時切線長定理

242直線和圓的位置關(guān)系

第3課時切線長定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)九年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動探究問題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點作已知圓的切線如左圖所示，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PABP1切線長的定義：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．2切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識要點問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點A重合的點為B．OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）PA、PB有何關(guān)系？∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PABBPOA切線長定理:過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法注意知識要點O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點求證：PA=PB，∠APO=∠BPO證明：∵PA切☉O于點A，∴OA⊥PA同理可得OB⊥PB∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO推理驗證AB想一想：若連結(jié)兩切點A、B，AB交O你又能得出什么新的結(jié)論并給出證明OP垂直平分AB證明：∵為頂角的平分線∴OP垂直平分ABO.PABM典例精析例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H求證：ABCD=ADBC·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH∴AEBECGDG=AHBFCFDH∴ABCD=ADBC例2為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得，求鐵環(huán)的半徑．解析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°即鐵環(huán)的半徑為BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點，OA=3（1）若AP=4,則OP=;（2）若∠BPA=60°,則OP=56練一練小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法二互動探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？1如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？2在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢？已知：△ABC求作：和△ABC的各邊都相切的圓MND作法：1作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O⊥為圓心，OD為半徑作圓O☉O就是所求的圓做一做1與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓2三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心3這個三角形叫做這個圓的外切三角形BACI☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形知識要點三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段OA，OB,OC有什么特點？互動探究線段OA，OB,OC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.BACI問題2如圖，分別過點作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG知識要點三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等BACIEFGIA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù)解：連接IB，ICABCI∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，在△IBC中，比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點=OB=OC2外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點1到三邊的距離相等；、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3內(nèi)心在三角形內(nèi)部．ABOABCOABCODEFABCDEFO1設(shè)△ABC的面積為S，周長為L，△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則S，L與r之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？ABCOcDEr2如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑r為___________（以含a、b、c的代數(shù)式表示r）解析：過點O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因為AF=AD，BF=BE，AFBF=c,所以a-rb-r=c,所以切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點；連接兩切點；連接圓心和圓外一點三角形內(nèi)切圓運用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程有關(guān)概念內(nèi)心概念及性質(zhì)應(yīng)用課堂小結(jié)A2.如圖，已知點O是△ABC

的內(nèi)心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題當(dāng)堂練習(xí)20°4110°（3）若∠BIC=100°，則∠A=度（2）若∠A=80°，則∠BIC=度130203如圖，在△ABC中，點I是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？120°4如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點D求證：DE∥OC證明：連接OD，∵AC切⊙O點D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB