，得以下常用的混合罰函數(shù)：

(2-77)

式中，為一遞減的正數(shù)序列。

可見，混合法與外點(diǎn)法一樣，可用來(lái)求解既含不等式約束又含等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題。

3.

混合罰函數(shù)法

在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，如果優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)僅涉及一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，稱為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題；如果涉及兩項(xiàng)及兩項(xiàng)以上多個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)，則稱為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

例如在圖2-41所示的港口門座式起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，希望在四桿機(jī)構(gòu)變幅行程中能達(dá)到的幾項(xiàng)要求有：

(1)象鼻梁E點(diǎn)落差△y盡可能小(要求E點(diǎn)走水平直線)；

(2)E點(diǎn)位移速度的波動(dòng)△v盡可能小(要求E點(diǎn)的水平分速度的變化最小，以減小貨物的晃動(dòng))；

(3)變幅中驅(qū)動(dòng)臂架的力矩變化量△M盡可能小(即貨物對(duì)支點(diǎn)A所引起的傾覆力矩差要盡量小)。圖2-41門座式起重機(jī)變幅四桿機(jī)構(gòu)2.6多目標(biāo)優(yōu)化方法

這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，同時(shí)要求幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的問(wèn)題，就是多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式為：式中：，是q維目標(biāo)向量（q個(gè)目標(biāo)函數(shù)）。

在單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化過(guò)程中，可通過(guò)簡(jiǎn)單比較函數(shù)值的大小的方法去尋優(yōu)，獲得優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。(2-78)

而在多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化過(guò)程中，要使幾項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)同時(shí)都達(dá)到最優(yōu)，一般是比較難以實(shí)現(xiàn)的。因此多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化遠(yuǎn)比單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化要復(fù)雜得多。在多目標(biāo)優(yōu)化方法中，較常用的方法有：通常，在多目標(biāo)問(wèn)題求優(yōu)過(guò)程中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化出現(xiàn)不一致時(shí),一般是在各分目標(biāo)的最優(yōu)值之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，相互作出一些適當(dāng)?shù)男拚匀〉靡粋€(gè)對(duì)各分目標(biāo)函數(shù)都能接受又比較好的最佳方案。這是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題常用的處理方法。

加權(quán)組合法功效系數(shù)法主要目標(biāo)法等。

加權(quán)組合法的基本思想是：將多目標(biāo)問(wèn)題的各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)按下式組合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)：(2-79)

和以下約束優(yōu)化問(wèn)題：

(2-80)

以此問(wèn)題的最優(yōu)解作為原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)相對(duì)最優(yōu)解。這種求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法就是線性加權(quán)組合法。

為加權(quán)因子，是一個(gè)大于零的正數(shù)，其值決定于各項(xiàng)分目標(biāo)的重要程度及其數(shù)量級(jí)大小。一、加權(quán)組合法

若取，則稱均勻計(jì)權(quán)，表示各項(xiàng)分目標(biāo)同等重要。否則，可以用規(guī)格化加權(quán)處理，即?。?-81）以表示各分目標(biāo)在該項(xiàng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中所占的相對(duì)重要程度。

在加權(quán)組合法中，加權(quán)因子選擇得合理與否，將直接影響優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。目前，較為實(shí)用的加權(quán)方法有：（１）容限加權(quán)法設(shè)已知各分目標(biāo)函數(shù)值的變動(dòng)范圍為則稱為各目標(biāo)容限。取加權(quán)因子為：（2-82）

（2-83）（2-84）這樣選擇加權(quán)因子將起到平衡各目標(biāo)數(shù)量級(jí)的作用。（２）分析加權(quán)法

為能兼顧各項(xiàng)分目標(biāo)的重要程度及其數(shù)量級(jí)的影響，可將加權(quán)內(nèi)容包括本征權(quán)和校正權(quán)兩部分，即各分目標(biāo)的可由兩個(gè)因子的乘積組成，即式中：本征權(quán)的加權(quán)因子反映各項(xiàng)分評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要性；

校正權(quán)的加權(quán)因子用于調(diào)整各目標(biāo)在數(shù)量級(jí)上差別的影響，并在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中起逐步加以校正的作用。該校征權(quán)因子值可?。?2-85)(2-86)

即目標(biāo)函數(shù)的靈敏度越大，則值越大，則相應(yīng)的校正權(quán)因子值取值小，否則，校正權(quán)因子值要求大一點(diǎn)，使各分目標(biāo)函數(shù)一起變化。

首先將每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)都用一個(gè)稱為功效系數(shù)表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的好壞，該功效系數(shù)

是定義于間的函數(shù)。

總功效系數(shù)η值表示該設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣。因此，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)是：功效系數(shù)法的基本思想是：

在將每項(xiàng)分目標(biāo)化為相應(yīng)的功效系數(shù)后，則總功效系數(shù)η是各分項(xiàng)功效系數(shù)的幾何平均值，即（2-87）

二、功效系數(shù)法當(dāng)時(shí)，表示第j個(gè)目標(biāo)的效果達(dá)到最好；反之，當(dāng)時(shí)，表示它的效果很差，實(shí)際這個(gè)方案不能接受。

這樣，當(dāng)

時(shí)，表示多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題取得最理想的設(shè)計(jì)方案；反之，當(dāng)

時(shí)，則表示該設(shè)計(jì)方案是不能接受的，這時(shí)必有某項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)的功效系數(shù)。其中，圖(a):表示與值成正比的功效系數(shù)函數(shù)；圖(b):表示與值成反比的功效系數(shù)函數(shù)；圖(c):表示與值過(guò)大或過(guò)小都不行的功效系數(shù)函數(shù)。由上圖可知，功效系數(shù)函數(shù)

為一直線函數(shù)。當(dāng)知某一目標(biāo)函數(shù)值時(shí)就可得到相應(yīng)于它的功效系數(shù)函數(shù)值。圖2-42功效系數(shù)的函數(shù)曲線

圖2-4